中考数学真题：2020荆门中考真题

2020年湖北荆门数学真题(本试卷共6页，24题．全卷满分120分．考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.|－eq\r(2)|的平方是()A.－eq\r(2)B.eq\r(2)C.－2D.22.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为()A.0.826×1010B.8.26×109C.8.26×108D.82.6×1083.如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为()第3题图A.20B.30C.40D.504.下列等式中成立的是()A.(－3x2y)3＝－9x6y3B.x2＝(eq\f(x＋1,2))2－(eq\f(x－1,2))2C.eq\r(2)÷(eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3)))＝2＋eq\r(6)D.eq\f(1,（x＋1）（x＋2）)＝eq\f(1,x＋1)－eq\f(1,x＋2)5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.1B.2C.eq\r(2)D.4第5题图第6题图6.△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2eq\r(3)，D为BC的中点，AE＝eq\f(1,4)AB，则△EBD的面积为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(3\r(3),8)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(\r(3),8)7.如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为()A.14°B.28°C.42°D.56°第7题图第9题图8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116.这组数据的平均数和中位数分别为()A.95，99B.94，99C.94，90D.95，1089.在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为(1，eq\r(3))，将Rt△AOB沿直线y＝－x翻折，得到Rt△A′OB′，过A′作A′C垂直于OA′交y轴于点C，则点C的坐标为()A.(0，－2eq\r(3))B.(0，－3)C.(0，－4)D.(0，－4eq\r(3))10.若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是()A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根C.有一个大于1另一个小于1的实数根D.没有实数根11.已知关于x的分式方程eq\f(2x＋3,x－2)＝eq\f(k,（x－2）（x＋3）)＋2的解满足－4<x<－1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为()A.正数B.负数C.零D.无法确定12.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，第12题图连接AC、BD，则AC＋BD的最小值为()A.2eq\r(5)B.2eq\r(10)C.6eq\r(2)D.3eq\r(5)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分．)13.计算：eq\r(8)－tan45°＋(－2020)0－(eq\r(2))－1＝________．14.已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m>0)的一个根比另一个根大2，则m的值为________．15.如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为________．第15题图第16题图16.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B(－2，1)，将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y＝eq\f(k,x)(x<0)的图象经过点G，则k的值为________．17.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1，2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1<x2)，若x1＋x2>2，则y1<y2；④若抛物线经过点(3，－1)，则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3.其中正确结论的序号为________．第17题图三、解答题(本大题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.(本题满分8分)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝eq\r(2)＋1，y＝eq\r(2)－1.19.(本题满分9分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F.(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．第19题图20.(本题满分10分)下图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：(1)求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；(2)补全条形统计图；(3)按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这(x＋y＋2)件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为eq\f(3,5)，求x，y的值．第20题图21.(本题满分10分)如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．(1)求∠ABE的度数；(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，eq\r(3)≈1.73)第21题图22.(本题满分10分)如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE.(1)求证：AB＝BM；(2)若AB＝3，AD＝eq\f(24,5)，求⊙O的半径．第22题图23.(本题满分10分)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋4（0<x≤20）,－\f(1,5)x＋12（20<x≤30）))，销售量y(千克)与x之间的关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)第23题图24.(本题满分12分)如图，抛物线L：y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(5,4)x－3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；(2)如图①，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD＋BD的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)如图②，将抛物线L：y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(5,4)x－3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．第24题图

