材料力学应力与应变状态

第七章应力与应变状态分析第八章应力与应变状态分析材料力学1第八章应力与应变状态分析§8—1应力状态概述§8－2平面应力状态分析——解析法§8－3平面应力状态分析——图解法§8－4梁的主应力及其主应力迹线§8－5三向应力状态研究§8－6平面应力状态下的应变分析§8－7复杂应力状态下的应力--应变关系§8－8复杂应力状态下的变形比能小结第八章应力与应变状态分析2§8—1应力状态概述一、基本概念：铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？FF铸铁拉伸F铸铁压缩铸铁第八章应力与应变状态分析3组合变形杆将怎样破坏？ＭF1、点的应力状态：通过构件内任意一点各个方向截面的应力的总称σmax？

τmax？2、点的应变状态：构件内通过一点各个方位的应变状态的总称。3、研究点的应力状态目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。4、研究方法：取单元体。第八章应力与应变状态分析4通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）。）第八章应力与应变状态分析5FF单元体的概念：构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体上应力的性质：每个面上的应力均布，每对相平行面上的应力大小、性质完全相同。Aσατα5、主平面：切应力等于零的面。6、主应力：主平面上的应力（正应力）。7、主单元体：由主平面组成的单元体。主应力排列规定：按代数值由大到小。第八章应力与应变状态分析6301050单位：MPaσ1=50MPa；σ2=10MPa；σ3=-30MPa。3010σ1=10MPa；σ2=0MPa；σ3=-30MPa。8、画原始单元体：例：画出下列图中的a、b、c点的已知单元体。aaFF第八章应力与应变状态分析7xyzＭbCbbσxxyzbCFL第八铜章向应门力与夫应变震状态确分析8yxzMzMx4321143ZXY9b

xssxxyzＭbcＭ0二、呜应力屿状态窗的分氏类：1、单馅向应郊力状纵态：连只有进一个撒主应况力不添等于锣零，帜另两振个主逼应力都等奔于零衬的应拼力状族态。2、二洪向应筝力状遵态：芦有两瓜个主兰应力喊不等咐于零厘，抓另一技个主滔应力等于川零的筹应力脂状态博。3、三休向应留力状唉态：磨三向类主应露力都膊不等浩于零穗的应旧力状络态。第八哀章吨应互力与够应变耀状态舟分析10平面千应力夏状态：单赢向应墙力状状态和乱二向劝应力产状态荐的总拒称。复杂延应力拔状态：二脊向应淹力状赶态和芬三向府应力晚状态既的总首称。空间溪应力禁状态：三向嫌应力灿状态简单飞应力挖状态：单法向应悼力状配态。纯剪晒切应醉力状舰态：单毙元体或上只仓存在冰切应嘱力无仙正应验力。第八虽章挠应岗力与丛应变灰状态省分析11§8－2平面圣应力西状态催分析——解析踩法一、劲任意萝斜面甲上的腰应力抚计算s

xt

xys

y平面奸应力钱状态圈：一豪对平虽行侧步面上访无应舅力，月其余浊面上斤的应共力平字行于委这对痒平面强。第八充章肿应险力与宜应变堆状态愁分析12s

xt

xys

y图1nt设：权斜截谱面面展积为钉ｄA，由分纱离体妖平衡凉得：第八摆章南应忘力与缴应变紧状态剑分析13考虑增切应失力互谋等和绞三角将变换振，得涛：——任意α斜面蜂应力愁的计恢算公甩式第八冤章旅应间力与苹应变欠状态砍分析14符号太规定壤：、“

”正负挂号同“”；、“ta”正负废号同“t”；、“a”为斜邮面的朝外法湿线与Χ轴正光向的贸夹角，由Χ轴逆量时针径转到聚斜面茶为正杰，顺恩时针旨为负愁。二、σ、τ的极乞值及壶所在涌平面本（主库应力亮，主纵平面姓）注意胆：用柱公式窗计算链时代盯入相链应的掉正负抢号规律边：1、σ的极宰值及裕所在罢平面耳（主攻应力戚，主尊平面维）第八多章保应寒力与河应变饥状态乒分析15——主平面的位置——主应力的大小α0α0最大武正应辫力（σm羽ax）与X轴的逼夹角判规定董用“α0”表示势。简易充判断权规律枕：由τ的方赞向判阶断。第八稼章跨应揭力与脑应变悬状态项分析162、τ的极其值及搬所在已平面——最大切应力所在的位置——xy面内的最大切应力——整个单元体内的最大切应力最大优切应晌力与X轴的天夹角撞规定肚为“α1”第八梦章脾应拍力与额应变虹状态镜分析17t

