弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

课程教学内容：

第一章绪论第二章塑性成形分析的理论基础第三章有限元法基本概念第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法第六章几种通用有限元分析软件介绍（ANSYS、MARC、ABAQUS）第七章几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例4.1非线性问题及分类在分析线性弹性问题时，假定：应力应变线性关系结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）加载时边界条件的性质不变

如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题非线性结构的基本特征：变化的结构刚度非线性问题可以分为三类：材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变关系的非线性引起。如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化。如板壳的大挠度问题——平衡方程必须建立于变形后的状态接触非线性：接触状态的变化所引起。如金属成形、跌落试验、多零件装配体等碰到障碍物的悬臂梁（端部碰到障碍物时，梁端部的边界条件发生了突然变化，阻止了进一步的竖向挠度。）板料的冲压成形接触非线性例子随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析求解能力。非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优劣的标准。非线性问题的有限元求解方法非线性方程(组)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）每个增量步采用Newton-Raphson迭代法非线性问题有限元控制方程：非线性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代非线孙性方牛程组亡的迭小代求烟解方测法直接密迭代颜法N-耕R迭代修正往的N-狱R迭代非线钞性问燥题的描增量修法求专解过减程(1凭)将总距的外后力载数荷分宋为一芽系列露载荷破段(2厕)在每天一载默荷段闭中进思行迭狠代，策直至胳收敛(3终)所有冻载荷虽段循茶环，痕并将裳结果左进行虑累加(1辟)将总呢的外占力载泡荷分稻为一秧系列犬载荷猾段(2叼)在每而一载隔荷段筛中进花行迭炊代，渐直至辅收敛N-造R迭代:(3药)所有锣载荷百段循削环，挎并将皮结果榴进行约累加4.界2材料绞非线巨性问墓题及刷分类概念胞：由菌于材羽料的丧应力精应变被非线露性关肉系引杨起的盼非线翻性。分类擦：不依梁赖时绣间的史弹、策塑性铺问题非线腔性弹趁性——橡胶弹塑选性——冲压待成形依赖延于时机间的缺粘（插弹、当塑）叠性问格题蠕变——载荷匠不变掩，变甘形随陪时间流继续围变化松弛——变形牙不变很，应贝力随铸时间钞衰减非线船性弹橡性材刻料行娱为橡胶匙应力蜂应变详关系差曲线弹塑夕性材射料进脑入塑童性的困特征南：载户荷卸特去后洗存在泰不可恢恢复宋的永六久变背形。应力即应变柏之间降不是贩单值境对应疯关系腾，与葬加载惹历史秆有关到。单轴磨应力杨状态指下弹第塑性虑材料势行为单轴岁（一脾维）西应力业状态挨下材胜料的吵应力仙应变成行为讽可以草从拉丙伸试就验中委获得北。单调答加载硬化疯塑性理想绪弹塑员性各向缺同性敢硬化:运动踩硬化:混合劫硬化:反向结加载运动随硬化各向膀同性障硬化混合僻硬化在简队单拉亩伸的荡情况海下，当形材料昂发生虽塑性抢变形牙后卸铲载，剧此后雨再重滚新加倦载，伪则应转力和课应变苦的变谢化仍狸服从民弹性鞋关系犁，直萄至应泛力到苹达卸散载前遍曾经舅达到勺的最萝高应冷力点变时，缴材料赚才再次盛屈服（后继恶屈服）。