材材料力学Ⅱ电子教案二

第三章能量方法§3－1概述§3－2应变能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超静定系统§3－5虚位移原理及单位力法1第三章能量方法§3－1概述图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm，弹性模量均为E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)(a)

若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。2若利用外力功在数值上等于应变能，即利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。有专门著作，例如胡海昌著《弹性力学的变分原理及应用》。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。第三章能量方法就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。3(a)轴向拉（压）杆Ⅰ应变能第三章能量方法（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得§3－2应变能·余能4

(b)扭转第三章能量方法5(c)弯曲第三章能量方法纯弯曲

横力弯曲6可以把应变能统一写成式中，F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。第三章能量方法72.构件缓上有无一组舒广义扔力共僻同作供用令F=储F1,wC=D1,Me=F2,qA=D2,则（）（）第三抗章诉能睁量方阁法例CwCFEIABMel/2l/2qA,8Fi为广失义力梳，Di为Fi的作笋用点雁沿Fi方向扛的广既义位位移，箱它是由他所有瓣广义浮力共妈同产恨生的嘴。3.组合腿变形愁（用右内力绳形式痒表示拴的应姿变能纱）M(x)

—只产生弯曲转角第三惊章莲能尺量方灰法小变响形时果不计FS产生尾的应门变能老，FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角有n个广惧义力饼同时饮作用慕时9对于dx微段针，FN(x),刊T(x),巨M(x)均为柔外力盒。略毙去高裁阶微章量后童，dx段的海应变嘱能为杆的央应变冬能为第三枕章马能堡量方释法10(a挖)由于瞧应变啦能是妨外力千（内等力）柱或位寄移的摄二次发齐次疼式，她所以绘产生同架一种票基本机变形浙形式厕的一证组外符力在粱杆内虽产生块的应悠变能男，不拿等于慰各力抗单独貌作用芦时产凭生的泻应变个能之止和。逼小变俘形时从，产早生不胖同变烛形形姑式的竭一组负外力册在杆么内产个生的疤应变混能等通于各削力单多独作御用时潜产生按的应树变能千之和彻。第三盛章邪能医量方绣法4.应变吵能的扔特点:EAF2F1ab例F1F2Me11(b哗)应变叛能的窄大小贡与加味载顺嫌序无酬关（圣能量猛守恒其）F和Me同时察作用村在梁捎上，某并按爹同一竭比例关由零气逐渐蔬增加贵到最窃终值——简单辆加载。在线兽性弹顶性范浸围时练，力光和位亮移成铁正比猴，位淡移将故按和劫力相都同的浆比例掠，由战零逐旅渐增肥加到睡最终饶值。第三判章搭能秀量方泛法上图均中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a售)12第三宰章睁能馆量方凤法先加F,再加Me(图b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。第三洋章院能足量方朝法14因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。1.轴向恐拉伸掠与压狸缩第三造章河能模量方坦法(2乓)非线品性弹银性体应变每能为（3－1）（F－D曲线和D轴之间的面积）应变夺能密夸度为（s－e曲线和e轴之间的面积）（3－2）15（1）（3-1）和（3-2）式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。（2）因为，为非线性关系，（3-1）和（3-2）式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。应变且能密双度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为

切应变。第三碌章曲能军量方太法注意林：2.扭转应变送能16式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变捉能密朴度应变节能和洒应变缎能密懒度之充间的亦关系眉为式中绢，V为体劫积。第三握章虎能术量方纷法3.梁应变者能17例3－3原为怜水平术位置场的杆智系如意图a所示国，试蔽计算瞎在荷铸载作用城下的血应变眉能。器两杆钟的弹餐性模顾量均碰为,横截桐面面期积均著为根。解：首先疤分析是力F和位槐移D之间据的关跨系，息求出F=f(D)的表达上式。违设两臭杆的蹄轴力低均为FN，两杆洁的伸梨长量雕和A点的岗位移筐分别为（1）第三形章垫能矿量方辽法(a)18将（1）式代搞入上式得由结千点A的平巧衡方夸程，糖得(2)为小角度，(4)第三拜章领能当量方导法(3甲)由于所以19将（5）式螺代入猾（2）式堡，得或写赤成（7）F和D的关隔系如虫图b所示栏。（5）第三躬章致能匠量方母法（6）将（4）式疫代入魄（3）式箭，得20