xyt

yx例：如汤图所催示单摩元体插，求透主应相力及婶主平毙面。解：1、主距应力2、主允平面σ1σ34503020单位：MPaσ1骄、σ2、σ3？第八榜章匙应已力与庭应变事状态酸分析18例：如絮图所赌示单佛元体妄，求α斜面株的应前力及毁主应朝力、蛙主平矮面。（单位：MPa）300405060解：1、α斜面劳的应浇力第八吓章榆应个力与逮应变葛状态俘分析192、主难应力涉、主澡平面σ1暖=8滤0.冰7（MP鸡a）；σ2驾=0；σ3谱=-惨60利.7（MP返a）。405060σ1σ3α0σ1投；σ摸2；麦σ3坑？90405060（单位：MPa）第八斑章侵应览力与瓜应变差状态怨分析20§8－3平面抗应力喜状态听分析——图解馒法对上固述方贿程消遮参（2），仍得：——应力青圆方炮程（傻莫尔驱圆）一、摊基本原理冒：圆心：半径：第八鸡章柿应普力与矿应变州状态题分析21二、灶应力私圆的秘绘制况：1、取耐直角周坐标碍系σο絮τ。2、取民比例朋尺（雅严格花按比沸例做胡图）尝。3、找点4、连交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆——应力圆。stoD/B1B2D第八撤章贩应呢力与凤应变结状态胁分析22三、蒙证明迹：即圆心：即半径：stoDD/B1B2A1A2第八恢章辩应科力与版应变眨状态莫分析23四、泰计算条：1、以D为基点，转2α的圆心角至E点，转向同单元体上的方向。stoDD/B1B2A1A2E2α2α02、主应力3、主锡平面以D为基使点，超转到A1点，春其圆册心角辩为2α0，逆时毛针时α0为“携＋”娱；顺挎时针干时α0为“沿－”毙。（α0——主平倘面的观位置)。第八旅章崇应盛力与论应变局状态擦分析24stoDD/B1B2A1A24、切否应力惭的极禽值及企所在距位置G1G22α1以D为基孟点，形转到G1点，其圆乡丰心角觉为2α1。由应钢力圆锻可证挎明——最大语正应鲜力与羽最大安切应图力所在侍平面呼相差450第八换章招应舍力与窄应变吐状态纹分析25stoDD/B1B2A1A22α0E2αF证明氧：（2α角的偏关系俱）证毕第八辆章攻应究力与窃应变帖状态眠分析261、应稀力圆来上的污点与榜单元拴体上葵的面踪蝶相对锋应，类点的惯坐标子即为版单元草体面上丝式的应烈力值器。2、应侦力圆孩上两冒点对赴应的冶圆心山角为“2α”，单元派体上赔两面注的夹角“α”，且两席者转乡丰向相姓同。五、注意第八笛章史应灯力与权应变枯状态搞分析27408060例：求α=鬼300斜面牌的应相力及疲主应尚力、鄙主平浪面（瓣单位披：MP垮a）。2α0600E（σ300；τ300）FA1A2τσODD/C2、量俊出所磁求的杯物理恢量解：1、按及比例占画此促单元峡体对户应的恒应力茧圆第八挣章耗应弊力与蜻应变泥状态乖分析28例：求趴图示鄙单元血体的为主应酸力及匠主平秘面的仇位置捕。(单位涌：M扁P哨a)CAB2β

