从中考题里学方法

精品文档-下载后可编辑从中考题里学方法解直角三角形是近年来各地中考命题的热点之一，其内容包括锐角三角函数和解直角三角形的应用两大块，题目的类型大多涉及距离、高度、角度等的计算.对于一些实际问题，还要求大家能根据题目信息，画出图形，建立模型，并用解直角三角形的知识加以解决.

例1（2022・湖北鄂州）如图1，RtABC中，∠A=90°，ADBC于点D，若BD∶CD=3∶2，则tanB=（）.

A.B.

C.D.

【解答】由题意，BD∶CD=3∶2，可设BD=3k，CD=2k（设k法）.

在RtABC中，∠A=90°，

ADBC于点D，AD2=BD・CD=6k2，

即AD=k.

在RtABD中，tanB===.故选D.

【评析】在本题中，要求tanB的值，可将∠B放在RtABC中，求；也可将∠B放在RtABD中，求.甚至可利用∠B=∠CAD，转化成求tan∠CAD.最终的选择，可由计算量的大小决定.

例2（2022・山东莱芜）如图2，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向的C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）

【解答】过A作ADBC，交BC的延长线于点D，如图3.

在RtADB中，cos∠BAD=，即cos66°=，AD=72・cos66°≈72×0.4=28.8（海里）.

sin∠BAD=，即sin66°=，BD=72・sin66°≈72×0.9=64.8（海里）.

在RtADC中，cos∠CAD=，即cos37°=，AC=≈=36（海里）.

sin∠CAD=，即sin37°=，CD=36・sin37°≈36×0.6=21.6（海里）.

BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2（海里）.

A岛上维修船需要时间tA===1.8（小时）.

B岛上维修船需要时间tB===1.5（小时）.

tA>tB，

调度中心应该派遣B岛上的维修船.

【评析】利用解直角三角形的知识解决实际问题，首先要弄清楚仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念的含义，然后将实际问题抽象成数学问题，并根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来.然后通过分析几何图形得到边与角之间的关系，通过数与形的结合经历计算、推理等方式解直角三角形，使实际问题得到解决.

例5（2022・江苏泰州）如图4，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.（参考数据：sin36°52′≈0.6，tan36°52′≈0.75）

【解答】如图4，过点C作CFAB于点F，设塔高AE=x.

由题意得，EF=BE-CD=56-27=29（m），AF=AE+EF=（x+29）m，AB=（x+56）m.

在RtAFC中，tan∠ACF=，即tan36°52′=≈0.75，CF=（x+29）.

在RtABD中，tan∠ADB=，即tan45°==1，DB=x+56.

CF=DB，（x+29）=x+56.解得x=52.

答：该铁塔的高AE为52m.

【评析】在一些复杂的问题中，不能直接通过解直角三角形得出结论时，可考虑引入未知数，借助方程加以解决.同时需了解几何图