（1）由于力F引起的变形，对产生影响，形成F和D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系——几何非性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时——物理非线性。（2）几何非线性时，不能用求应变能，而只能用求应变能。第三叙章锹能喜量方度法杆的剥应变犬能为注意21Ⅱ.余能第三搂章莫能慰量方赌法图a为非挂线性认体弹挥性体答的受滩拉杆时，其F－D和s－e关系准如图b,筛c所示仅。（1）余功备的定揉义为（3－6）

22第三奇章受能逃量方崖法其大裕小为喷曲面OF1a的面戴积如授图d所示肿。Wc和外岛力功W具有清相同擦的量烧纲，叔且Wc为矩亦形OF1aD1的面速积与漏曲面OaD1的面夺积（W）之差纹（图d）,故称Wc为余弊功。Wc只有精几何慨图形毁上的同意义编，无招物理屋概念仰，即释没有逐什么散力作碗的功痰为Wc。FF1WcaWD1Do(d)23余能密度为（3－8）(3－7)和（3－8）式豆，分近别以F和s为自析变量此，D=妄f(F),e=f(s)。所以Vc=竞f(F)为受猾力状昌态的族函数骄。第三唤章供能羽量方央法VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）线办弹性县体（餐图e）Ve和Vc数值蚂相等茫，但桐概念为和计维算方捧法不傻同，狭即Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照,余能为（3－7）（2）余程能（3－9）余能为24例3－5图a中两严杆的衣长度椒均为l,横截淋面面吊积均尺为A。材料偿在单造轴拉次伸时选的s－e关系哪如图b所示团。求自结构聋的余否能。解：该题机为物溉理非树线性保问题缎，需努用贼求Vc。第三识章你能矮量方肯法由结谎点C的平粮衡方借程，乘得二姻杆的射轴力解为应力雹为25余能古密度秒为结构氏的余不能为得第三每章钳能缸量方适法（n>1）由26图示闭梁的贤材料立为非气线性陕弹性射体，Fi为广佩义力驼，Di为广伏义位直移。短各力促同时荒作用归在梁彼上，酷并按产同一辈比例弊由零国逐渐获增加捐到最困终值纪（简爹单加软载）搜。Ⅰ.卡氏淹第一甘定理（3－10）第三章章明能艇量方暂法设各浊力和劫相应伯位移巷的瞬赵时值鲜分别恋为fi,di，各力炊在其晴相应换的位移内上做柳功,并注偿意到财材料罩为非采线性创弹性销体，纽奉梁的门应变剧能为§3－3卡氏私定理为位遭移状姓态函蜂数。27假设陆与第i个荷贴载Fi相应蚂的位窃移Di有一坑微小除位移桌增量dDi，而与厉其余锡荷载煤相应鼻的位喊移,以及废各荷羡载均美保持花不变贫。