微分方程模型数学建模课件

数学建摸课程数学建摸课程1微分方程建模的思想和方法微分方程建模的简单实例微分方程的平衡点与稳定性主要内容

案例

第三章微分方程方法22023年8月18日微分方程建模的思想和方法微分方程建模的简单实例微32023年8月18日

第三章微分方程方法微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。微分方程建模主要有以下三种方法：根据已知规律建模利用高等数学中的微元分析法建模利用模拟近似法建模32023年8月5日第三章微分方程方法微分方程是研究42023年8月18日开普勒三大定律：太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆;行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；行星运动周期之平方与平均距离之立方成正比。《数学的实践与认识》2005.1242023年8月5日开普勒三大定律：太阳系每一颗行星的轨道皆动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程52023年8月18日动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征62023年8月18日

一、微分方程建模的思想和方法

净变化率=输入率-输出率当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过实践检验的规律和定理；（2）利用微元法（3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、近似这些现象。62023年8月5日一、微分方程建模的思想和方法净变化率72023年8月18日

1.估计死亡时间

二、微分方程建模的简单实例在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29℃，当时环境的温度是21℃.1h后尸体温度下降到27℃，若人体正常的体温是37℃，估计死亡时间。72023年8月5日1.估计死亡时间二、微分82023年8月18日

二、微分方程建模的简单实例

1.估计死亡时间解方程得：T(t)=29时，t=2.4094这时求得的t是死者从死亡时间到尸体被发现所经历的时间。因此可得，死者的死亡时间大致在前一天晚上的10：35.82023年8月5日二、微分方程建模的简单实例92023年8月18日

2.湖水的污染问题如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水经过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5～20m3之间。请建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰？（2）何时污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。

二、微分方程建模的简单实例ABXABX小湖示意图92023年8月5日2.湖水的污染问题如图所示是102023年8月18日

2.湖水的污染问题

二、微分方程建模的简单实例102023年8月5日2.湖水的污染问题二、微112023年8月18日

2.湖水的污染问题

二、微分方程建模的简单实例112023年8月5日2.湖水的污染问题二、微Z取不同值时的浓度C（30）和时间TZ/m3C(30)/m3T/min50.00239552100.00478738150.00717918200.009561014Z取不同值时的浓度C（30）和时间TZ/m3C(30)/m3132023年8月18日

三、微分方程的平衡点及稳定性微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。

问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、扰动下的稳定性。实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。132023年8月5日三、微分方程的平衡点及稳定性微142023年8月18日

三.微分方程的平衡点及其稳定性

１．平衡点的概念142023年8月5日三.微分方程的平衡点及其稳定性152023年8月18日

三.微分方程的平衡点及其稳定性

１．平衡点的概念问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？152023年8月5日三.微分方程的平衡点及其稳定性162023年8月18日

三.微分方程的平衡点及其稳定性

１．平衡点的概念162023年8月5日三.微分方程的平衡点及其稳定性172023年8月18日

三.微分方程的平衡点及其稳定性2.一阶方程的平衡点及稳定性为什么？172023年8月5日三.微分方程的平衡点及其稳定性182023年8月18日

三.微分方程的平衡点及其稳定性3.平面方程的平衡点及稳定性182023年8月5日三.微分方程的平衡点及其稳定性192023年8月18日

三.微分方程的平衡点及其稳定性3.平面方程的平衡点及稳定性192023年8月5日三.微分方程的平衡点及其稳定性202023年8月18日

战争的预测与评估问题

１．问题的提出由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素．军事装备:军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等．

现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响．202023年8月5日战争的预测与评估问题１．212023年8月18日

战争的预测与评估问题

１．问题的提出现在要求建立数学模型讨论的问题：

(1)分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；

(2)在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.（3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。212023年8月5日战争的预测与评估问题１．222023年8月18日

战争的预测与评估问题2.模型的假设222023年8月5日战争的预测与评估问题232023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解232023年8月5日战争的预测与评估问题3242023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解特征方程为：p>0,q>0稳定，q<0不稳定.242023年8月5日战争的预测与评估问题3252023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解252023年8月5日战争的预测与评估问题3262023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解262023年8月5日战争的预测与评估问题3272023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解272023年8月5日战争的预测与评估问题3282023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.

282023年8月5日战争的预测与评估问题3292023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解292023年8月5日战争的预测与评估问题3302023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解兰彻斯特多兵种作战模型．302023年8月5日战争的预测与评估问题3312023年8月18日

战争的预测与评估问题3.模型的建立与求解问题(3)作为思考题,参见兰彻斯特作战模型.312023年8月5日战争的预测与评估问题3322023年8月18日

SARS(严重急性呼吸道综合症,俗称:非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病．SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了一定的影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性．传染病模型

１．问题的提出322023年8月5日SARS(严重急性呼吸道综合症,描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型

传染病模型1.问题的要求2023年8月18日33描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?2023年8月18日34已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为

2）每个病人每天有效接触人数为

,且使接触的健康人致病建模

~日接触率SI模型2023年8月18日35每个每天可使λs(t)个健康人变成病人模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻

(日接触率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大2023年8月18日36日接触率λ表示该地区的卫生水平，λ越小表示卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。2023年8月18日37模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感i0i0接触数

=1～阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？idi/dt01

>10ti

>11-1/

i0t

1di/dt<02023年8月18日38di/dt=0的稳定平衡点i0i0接触数=1～阈值感染期内有效接触感染的健康者人模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率

,

接触数

=/建模需建立的两个方程2023年8月18日39模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SSIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质2023年8月18日40对于病愈免疫移出者SIR模型无法求出在相平面消去dt相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析2023年8月18日41消去dt相轨线的定义域相轨线11si0si101DSIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减

相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S02023年8月18日42si101DSIR模型相轨线及其分析传染SIR模型预防传染病蔓延的手段

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/

的估计降低s0提高r0提高阈值1/

降低

(=

/

)

,

群体免疫2023年8月18日43SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高阈值1/

降低被传染人数比例xs0-1/

=

2023年8月18日44SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1452023年8月18日SARS的传播问题

１．问题的提出

请你对SARS的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计.452023年8月5日SARS的传播问题１．问题462023年8月18日

实际中，SARS的传染过程为：“易感人群→病毒潜伏人群→