五点差分格式课件

微分方程数值解计算科学系杨韧微分方程数值解计算科学系杨韧1第三章椭圆型方程的差分格式第三章椭圆型方程的差分格式2§3.1正方形区域中的Laplace方程

Dirichlet边值问题的差分模拟

设Ω是xy平面中的具有正方形边界

的一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值

Dirichlet）问题§3.1正方形区域中的Laplace方程3

网格节点（l，m）处的二阶中心差商代替二阶微商l,m+1l–1,ml,ml+1,ml,m–1网格节点（l，m）l,m+1l–14Laplace方程的五点差分格式(3.6)为截断误差为O(h2)。-Ul,m+1

-Ul–1,m

4Ul,m-Ul+1,m-Ul,m–1Laplace方程的五点差分格式(3.6)为-Ul,m+15令则Laplac方程的五点差分格式为（3.8）即令6

例1用五点差分格式求解Laplace方程在区域内的近似解，边界值为：取。例1用五点差分格式求解Laplace方程7

解网格点如图所示U7U8U9U4U5U6U1U2U3u(1,0)=20u(2,0)=20u(3,0)=20u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0解网格点如图所示U78五点差分格式ppt课件9五点差分格式ppt课件10矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得U=[U1U2U3U4U5U6U7U8U9]’=A-1K=

[55.714343.214327.142979.642970.000045.3571112.8571111.785784.2857]T矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得11五点差分格式ppt课件12加密网格，取h=0.5加密网格，取h=0.513五点差分格式ppt课件14定义向量为从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函数值，则正方形区域Ω中的内部节点上的(M-1)2

个线性方程写为矩阵方程AU=K,其中K由边界条件确定.定义向量15五点差分格式ppt课件16§3.2

Neumann边值问题的差分模拟表示函数u沿着边界的外法线方向导数，在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。§3.2Neumann边值问题的差分模拟17讨论左边界x=0上的导数边值条件的差分模拟又由点（0，m）的五点差分格式消去U-1,m，得0,m+1-1,m0,m1,m0,m-1讨论左边界x=0上的导数边值条件的差分模拟0,m18边界x=0上(3.14)边界x=1上(3.15)边界y=0上(3.16)边界y=1上(3.17)边界x=0上(3.14)19边界x=0-2U1,m

-U0

,m+14U0,m-U0,m-1-2UM-1,m-UM,m+14UM,m-UM,m-1-Ul-1,04Ul,0-Ul+1,0-2Ul,1-Ul-1,M4Ul,M-Ul+1,M-2Ul,M-1边界x=1边界y=0边界y=1边界x=0-2U1,m-U0,m+120在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向导数用一阶中心差商代替微商在顶点（0，0）,五点差分格式为故-1,00,01,00,10,-1在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向-1,021在四个顶点（0，0）（0，M）（M，0）（M，M）在四个顶点22

例1在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的Nenmann问题解网格节点如图所示U7U8U9顶点U4U5内点U6边界点U1U2U3例1在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的U723矩阵方程为矩阵方程为24令则矩阵方程为令25§3.3

混合（Robins）边值条件§3.3混合（Robins）边值条件26

例1用五点差分格式求解Laplace方程在区域内的近似解，边界值为：取。例1用五点差分格式求解Laplace方程27

解网格节点如图所示U10U11U12U7U8U9U4U5U6U1U2U3u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(0,0)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0u(4,0)=0解网格节点如图所示U1028五点差分格式ppt课件29五点差分格式ppt课件30五点差分格式ppt课件31解矩阵方程AU=KU=[71.821856.854332.2342…75.216561.680636.0412…87.363678.610350.2502…115.6276115.146886.3492]T解矩阵方程AU