外紧力功腐和映应变扭能的拣增量逝分别叮为（dDi不是拳由Fi产生痕的，FidDi为常睛力做蜘的功）（a）第三考章弦能则量方告法(b)式中，为应变能对位移的变化率。28（3－11）式为卡氏须第一偏定理。它粮说明不，弹性鱼结构吗的应慈变能犬，对于结们构上秒与某滴一荷用载相津应的局位移艇之变妥化率票，等晴于该文荷载配的值。以休上推满导中叮并没唇有涉阔及到削梁的轰具体善性质圣，故肆（3－11）适躁用于彻一切受洒力状搂态的悄弹性择体。幼对于松线弹森性体肝也必怒须把Ve写成辉给定蓝位移雨的函键数形栽式。第三畏章钞能漆量方拿法（3－11）得令29第三今章织能坏量方政法例3－8图a所示松结构葵中，AB累,B泊C杆中俯的横贩截面虫面积喂均为A，弹性在模量掉均为E。两杆须处于饼线弹牧性范数围内陶。试局用卡氏谜第一破定理，求B点的绿水平棚位移D1和铅膜垂位热移D2。30解：卡氏电第一慨定理翠要求洒把应讽变能谈写成戒位移D1和D2的函去数，D1和D2是由AB意,B梦C杆的咬变形真量dAB,dBC所引舱起的次。首枪先分胳析dAB,dBC和D1和D2的几佣何关稳系。dAB=D1，dBC=A1co作s4朗5˚=设B点只洗发生闹铅垂显位移D2（图c），由图判可见第三屈章离能狸量方栗法设B点只腥发生朴水平缎位移D1（图b），由图巷可见31D1和D2同时岛发生帐时，巷则有,（1）,由于价是线哀弹性艇问题弃，结欧构的套应变驻能为（2）第三拘章寸能束量方施法32（3）（4）联立测求解尽（3）,（4），得可以采验证（3）,（4）式相趣当于滩平衡描方程宫。（→）,（↓）第三尊章岛能饭量方舰法由卡拼氏第祸一定色理，委得33Ⅱ.卡氏赖第二壁定理图示氧为非工线性五弹性净杆，Fi为广缩慧义力饶，Di为广小义位衔移。饶各力超按简欢单加饥载方糖式作捐用在祥梁上垃。设个加载陵过程凯中各钥位移语和相甲应力矮的瞬价时值蛙分别搁为di，fi。梁的余能为（3－12）第三庙章晌能胳量方俱法表明(1遗)余能淋定理34令上式离称为余能窝定理。可歇用于孔求解第非线练性弹悼性结市构与Fi相应称的位拍移。(3－13)得第三林章呜能律量方渔法设第i个力Fi有一特个增权量dFi，其余据各力蚊均保露持不绸变，博各位棒移均蜜不变。诵余功仿和余粒能的嫩改变烛量分抚别是35例3－9图a中两脸杆的奖长度堤均为l，横截茫面面伟积均承为A，材料痒在单垄轴拉难伸时亚的s－e的关柿系如弯图b所示蹈。试声用余能勺定理求结原点C的铅辩垂位睁移D1。第三扇章兔能市量方振法36解：在例3－5中，筋已求绝出结尾构的廊余能宽为由余诞能定映理得第三果章规能碰量方丧法设BC拴,C蓝D杆的鼠伸长牧量为d，容易米验上岗式的睛，即个为变形朽的几漠何关稳系。37由平奔衡方叮程得第三好章早能惊量方肉法两杆润的伸绕长量州为则BC楼,C乎D杆横赴截面猪上的晚的应终力为故38(2挣)卡氏腹第一驳定理笔和余煎能定浆理的奋比较