02、量侨出所嘱求的锁物理谢量解：1、按侨比例帖画此颤单元杀体对跳应的厅应力丢圆60°β

0

1

230°第八害章轻应南力与剩应变风状态埋分析29解析拿法：（分感析思板路）xyo60°第八范章貌应枯力与善应变下状态袭分析30§8－4梁的绢主应械力及派其主躬应力届迹线Fqx12345yo

x

y3

x

x

y2

x1taosataosataosa123

1

3

1

3第八佣章初应提力与采应变姜状态婶分析31

x5

x

x

y4taosa4taosa5

1

3

1

3主应商力迹捎线（St胸re嫁ss玩T勺ra禁je局ct协or掌ie浩s)：主应疾力方辆向线披的包抽洛线——曲线灿上每骄一点鹅的切略线都来指示愚着该扁点的缎拉主拉应力愉方位惭（或脾压主积应力续方位慰）。

1

3实线荣表示搂拉主月应力块迹线牢；虚线涨表示酱压主万应力唇迹线秘。第八陕章命应胡力与剂应变混状态弯分析32xy主应腐力迹乔线的沙画法抹：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3

1

3第八恼章蛾应罢力与甩应变锯状态幸分析33§8－5三向倍应力宿状态巴的最厚大应忙力stoX—戴Y平面内任炮一斜难面的症应力与σ1—σ2圆周上的杜点对站应。Y—蹲Z平面内任牙一斜茄面的定应力与σ1—σ3圆周上的蝇点对罚应。Z—钻X平面内任深一斜餐面的侄应力与σ2—σ3圆周上的兔点对摔应。第八泥章贿应烘力与全应变熔状态尺分析34：弹性套理论哗证明管，图a单元新体内茄任意植一点揉任意哑截面帮上的歉应力必都对铺应着台图b的应具力圆摊上或种阴影很区内凤的一首点。图a图b：整个秋单元垂体内前的最艘大切脖应力依为：231sst-=maxtmax结论——第八底章泳应抢力与尿应变授状态润分析35例：求母图示塘单元慢体的代主应惜力和回最大托切应和力。童（M僵P诊a）解：住、由屑单元拿体知陡：z—父y面为主面翁之一

醉、建立焰应力绢坐标邪系如谁图，再画y—度z应力刑圆及朗三向校应力眠圆得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax第八型章田应敬力与国应变芒状态榴分析36解析救法——1、由轰单元跳体知锈：x面为鼠主面吓之一鱼。2、求y—钻z面内蹦的最赖大、赔最小狱正应甲力。xyz305040CBA单位：（MPa）3、主婚应力4、最夜大切帐应力231sst-=max第八呢章鸣应愈力与捏应变凯状态惕分析3720030050otma鬼x第八桥章娇应便力与窗应变籍状态写分析38O2005030050第八枯章骆应估力与虫应变卵状态登分析39O30050第八开章闯应极力与他应变垮状态岭分析40§8－6平面界应力赴状态练下的粘应变蒸分析一、警应变奇计算习公式规定莲：线云段伸凑长正闹应变边为正淘；直角柿增大捷切应绢变为腥正。条件大：弹喘性、俭小变或形。已知老：εx、εy、γxy。求藏：εα、γα。（采设OB似=dS）分析继：1、刷在εx作用申下——BC

OADB1

θ1A1εxdx

xyodxdy第八鲁章舞应尘力与摆应变马状态筑分析41BC

OADB2

θ2C2εydy2、层在εy作用庸下——3、在γxy作用舞下——B3C3Dθ3γxyBCOA

第八枕章糊应宣力与县应变偿状态歪分析(-崭)424、叠拖加XYBB0θCDD0θ1αγα=舅θ1-θ第八芹章躺应柄力与料应变绢状态立分析43第八琴章贷应贤力与胞应变跪状态盗分析44二、稍主应塑变数牢值及记其方程位第八克章斗应扩力与雾应变坡状态醋分析45三、虾应变筹分析倘图解闷法——应变堪圆具体驱作法仍同应匀力圆四、医应变慢分析萝的应盲用：一点平处贴帅一应棋变花第八放章引应拜力与荷应变茄状态储分析46§8－7各向功同性李材料辨的应廉力--应变获关系——（广义胡克定大律）一、肝单向界应力浑状态浴：

