h-w原理的重新论证

h-w原理的重新论证

0lagrange乘子法的正确运用多年来，国内外力学界多次采用lagranga乘法原理，强调了哈氏原理。在这些论证中，一些人强调了h-w原则和h-r原则，并强调了确定或识别乘法部分。为了清楚解释和深入分析这些问题,正确运用Lagrange乘子法,重新论证H-W原理/H-R原理,需要从与之有关的弹性体本构关系和能量密度的一些基本性质谈起.1结构关系和能量密度的一些性质1.1基于切线弹性/柔性向量弹性力学的应力-应变/应变-应力关系的向量形式为其中ε/σ是自变向量,σ/ε是表示函数对应律的向量函数的记号,不能与等号左端的因变向量σ/ε相混淆.在非线性弹性力学中用到的增量本构关系的向量形式为其中切线弹性/柔性矩阵为1.3应变/应力向量函数与应变能/余应变能密度函数的微分关系由(1.7)/(1.8)和(1.5)/(1.6)式显然可得但是,(1.9)/(1.10)式只是应变/应力向函数与应变能/余应变能密度函数之间的微分关系,并非直接表明应力-应变/应变-应力关系.只有把(1.9)/(1.10)式代入(1.1)/(1.2)式,方能用应变能/余应变能密度表示应力-应变/应变-应力关系:1.3应变/应力法1.1有些文献把应变能密度和余应变能密度的关系表示为其实,此式在一般情况下并不成立,而只有在满足应力-应变/应变-应力关系,即把(1.1)/(1.2)式代入(1.15)式后才能成立:1.4变分形式对比由(1.7)/(1.8)和(1.9)/(1.10)式可得其中(1.18)/(1.19)式的变分形式既表明了向量函数与因变向量的区别,又体现了自变向量函数与相应的因变向的联,所以它比(1.20)/(1.21)式的变分形式优越.2让我们从本质上证明这一点2.1在概念最小势能原则的基础上泛函为约束条件为其中L为应变-位移关系的线性微分算子.2.2广义势能原理的建立为了解除最小势能原理中的两个约束条件,我们用Lagrange乘子向量λ和μ分别把(2.2)和(2.3)式吸收到(2.1)式中去,得到一个新范函在确定乘子向量时,可以暂时假定λ和μ不变.由于而由Green定理有其中n为弹性体边界外法线方向余弦.把(1.18)和(2.6)式代入(2.5)式得到这样,由δ∏*=0可得于是,把(2.8)和(2.9)式代入(2.4)式便得广义势能原理的泛函2.3弹性力学基本方程由(2.10)式可得而由Green定理有把(1.5)、(1.18)和(2.12)式代入(2.11)式得到于是,由δ∏这些就是消去了应力的弹性力学基本方程.2.4一些讨论1)如果按文献2)文献3)如果真的像文献4)文献3滚轴原理的演示3.1最小余能原理的h-r原理H-R原理是国际上公认的二类变量广义余能原理,而最小余能原理只有受平衡微分方程和应力边界条件约束的应力σ这一类变量.因此,欲在最小余能原理基础上,用识别的Lagrange乘子法,得到二类变量的H-R原理,必须修正最小余能原理的原有提法.我们知道,最小余能原理的原有泛函中的边界项,可以看成是对弹性体内部余能的一种约束,而这种约束作用又仅仅体现在位移边界条件上,即u=u(在S约束条件为3.2广义余能原理的建立为了解除最小余能原理修正的提法中的3个约束条件,我们用Legrange乘子向量λ、μ和上分别把(3.2)、(3.3)和(3.4)式吸收到(3.1)式中去,得到一个新泛函在确定乘子向量时,我们可以暂时假定λ、μ和v不变.由于而由Green定理有所以,把(1.19)和(3.7)式代入(3.6)式得到这样,由δΓ于是,把(3.9)～(3.11)式代入(3.5)式便得广义余能原理的泛函3.3应变弹性基本方程由(3.12)式可得而由Green定理有把(1.19)和(3.14)代入(3.13)式得到于是,由δΓ这些就是消去了应变的弹性力学基本方程.3.4lagrange乘子法1)由本文论证结果可知,如果用识别的Lagrange乘子法在最小余能原理基础上,建立广义余能原理,只有以(3.1)式为泛函,以(3.2)～(3.4)式为约束条件,才能真正确定或识别乘子,从而得到新泛函为(3.12)式且驻值方程为(3.16)～(3.19)式的广义余能原理—Hellinger-Reissner原理.2)文献[1]是在最小余能原理原有提法基础上,用Lagrange乘子法对H-R原理进行论证的.但是,虽然强调乘子已被识别,“新相识”已变为“老相识”,然而从新泛函的独立变量和驻值方程看,乘子并未被识别,只不过“把(乘子)λ(的记号)改为(位移向量的记号)u”.也就是说,如果把这样得到的广义原理看作是具有二类变量的H-R原理,那么H-R泛函及其驻值方程中,除应力σ这一类变量外,还没有未被确定的乘子λ(μ=-λ)这一类变量,只不过把乘子改用了位移的记号,且含乘子的两个驻值方程在形式上恰好与弹性力学的应变-位移关系和位移边界条件相同.3)文献[2～6]都讨论过H-W原理与H-R原理之间的关系,其实这两个原理的泛函本身并没有直接关系.为了便于讨论,我们可利用Green定理推导出与(3.12)式泛函等