卡氏第一定理

余能定理第三坑章盲能朗量方陆法Di→Di+dDi，其它仗位移裤均不矿变，走所有少的力寨均不泄变。Fi→Fi+dFi，其它缎力均礼不变赏，所确有的荷位移别均不畏变。39

卡氏第一定理

余能定理

续表(平衡方程)第三叫章彼能李量方示法（变饮形的浇几何虾关系认）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体40(3印)卡氏遇第二夺定理当结担构为井线弹颠性体真时，霜由于票力F和位衣移D成正呀比，Vc在数锹值上尤等于誉应变均能Ve（如图币）。株若把余用赌力表父示，窗即（3－13）式可彻改写朴成（3－14）上式阅称为卡氏垦第二擦定理奏，它是挽余能暗定理努在线达弹性础情况俘下的宵特殊衰情况恐。仅徒适用斜于线守弹性泥体，罩它将懒是研枪究的勺重点熟。第三喷章五能撕量方美法VcF1FD

D1

a(e)O41它表信明，线弹碧性结咳构的谁应变围能，摘对于昏作用岸其上蒜的某纠一荷室载的贺变化去率，貌等于或与该荷恐载相宵应的侦位移杆。注意:组合遣变形傅（不到计剪尚力的绣影响辛）时也可就以写股成用该史式计住算时易，可速减少泥计算蚕工作备量。第三纳章贪能晒量方印法42例3－10图示熔梁的狠材料员为线先弹性续体，是弯曲桃刚度雁为EI，不计剪略力对波位移吗的影响誓。试澡用卡氏浅第二授定理求梁A端的妖挠度wA。解：因为A截面逃处无蛛与wA相应锦的集福中力认，不缘瑞能直懒接利下用卡艺氏第稍二定档理，育可在A截面对上虚腔加一漂个与wA相应鹊的集因中力F，利用趣卡氏植第二守定理债后，仰令F=0,即第三溪章涂能例量方岔法43梁的涌弯矩掠方程浪以及旷对F的偏横导数汽分别姑为利用饰卡氏研第二泛定理利，得（和歼假设纲的F的指净向一固致）这种披虚加F力的错方法抹，也梳称为坏附加剩力法职。(↓)第三绵章旱能技量方躁法这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。44例3－11图a所示梁的笨材料辉为线痰弹性察体，掏弯曲喝刚度姨为EI。用卡氏欧第二猫定理求中市间铰B两侧沿截面谷的相挖对转垮角额。迈不调计剪诞力对掏位移蚁的影很响。第三起章间能萍量方精法45在中伤间铰B两侧雾截面药处各悼加一死个外间力偶欢矩MB，并求角出担在一浑对外浸力偶MB及q共同部作用畜下梁税的支赤反力趋（图b）。第三拿章族能诱量方榴法解：B截面器两侧向的相拿对转马角，联就是碌与一律对外旱力偶MB相应光的相止对角积位位移紫，即46（0<x≤l）梁的姻弯矩环方程吸及其居对MB的偏瓶导数摆分别兵为第三章章谊能臣量方糠法AB段47中间铰B两侧截面的相对转角为结果小为正困，表医示广恶义位川移的伞转向该和MB的转例向一芝致。(讯)第三骑章给能吧量方怖法（0≤x≤

l），BC段48第三狐章靠能葵量方甲法例3－12图a所示榜为一杀等截神面开吐口圆坏环，语弯曲项刚度慕为EI，材料犁为线倍弹性勿。用卡氏午第二乓定理求圆戴环开仰口处激的张良开量D。不念计剪发力和钩轴力锹的影作响。49圆环物开口敢处的裳张量国就是漆和两助个F力相明对应除的相呼对线配位移编，即（←→）用

角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为第三召章纸能晴量方欢法解：，50结果府为正干，表友示广岸义位谱移方富向和技广义抚力的银指向汪一致日。第三坚章幕能凯量方体法（）←→利用黄对称进性，并由卡卵氏第昂二定屿理，骆得51例3－13图a所示Z字型化平面谋刚架赖中，和各杆茄的弯股曲刚贞度均欢为EI，材料为为线欠弹性旷，不初计剪僚力和料轴力狡对位幼移的嗓影响剧。用卡氏漠第二定亩理求A截面咱的水法平位乡丰移DAx及铅兔垂位率移DAy和A截面跑的转角qA。第三子章漫能母量方身法52解：在A截面伞处虚暴加Fx，MA（图b），粘则第三肉章堆能植量方蚕法各段睁的弯弯矩方艘程及测其对她各力著的偏察导数战分别餐为M(x)=雪-Fx-MA(0≤x≤3a)，，AB段53第三秧章拢能订量方桶法B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面幅简化纹，得左到作鹊用于B的竖谋直力F和力股偶矩3Fa，Fx和F在垂青直于BC杆方郊向上遣的力滑分别仪为Fxsi往nq，Fco誉sq，指向洞如图c中虚虹线所鹊示。54第三骨章判能安量方扇法B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，55M(x)=Fx4a－Fx－MA(0≤x≤3a)第三寨章扶能躁量方渣法CD段，，由卡铜氏第就二定飞理可谣得（←）56（↓）第三法章铜能凳量方闭法（）57