二、筐二向订应力语状态转：

1

2

1

2

=+第八希章碧应爬力与劳应变航状态睡分析47三、酬三向登应力学状态低：

1

2

3

1

2

=+

3+——（广烛义胡县克定狗律）第八助章努应籍力与器应变源状态建分析48四、鼠注意址：1、与相对应，方向一致（代数值大小排列）。

2、“σ”连同盘符号版代入疲，“ε”得“带＋”肝值时聋为拉阵应变匙；“ε”得“办－”斑值时仆为压好应变恐。3、“σ”、“τ”同时钢存在篮时，贼“τ”对“ε”无影井响，煎“σ”对“γ”无影洁响。殖“σ12萌3”可由黑“σxy趴z”替换齿。4、使刮用条较件：啊弹性专、小筒变形抛、各葱向同棚性材丹料。第八填章碰应稀力与企应变乡丰状态行分析49主应面力与够主应止变方向手一致?xyzx

xyzyβ-皂α=雨±9伯00s

xt

xys

yαβ第八脆章黎应搂力与像应变随状态递分析50五、舞体积诉应变a3123a1a2体积肃应变仇：体积灭应变摊与应赛力分浊量间油的关径系:——体积胡克定律第八坛章优应衰力与浸应变仍状态葡分析51§8－8复杂芽应力么状态厕下的饱应变戴能一、挺概念下：1、应工变能秤：变狱形固四体在敌外力妖作用疗下由亡变形返而储却存的棒能量栗。弹性让应变盯能：革变形匆固体明在外饰力作绘用下熔产生嗽的弹苗性变片形而哨储存的能般量。2、应晶变能膝的计母算：同利用驰能量尘守恒悟原理能量件守恒袄原理植：变艘形固躺体在旋外力坏作用冈下产方生的窝变形沿而储幻玉存的能量坟，在踩数值晌上等居于外庄力所械作的君外力转功。Vε=W3、应滑变能谅密度午：单笛位体炸积的中应变赢能。v=义Vε/V第八抽章吓应患力与碰应变生状态灭分析52二、亡弹性返应变取能、车应变遍能密贝度的杂计算加公式械：1、单件向拉舅压应书力状盆态：2、扭且转纯良剪切撕应力炒状态脏：3、三右向应理力状罗态：

2

3

1第八涂章肯应吧力与页应变车状态祝分析53

2

3

1图a

av

av

av图b

2

3

1-

av-

av-

av图c图b体积裤改变瓦，形盘状不劲变；肠图c形状清改变限，体饱积不资变。第八棕章劝应铃力与夫应变俯状态旁分析54

2

3

1-

av-

av-

av图c——称为顽形状飞改变性比能域、畸日形能摸或歪孝形能

av

av

av图b第八麻章及应氏力与危应变调状态季分析55例：已知义一受甜力构散件自球由表恳面上鞠某一掩点处既的两寄个面划内主端应变湿分别篇为：

1=2慕40洋1修0-6，3=掩-1偶60靠1孝0-6，弹弱性模邻量E=睛21起0G懂Pa，泊松撞比为胆=0疮.3，试求圣该点勒处的绩主应疯力及袖另一什主应誉变。

y

x，所以该点处的平面应力状态第八伤章尿应畅力与主应变锄状态悄分析56第八跪章藏应弊力与卸应变透状态来分析57例：已福知二缸向应董力状辜态σ1≠0，σ2≠辈0，σ3=0，ε1，ε2。问：ε3=址-雨μ（ε1+ε2）？解：由申广义靠胡克五定律羡知F例：如书图所怀示，席立方舅体边涛长为10愤cm，F=驰6k吩N，E=枕70榴GP桨a，μ=笑0.呀33，假设兆钢槽够不发茎生变闭形。求：阻立方墙体的练主应象力。解：1、分绣析立招方体筒的应倦力状腥况

y

x

z第八握章巨应出力与亭应变爷状态饥分析58

y

x

z2、立纠方体匠的主瓦应力3、讨伪论：婆立方角体各来边的浆改变潜量第八君章精应源力与艳应变跟状态催分析59例：如动图所坝示拉鸦杆，概横截剩面为例圆形D=老2c都m，E=逆2.盯1*戒106MP灵a，μ=丈0.川28，ε600=4串.1渐*1晋0-4。求：F。σyA解：1、取失单元腊体2、应耳力与授应变疼的关芬系3、外违力的黑确定F=候39独80（kN）600XAF第八个章笼应个力与诵应变直状态鹅分析60例：如蜡图所电示空月心圆俘轴，撤外径D=泉12甩0m膏m，内径d=亩80绪mm，E=狱2.产0*叠105MP阻a，μ=腿0.手28，ε450=2秒.0惹*1潜0-4。求：m。解：1、取捡单元蛙体2、应截力与亩应变禁的关神系3、外披力的迫确定τX450σ450450mm=证85董04车（N悄m）第八母章派应壶力与韵应变鞋状态钞分析61例：图示茄为承雹受内渔压的译薄壁宿容器别。为灭测量奔容器证所承惠受的邪内压缩慧力值马，在绒容器吼表面肌用电者阻应渴变片幅测得涝环向耍应变

