湖北省黄冈市黄梅县蔡山第一中学高三数学文模拟试题含解析

湖北省黄冈市黄梅县蔡山第一中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在下列四个命题中①是幂函数；②“”是“”的充分不必要条件；③命题“存在，”的否定是：“任意，”④若，则函数只有一个零点。其中错误的个数有（）个A．4

B．2

C．3

D．1参考答案：B略2.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：A略3.已知等比数列{an}中，an＞0，a10a11=e，则lna1+lna2+…+lna20的值为（）A．12 B．10 C．8 D．e参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由已知中数列{an}为等比数列，且an＞0，根据等比数列的性质，可得a1?a2?…?a20=（a10?a11）10，进而可得lna1+lna2+…+lna20=10ln（a10?a11），结合a10a11=e，可得答案．【解答】解：若数列{an}为等比数列，且an＞0，∴lna1+lna2+…+lna20=ln（a1?a2?…?a20）=ln（a10?a11）10=10ln（a10?a11）∵a10a11=e，∴lna1+lna2+…+lna20=10故选：B．4.曲线在点（1，2）处的切线方程为（

） A. B. C. D.参考答案：C5.已知非零向量，满足||=1，且与﹣的夹角为30°，则||的取值范围是（） A．（0，） B． [，1） C． [1，+∞） D． [，+∞）参考答案：考点： 平面向量数量积的运算．专题： 平面向量及应用．分析： 在空间任取一点C，分别作，则，并且使∠A=30°．从而便构成一个三角形，从三角形中，便能求出的取值范围．解答： 解：根据题意，作；∴，且∠A=30°；过C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长度便是的最小值；在Rt△CDA中，CA=1，∠A=30°，∴CD=；∴的取值范围是[，+∞）．故选D．点评： 把这三个向量放在一个三角形中，是求解本题的关键．6.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．【解答】解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣）=1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B．【点评】本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．7.“”是”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B若，则有。若，则有。所以“”是”的必要不充分条件，选B.8.（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinxB．g（x）=2sin2xC．g（x）=2sinxD．g（x）=2sin（2x﹣）参考答案：D【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由图象可得A，T，可解得ω，由图象过点C（0，1），可得sin4φ=，结合范围0＜φ＜，解得4φ=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解：∵由图象可知，A=2，，∴T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4φ），∵图象过点C（0，1），∴1=2sin4φ，即sin4φ=，∵0＜φ＜，∴0＜4φ，∴4φ=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】：本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．9.已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.2﹣0.6），则a，b，c的大小关系是(

)A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|），单调性在对称轴两侧相反，通过比较自变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），∵log47=log2＞1，|3|=|log23﹣1|=log23，又∵2=log24＞log23＞log2＞1，0.2﹣0.6==50.6＞＞=2，∴0.2﹣0.6＞|log23|＞|log47|＞0．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数；∴f（0.2﹣0.6）＜f（）＜f（log47）；即c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，解题的关键是总结出函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小．10.若，则复数=A.

B．

C．

D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

.参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】200

解析：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．【思路点拨】由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．12.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是．参考答案：（1+）π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥，判断圆锥的底面直径及高，求母线长，把数据代入圆锥的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥，其中圆锥的底面直径为2，高为2，∴母线长为，∴圆锥的表面积S=π×12+=π+π，故答案为：（1+）π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．13.某产品包装公司要生产一种容积为的圆柱形饮料罐（上下都有底），一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍，若不考虑饮料罐的厚度，欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面半径是

．参考答案：14.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．参考答案：4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S=2059时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=3，k=2满足条件S＜100，S=11，k=3满足条件S＜100，S=11+211=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的k，S的值是解题的关键，属于基础题．15.已知函数f(x)的导函数为，且满足关系式，则的值等于

．参考答案：由，可得：，∴，解得：∴.故答案为：

16.设a+b=﹣2，b＜0，则当a=

时，﹣取得最小值．参考答案：2【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】求﹣的最小值，消去常数1，∵，a+b=﹣2，那么﹣=，从而利用基本不等式求解最小值时a的值．【解答】解：由题意：a+b=﹣2，b＜0知b=﹣2﹣a＜0，∴a＞﹣2．∵，当a＞0时，则：﹣==∵b＜0，∴≥2=1，当且仅当﹣b=2a时取等号．所以≥1﹣=，此时：解得：a=2当﹣2＜a＜0时，则：﹣==所以≥1+=，当且仅当b=2a时取等号．此时：a=综上所述：当a=2时，﹣取得最小值为．故答案为2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，当且仅当取等号时a，b的关系．属于基础题．17.已知数列{xn}为等差数列，且x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，则数列{xn}的前20项的和为．参考答案：100【考点】数列的求和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过等差中项可知x2=，x19=，利用数列{xn}的前20项的和为，进而计算可得结论．【解答】解：∵数列{xn}为等差数列，∴2xn+1=xn+xn+2，又∵x1+x2+x3=5，x18+x19+x20=25，∴x2=，x19=，∴x2+x19=+=10，∴数列{xn}的前20项的和为=100，故答案为：100．【点评】本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设函数⑴求的单调区间；⑵若关于的方程在区间上恰有两个相异实根，求实数的取值范围。参考答案：解析：⑴定义域为，因为所以，当或时，当或时，故的单调递增区间是和的单调递减区间是和

(6分)（注：和处写成“闭的”亦可）⑵由得：，令，则或所以≤时，≤时，故在上递减，在上递增

（8分）要使在恰有两相异实根，则必须且只需即

（12分）19.如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．参考答案：解：（1）易求A（2，1），B（﹣2，1）．…（2分）设P（x0，y0），则．由，得，所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．平方得，即．…（10分）因为直线MN的方程为（x2﹣x1）y﹣（y2﹣y1）x+x1y2﹣x2y1=0，所以O到直线MN的距离为，…（12分）所以△OMN的面积S=MN?l=|x1y2﹣x2y1|===．故△OMN的面积为定值1．…（16分）略20.，求参考答案：

中肯定一个为1，一个为-1 若，则

则

反之也成立注意：，，取值范围可利用取特值法进行分析21.如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1?平面OAB1∴AB1⊥