例

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和w2。试证明：第三浙章纲能隐量方琴法w11FF2w2证明己：设作寄用在1,斤2两截书面的井外力喜分别自为F1和F2，且F1=F,F2＝F，则梁籍的应堆变能桃为Ve=Ve(F1,F2)。根据搜复合剂函数尾求导控法则萝，有58第三绕章畅能狗量方仇法因此败，若仰结构葬上有那几个陆外力银的字著符相拉同时春，在怪利用诞卡氏散第二随定理咏求其业中某已一力熊的作若用点泼沿该食力方永向的赞位移病时，苍应将狗该力爱与其弓它力嗓区分汗开。w11FF2w259例图示使刚架座各杆骗的弯乡丰曲刚框度均谱为EI，不计网剪力干和轴东力对柿位移贼的影筑响。庸试用卡氏尽第二沸定理求A截面嗓的铅武垂位救移DAy。解：由于内刚架倦上A,料C截面漏的外砍力均妙为F，求A截面杆的铅橡垂位温移时仁，应尸将A处的举力F和C处的禾力F区别魂开（婶图b），唐在应舒用卡氏第枕二定狂理后旱，令FA=F。第三将章仰能赢量方堪法

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y260即AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各段死的弯症矩方暑程及敲其对FA的偏介导数夕分别液为第三太章债能呢量方添法BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y261CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以之上各意弯矩毒方程惕中的FA=F，由卡孩氏第携二定外理得（↓）第三盛章楼能丈量方堤法62例图示钉各杆盾的直席径均鲁为d，材料芒的弹院性常篮数G=0.卫4E。试用卡氏卖第二崖定理求A端的权铅垂鄙位移企（不暂计剪作力对叛位移榴的影土响）勒。解：AB段的酸弯矩点方程劫及其易对F的偏庆导数你分别衬为lCBAFlxxzyO第三惭章稳能猜量方居法（0≤x≤l），63（0≤y哑≤俊l）A端的词铅垂烈位移冒为第三怨章坟能厅量方左法，，（↓）BC段的即弯矩遇和扭范矩方爱程及量其对F的偏口导数固分别烂为64Ⅰ.卡氏眠第一旺定理忌（织）例各杆义的弹犁性模衰量均琴为E，横截畏面面隙积均细为A。试用卡氏她第一酸定理求各暮杆的群轴力铁。第三奋章职能喉量方黎法§3－4用能庄量法臭解超洞静定串系统65(2衡)解：设1,妨2际,星3杆的皮轴力估分别血为,和（图b），相应谅的位遭移为D1,D2和D3（图c）。由对恢称性裁可知院，晨，D1＝D2。由图c可知姥：第三匙章念能米量方兔法结构维的应总变能补为(1)若求耻出D3，可由燃（1）求马出D1（D2）。再由稳胡克功定律扒求出振轴力酬。以D3为基劫本未击知量这，该犁题为桑一次此超静遍定。66解得由胡旱克定距律得将（4）式尤代入坟（1）得(4)第三画章身能托量方叹法(3恼)得由，67以位砖移作奶为基按本未蔑知量踪蝶求解散超静姐定问紧题的辩方法壤，称汗为位陪移法。（1）式为隶变形饶的几桑何方禁程，（3）式为糊平衡嫌方程叨。求硬轴力食时又弊应用稿了物凯理方枝程。故位悬移法绪仍然苏是综诵合考庙虑了糟平衡也方程,几何由关系棕和物仇理方潜程来输求解贼超静钻定问双题的舟。第三花章很能网量方事法68解：若以稳各杆籍的轴键力为爸未知勇量，尸该题杂为（k-2）次超老静定贡问题详。若容以A点的哑水平限位移Dx和铅搬垂位研移Dy为未茂知量哪，各傍杆的残位移丸均可差用Dx,Dy表示揉，再拦由胡疫克定慕律求湾出轴秘力，穗该题势为二慈次超慌静定尝问题坏。第三谷章保能洁量方饺法例3－18图a中k≥3。各杆恨的弹授性模慨量均弃为E，横截厕面面屠积分除别为A1,A2…，Ak。试用卡氏隐第一唐定理求各撕杆的沈轴力碧。69第i根杆驴的长厉度为（1）由图b可知须，第i根杆朗的伸谁长量捕为（2）结构敲的应失变能著为（3）第三灵章蓄能固量方酿法70由，得（5）联解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根杆得轴力第三辫章狼能胜量方送法（4）71Ⅱ.余能定理（）例3－15三杆躬的材黎料相板同，s=Ke1/舰n(n>1)，横截席面面俊积均它为A，1,晕2两杆长耐度为l。用余能贝定理求各穷杆的质轴力石。第三侵章环能藏量方虏法72第三预章伯能兄量方驴法解：以铰爬链D的支注反力X为多依余未淘知力错，基招本静事定系名如图b所示末，F,那X看作贸基本访静定灵系上甘独立抱的外骄力，所以Vc=Vc(F,哗X)（不能太含有删其它渔未知腔力）因为社铰链D处沿款铅垂标方向催的位搏移为度零，徒应有由该敬式求眉出X后，恳再利欢用平馒衡方哈程求虾各杆唤的轴勒力。73(1桶)（轴届力均萄用F和X表示借）第三工章胆能自量方松法由平非衡方爷程得颈各杆喜的轴薪力分读别为各杆伟的应孩力分绒别为(2福)(3奇)由得74第三马章欧能滥量方纸法结构师的余械能为(4假)三杆渡的余兔能密统度分转别为75（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值代块入（1），颈得第三馒章抢能买量方葬法以力意为基极本未垂知量占解超舒静定筐问题骡的方求法，狮称为弹力法纱。76Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。第三精章田能泪量方狮法77例刚架且各杆米的弯刮曲刚技度均析为EI，不计巾剪力遵和轴净力对产位移势的影悉响，流用卡氏适第二轰定理求支兼反力探。第三虹章患能羽量方钱法CABqll(a)78解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示。由于,但是在中，出现(Ve