t=35边0×赚l06，若已删知容枪器平捧均直赶径D=迫50京0陷mm，壁厚

=1仓0泳mm，容器犁材料到的E=择21序0G秘Pa，

=0爆.2添5。试求:1．导毁出容阴器横樱截面购和纵捧截面飞上的直正应浑力表宋达式酿；2.计算旨容器葛所受巨的内羡压力.lmstspＤ第八盈章饥应蓄力与宿应变贤状态过分析62Ｄ

pD2４解：1、容坐器的雾轴向绑应力历和纵挣向应盘力表悟达式用横葱截面性将容冻器截幼开，妻受力辆如图蜡所示（1）、轴向纽奉应力

m

m)

Dp(ms第八岗章羡应宅力与粒应变厘状态知分析63pDl用纵淘截面技将容血器截伪开，功受力粗如图装所示（2）、匪环向倡应力

t

(2

l)

t

tpL第八尘章丹应秋力与前应变献状态纽奉分析642312、求景内压糕（以德应力闪应变六关系强求之孙）pＤmsts第八踩章全应象力与横应变民状态睛分析65xyＡ13用能凶量法忙证明意三个饼弹性恋常数耻间的穗关系球。

、纯怠剪单录元体椒的比恰能为然：、纯剪遭单元辆体比娘能的虎主应贱力表雷示为河：用广盘义虎忘克定弟律证旋明三晃个弹众性常跳数间熔的关舰系。（书恋上例虽题的吴方法裁）

、纯箩剪单巡寿元体、纯剪纸单元慕体主巡寿应力广义蛾虎克录定律表示长为：第八尚章脾应图力与拾应变穗状态告分析66小结一、订基本认概念走：1、应胸力状扩态：构吩件内着任意守一点膛处取芽一单巷元体竟，单拴元体爆上的院应力助。2、一拆点处功应力怪状态：构瞧件内纱通过处一点毅各个罪方向仙的应印力的百总称府。3、研踢究的丢目的：找算出一弊点处淹沿不乔同方碑向应酱力的赚变化睛规律社，确她定出最曲大应撤力，叼从而掀全面耽考虑仪构件粮破坏潮的原括因，建立萝适当宅的强付度条舰件。4、研雹究方是法：取僚单元双体。5、主穿平面：切押应力借等于线零的董面。6、主械应力：主抛平面熟上的鼻应力含（正敬应力厘）。7、主捉单元裳体：由蜘主平卖面组遇成的没单元贪体。第八鞋章勇应德力与闸应变弟状态誉分析67二、辰应力圆状态边的分蔑类：1、单武向应絮力状魄态：仿只有睁一个江主应怀力不胞等于骂零，粉另两唇个主素应力都等准于零穷的应彻力状螺态。2、二杆向应絮力状塔态：牧有两精个主止应力耗不等袄于零挎，蠢另一流个主肆应力等于则零的刊应力定状态坊。3、三豆向应伪力状影态：疤三向键主应付力都沃不等磁于零秘的应该力状踏态。（一旦）、义解析岭法三、遗平面汪应力瞧状态乱的计裳算：1、任谁意斜凯面上围的应脖力计葡算重点第八毁章幕应厘力与冶应变羊状态抢分析682、主应疯力，宏主平位面3、τ的极绢值及诱所在够平面第八舟章证应拐力与项应变结状态趣分析691、基颗本原理疫：圆心：半径：（二灯）、怕图解芬法：2、应扯力圆哄的绘后制：（1）、吐取直冤角坐变标系σο员τ。（2）、裂取比析例尺堪（严侵格按汤比例作做图喷