第01讲 三角函数的图象与性质（解析版）

第01讲三角函数的图象与性质高考预测一：根据解析式研究三角函数的性质类型一化为形式1．已知函数（其中，，，的部分图象如图所示．（1）求，，的值；（2）已知在函数图象上的三点，，的横坐标分别为，1，3，求的值．【解答】解：（1）由图知，．（1分）的最小正周期，所以由，得．（4分）又且，所以，，解得．（7分）（2）因为，（1），（3），所以，，，设，（9分）在等腰三角形中，设，则．（11分）所以．（13分）2．设函数的最小正周期为．（1）求的单调递增区间；（2）求函数在上的值域．【解答】解：（1）由于，，所以，所以．令，求得，可得的单调递增区间为．（2），，则，则，，所以函数在上的值域为，．3．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，求的单调区间及最小值．【解答】解：（1）函数所以函数的最小正周期是，综上所述，结论是：函数的最小正周期是．（2）由（1）知：，因为，所以，，所以当，即时，函数取得最小值，取得最小值时，的集合是，所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，．4．已知函数．（1）求的定义域与最小正周期；（2）讨论在区间，上的单调性．（3）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因为，则，所以函数的定义域为，，又，所以的最小正周期为；（2）令，，解得，，当时，，所以在区间，上单调递增，令，，解得，，当时，，所以在区间，上单调递减，综上所述，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增；（3）由（2）可知，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，所以，因为，，则，因为，时，不等式恒成立，则，即，解得，所以实数的取值范围为．类型二：二次函数型5．已知向量，，，向量，设函数．（1）求的最小正周期；（2）求在，上的最大值与最小值；（3）若，且，；求的值域．【解答】解：向量，，，向量，函数；（1）；（2），，；，；当即时，取最小值：；当即时，取最大值：．（3）令，由（2）可得，；所以问题转化为求在，上的值域；又因为时，取最小值；时，．即的值域为：，．6．已知函数．（1）求的值；（2）求的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数，故．（2）由于，故当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为6．7．设函数．（1）用表示在，上的最小值（a）；（2）当（a）时，求的值，并对此值求的最大值；（3）问取何值时，方程在，上有两解？【解答】解：（1），令，则，，则函数是开口向下，对称轴为的抛物线，当，即时，（a），当，即时，（a）（1），（a）．（2）当，即时，（a），解得：；当，即时，（a），解得：（舍去）；故．此时，，，当时，函数取最大值；（3）若在，上有两解，即在，上有两解，即在，上有两解，故，解得：，8．函数（其中的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程在上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解答】解：（1）易知，故，所以，可知，结合，，故．（2）由，得，故：．因此函数的值域为．设，使关于的方程在上有三个不相等的实数根，当且仅当关于的方程在和上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间上．令．①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，，解得．②当方程的一个根是时，，另一个根为，不满足条件；③当方程的一个根是1时，，另一个根为，不满足条件；因此，满足条件的实数的取值范围是．高考预测二：利用图象和性质求解析式类型一：图象型9．已知函数，，的一段图象如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求此函数在上的递增区间．【解答】解：（1）由函数的图象可知，，周期，，，，函数的图象经过，，即，又，；函数的解析式为：．（2）由已知得，得，即函数的单调递增区间为，，．当时，为，，当时，为，，，函数在上的递增区间为和，．10．已知函数，，的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，为偶函数，求的值．（3）若，，，求的取值范围．【解答】解：（1）由函数的部分图象知，，，解得，所以，由“五点法”画图知，，是第一个点，所以，解得，所以．（2）函数，为偶函数，，，，，又，所以，或．（3）函数，，当，时，，，即，，所以，，所以函数的取值范围是，．类型二：性质型11．已知函数，其中．（1）求函数的值域（2）若在区间，为增函数，求的最大值．【解答】解：（1）；（2）令则的单调递增区间为，故是子区间，故，故的最大值为．12．设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（1）求的值；（2）求在区间，上的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数．因为的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为又，所以，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，当时，，所以，因此，，所以在区间上的最大值和最小值分别为：，．13．已知函数，是上的偶函数，其图象关于点，对称，且在区间，上是单调函数，（1）求和的值；（2）已知对任意函数满足，且当时，，试求：．【解答】解：（1）解：由是偶函数，得，即，所以，对任意都成立，且，所以得．依题设，所以解得，由的图象关于点对称，得，取，得，，，又，得，，1，2，3，，，1，2，当时，，在，上是减函数，满足题意；当时，，，在，上是减函数，满足题意；当时，，在，上不是单调函数；所以，综合得或2．（2）由（1）得，，又对任意函数满足，且当时，，由题意可得函数图象关于对称，即有，，从而解得：或，即是整数，由（1）可得，，．高考预测三：图象变换14．已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程（2）已知关于的方程在，内有两个不同的解，．①求实数的取值范围；②证明：．【解答】解：（1）将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得，再向右平移个单位长度得．令得，所以，．解得对称轴方程为．（2）①令，易知，其，，令．又因为，所以，是函数一个周期的区间．所以若方程在，内有两个不同的解，只需，即即为所求．②因为，是方程的根，所以，满足．即，，又的对称轴由，结合，得对称轴为．可知，关于对称轴对称，所以，所以或．当时，．当时，．故．15．设函数，其中．若．（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．【解答】解：（1）因为，且，所以，．故，．又，所以．（2）由（1）得．所以，因为，所以，所以，当，即时，取得最小值．16．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：0①0200（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数的解析式；（2）若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求当，时，函数的单调递增区间；（3）若将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．【解答】解：（1）表格中①填：，的解析式为：，（2），令，，，，，和，即的单调递增区间为和，注：若学生写成，建议扣（1分）．（3），图象的一个对称中心为，，，即，．预测四：与平面向量结合17．设向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设函数，求的最大值及取得最大值时的值．【解答】解：，且，，，可得，等式两边约去，得，因此，可得；，，，．，可得，，当即时，有最大值为1，由此可得：的最大值为，相应的值为．18．已知向量，，，．（1）若，求的值；（2）设，若恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1），且，，，，，即，又，，；（2）易知，，，，，，当时，，取得最大值：，又恒成立，即，故，．19．已知向量，，函数的最大值为1．（1）求的值；（2）设，，，求的值；（3）将函