也将出现)，必须把第三扬章驳能叹量方墨法CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得79CB惭,继AB段的辜弯矩敲方程辫及其紧对X的偏零导数起分别核为，第三品章排能晨量方性法由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）第三丛章史能减量方膛法由平军衡条统件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81例3－17半圆酒环的卫弯曲慕刚度哗为EI，不计护剪力渔和轴鞠力对拼位移赤的影蜡响，扒用卡氏争第二吗定理求对僻称截蠢面上体的内拥力。第三卧章铺能范量方鸽法82解：沿半诞圆环代的对博称截酿面处脊截开皇，取强两个1/吐4圆环缘瑞为基糕本静幅定系朝（图b)，多余敌未知留力为漏轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题产为三报次超刑静定冠。第三而章壶能补量方昏法(a法)但由箭于结久构与享荷载央均是撤对称栗的，课内力努也应坊该是狂对称软的，煌但X3是反蹄对称章的，怕故X3＝0，问题念简化碗为二佛次超蹲静定及。半焰圆环的应掩变能刮只能患为F，X1，X2的函仙数，夸即83与X1，X2相应领的位氧移条瞧件分历别为岔两截附面的艳相对虾线位泳移和怜相对却角位叉移为魄零，替即(b举)弯矩锁方程箱及其听对X1，X2的偏微导数蛛分别张为第三否章西能窑量方链法(c)84注意孟到基触本静抽定系盐为两找个1/酷4圆环硬，(b)式成肺为(d)第三阴章它能决量方膀法(e)将(c猜)式代竭入(d乳)和(e脸)式，鲜可解依得85Ⅰ.虚位踏移原词理第三场章快能炕量方匆法（1）刚劲体虚位骂移——满足愧约束议条件村的假恰想的肯任意沈微小卷位移控。虚位客移原祥理——作用寻于刚涌体上今的力晚对于物任何免虚位呼移所野作的总功毛等于疑零（隐平衡蒜的必锋要和凉充分胶条件快）。§3－5虚位鞋移原额理及恢单位蒜力法86第三象章俊能鸣量方拣法（2）可勤变形漂固体满足粥约束舒条件定和变钢形连词续条风件的冬假想紫的任坊意微小践位移至。——外力丛作用宾下，施物体绘产生忧变形粗的同挡时产眉生内周力虚位越移——虚位蕉移原瓶理——外力商和内叔力对荷于虚记位移陷所作附的总役虚功步等于松零（芽平衡稠的充贿要条雁件）但，即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0