2020年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案与试题解析1．D【解析】|﹣|的平方是2．2．B【解析】82.6亿＝8260000000＝8.26×109．3．C【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40．4．D【解析】A、原式＝﹣27x6y3，所以A选项错误；B、（）2﹣（）2＝（+）•（﹣）＝x•1＝x，所以B选项错误；C、原式＝÷（+）＝÷＝×＝＝6﹣2，所以C选项错误；D、﹣＝＝，所以D选项正确．5．B【解析】（1+1）×1÷2×2＝2×1÷2×2＝2．故该几何体的体积为2．6．B【解析】如解图，连接AD，作EF⊥BC于F，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°在Rt△ABD中，BD＝BC＝，∠B＝30°，∴AB＝＝＝2，∴AD＝＝1，∵AE＝AB，∴＝，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴＝，∴∴EF＝，∴S△BDE＝＝＝．第6题解图7．D【解析】∵在⊙O中，OC⊥AB，∴＝，∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°．8．B【解析】这组数据的平均数＝（78+86+60+108+112+116+90+120+54+116）＝94，把这组数据按照从小到大的顺序排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120，∴这组数据的中位数＝＝99．9．C【解析】∵点A的坐标为（1，），∴AB＝1，OB＝，∴OA＝＝＝2，∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，∴A'（﹣，﹣1），∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，∴∠A′CO＝∠A′OB′，∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，∴△A′OB′∽△OCA′，∴＝，即，∴OC＝4，∴C（0，﹣4），故选：C．10．C【解析】由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），画出函数的图象如解图：第10题解图由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根．11．A【解析】＝+2，（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3），解得x＝﹣3，∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，∴﹣4＜﹣3＜﹣1，解得﹣7＜k＜14且k≠0，∴解k＝﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，∴符合条件的所有k值的乘积为正数．12．B【解析】设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如解图①，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，第12题解图①∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）PM+PN的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．解法二：如解图②，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．第12题解图②则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≤EA′，EA′＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．13．【解析】原式＝2﹣1+1＝．14．1【解析】设方程的两根分别为t，t+2，根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），所以m的值为1．法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m），∴关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的两根分别为x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1，∴x2﹣x1＝2m＝2，∴m＝1．15．π﹣【解析】∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，∴OB＝OC＝2，∴△BOC是等边三角形，∵过C作OA的垂线交AO于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠AOC＝30°，∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD＝﹣+＝π﹣．16．﹣【解析】∵B（﹣2，1），∴AB＝1，OA＝2，∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，∴△OCG∽△OED，∴＝，即＝，解得CG＝，∴G（﹣，1），把G（﹣，1）代入y＝得k＝﹣×1＝﹣．17．①④【解析】①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；②△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意．18．解：原式＝[（2x+y）﹣（x+2y）]2﹣x2﹣xy＝（x﹣y）2﹣x2﹣xy＝x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy＝y2﹣3xy，当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣3（+1）（﹣1）＝3﹣2﹣3＝﹣2．19．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝×140°＝70°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°，∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABF＝30°，∵AD＝DC＝2，∴AB＝AC＝4，在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×＝．20．解：（1）60÷30%＝200（件），×100%＝10%，1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%．答：XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）S号服装销量：200×25%＝50（件），L号服装销量：200×20%＝40（件），XL号服装销量：200×15%＝30（件），条形统计图补充如解图；第20题解图（3）由题意，得，解得．21．解：（1）如解图，过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，第21题解图由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，∴AD＝AB×sin30°＝20×＝10（海里），BD＝AB×cos30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3（海里），∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四边形BDCF为矩形，∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），设快艇的速度为v海里/小时，则v＝＝9.85（海里/小时）．答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离约为19.9海里．22．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴AP⊥AC，∴∠CAB+∠PAB＝90°，∴∠AMD+∠AEB＝90°，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠CAB，∴∠AMD＝∠PAB，∴AB＝BM．（2）如解图，连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠CAB＝90°，∵∠CAB+∠PAB＝90°∴∠C＝∠PAB，∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，∴∠AMD＝∠D＝∠C，∴AM＝AD＝，∵AB＝3，AB＝BM＝BE，∴EM＝6，∴由勾股定理可知：AE＝＝，∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，∴△MAE∽△CBA，∴＝，∴，∴CA＝5，∴⊙O的半径为2.5．第22题解图23．解：（1）当0＜x≤20时，