（3－15）871.梁的郑虚位化移原沫理第三省章徒能线量方暴法图a所示眨的位芽移为孝由荷雄载产回生的群实际掠位移萌，简眉称实贸位移委。荷旱载对主于其收相应淋位移纷上所按作的揭功为师实功蒙。图b所示覆的位咸移为轮梁的虚位撤移，醉它是制满足玩约束溜条件案和变烂形连牵续条屑件的经假想影的任白意微滨小位难移，与梁浓上的辰荷载双及其崭内力闲完全哑无关喇。(a)x实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy88第三手章右能知量方政法梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力泉对于挠虚位虽移所定作的司总虚卵功为(a)(a玩)外力村虚功(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b践)内力讽虚功取梁医的dx微段尖进行监分析迎。图c为微萝段的靠原始核位置被，其刻上面肌各力助均由膀荷载忽产生允，它取们为轧梁的凤内力顾，也幻玉是微塞段的仗外力捐。89由于涝梁的怒虚位单移，指使微刊段位棕移至链图d所示位感置。筝微段诞的虚滩位移欲可分卖为两责部分行：第三乔章仆能墙量方针法一为沫刚性匙体位别移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy90第三求章大能率量方算法二为跌变形路虚位牙移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy91(b厅)第三救章旬能絮量方之法

M、对于刚体虚位移要做虚功，但由刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于弓变形棍虚位铜移（镜图e,罚f），所做阶的虚注功为92(b)式为颜微段下的外雹力虚揉功dWe，设微棋段的掉内力勾虚功慢为dWi。由变狂形固炒体的颗虚位它移原洲理(3-夹15)，即

(c)梁的尚内力普虚功吉为

(d)将(a)嗽,(宅d)式代坡入（3－15）式，北得梁岩的虚位后移原扎理表缸达式为第三分章疼能苹量方机法得即(3-16)93组合思变形结时，臂杆横题截面术上的筛内力顶一般传有弯朱矩M，剪羊力FS，轴肠力FN及扭醒矩T。与轴为力相舱应的陕虚变库形位滔移为鲜沿轴销力方异向的甘线位坛移dd，与扭单矩相客应的贿虚变壮形位音移为垮扭转猾角dj。仿蹲照梁洪的虚仗位移苦原理锦，可某得组慰合变姨形时闲的虚坐位移每原理华表达轨式为(3-17)第三劫章莲能桐量方傍法2.组合肆变形除的虚今位移睁原理由于器以上思分析家中没肤有涉快及材微料的守物理撤性质肉，所役以(3-增17)式适吩用于六弹性央体和多非弹盛性体疼问题禾。式躲中Fi为广委义力榴，M嚷,熟FS,宰FN,盆T是由森荷载写产生芝的内弟力，案为广虹义虚仇位移拖，dq,dl,dd,为微挑段的江变形拴虚位牛移。94Ⅱ.单位辅力法(1)因为朽由荷揪载引楼起的傲位移芦，满无足约罗束条考件和享变形狼连续命条件戴，且起为微轮小位航移，愤满足台可变倡形固井体的近虚位拿移条期件。顺因此当，可污以把予由荷待载引惕起的婚实际短位移D，作冬为虚剖位移众。由腊荷载狂引起繁的微抽段的央变形方位移dq,dl,dd,dj作为刮变形师虚位曾移。艳即以实密际位尘移作请为虚仍位移撤。(2)

若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。由单位力引起的内力记为。第三提章炒能厚量方漏法95（3）单位对力所妖做的显外力凉虚功滴为We=1·D单位窃力法怨的虚候位移畏原理元表达犬式为(3-18)该式馒同样率适用任于弹仅性体收和非傍弹性董体问史题。第三陷章解能屈量方商法杆件怪的内时力虚盏功为96(3-19)于是(3-阀18)成为(3-20)式中为由单位力引起的内力，为荷载引起的内