这个英最高刮应力否点的蝴应力陈就是御材料严在经知历了鸽塑性擦变形赠后的净新的诞屈服鼠应力米。由虚于材柳料的史强化婆特性滴，它离比初震始屈货服应久力大颗。为了珍与初矿始屈枣服应鲜力相隐区别纸，我怠们称储之为后继企屈服罗应力。与初疗始屈质服应盈力不碰同，它不进是一朱个材看料常妥数，辨而是叼依赖于塑胞性变戚形的燥大小局和历段史。后继扶屈服路应力业是在螺简单杏拉伸克下，货材料在经派历一汽定塑言性变概形后再百次加紧载时旅，变考形是向按弹值性还页是塑饮性规堂律变它化的毕界限。和简劣单应唇力状碑态相饰似，鱼材料在复途杂应必力状漏态下同样存在樱初始闸屈服扬和后暂继屈刷服的疼问题。材料晴在复芹杂应壤力状物态下羊，在蹈经历乞初始爹屈服选和发搬生塑些性变谢形后危，此慢时卸秩载，叨将再辫次进腊入弹萍性状膊态（概称为后继衡弹性馆状态）。把复诊杂应跌力状企态下脱，确泪定材称料后疲继弹淹性状耕态的锹界限殃的准陪则就易称为后继吩屈服辱条件，又娇称为加载富条件。问题:当材亩料处普于后琴继弹枕性状疫态而舒继续应加载浇时，盾应力冶（或疲变形山）发登展到剖什么宅程度惊材料鲁再一偏次开帝始屈糊服呢删？一般贿应力觉状态牵下弹率塑性边材料会行为屈服扔准则朽（初伙始屈休服条繁件）硬化结法则（后亲继屈册服函掏数、刚加载举函数怜、加阿载曲档面）流动底法则加载错、卸压载准半则屈服左准则明（初毒始屈蜓服条级件）在单生向受奸力情宏况下坏，当毯应力疮达到板材料摔的屈凡服强辽度时井材料胀开始阅产生稼塑性汤变形饿。对于煎一般矩复杂逢的应地力状环态，底应力乏状态哀由六宵个应荒力分推量决竞定时济，显什然不晨能根剩据某茎个单贺独应锈力分贫量的尺数值惰作为灭判断拖材料圈是否堪进入葵塑性奏变形屿的标填准。剖为此尽，引当入以妖应力堡分量腾为坐谋标的湿应力卖空间贼，根付据代维表不宝同应罚力路讯径的扇实验另结果释，可番以定芳出从某弹性辱阶段堡进入煌塑性稍阶段队的各宜个界玩限，泽即屈误服应秘力点秤。在刮应力锁空间短中，矩这些俘屈服杜应力护点形程成一心个区分办弹性貌和塑析性的趴分界播面——屈服胞面。描述申这个尚屈服秘面的骑数学松表达掏式就卵是我已们所怎要寻跨求的态一般蕉应力造状态爆下的代屈服薪准则唯。常用逆的各项向同谅性Vo制n-Mi城se垮s屈服难准则畅：各向扑同性班屈服撞准则党：各个居方向碑屈服掏应力爷相同各向偷异性箩屈服朽准则支：不同油方向饿屈服遥应力未有差即异三维赢主应约力空劳间π平面铜上的专屈服叫轨迹σ3=0平面杜上的炕屈服值轨迹硬化抄法则塑性谈硬化苗法则妙规定寒了材叼料进槐入塑氧性变泡形后忽的后址继屈池服函努数（衰又称腔加载筐函数醉或加倾载曲扫面）各向催同性吊硬化运动访硬化混合木硬化运动忆硬化束：该模锋型假苹设材半料随百塑性键变形押发展标时，却屈服帖面的问大小创和形股状不刃变，勇仅是箩整体放在应顷力空如间作纠平动悬。各向垄同性绣硬化船：材料楼进入碎塑性端变形剂以后滋，屈求服面皆在各污方向欲均匀董地向召外扩锦张，父其形豆状、石中心允及其敞在应逢力空邪间的盗方位闪均保垄持不蒸变。材料富的强秧化只况与总衔的塑劲性变带形功撑有关牺而与应加载且路径浙无关射。应力帅有反滴复变找化时沙，等汗向强郑化模绪型与习实验女结果礼不相桥符合锄。混合速硬化僵：其实惑质就做是将孝随动缺强化烛模型锣和等映向强抚化模责型结庆合起紫来，梨即认批为后碧继屈银服面拆的形棒状、士大小此和位裂置一垂起随杠塑性烟变形低的发牌展而季变化。该模剂型能劝够更田好的戚反映核材料进的Ba冠us攀ch怀in河ge对r效应客。各向班同性伞硬化运动逆硬化流动女法则塑性老应变抱增量拾和应旋力分眠量的春关系级：塑性白应变谷沿后勿继屈痛服面F=0的法碍线方厚向——是一救正的响待定厦系数搞，其叙具体震数值双和材料井硬化滋准则伞有关加载踏、卸扩载准尖则对于小硬化毒材料途（当忌材料趁处于乡丰某一松塑性章状态循）：4.宪3几何剃非线融性问煎题及坚分类概念肢：由于串大位贤移、鱼大转赏动而凭引起碰的非调线性蜘。分类司：大位晕移、装大转么动、小应盼变问题——板壳旱的大库挠度犬和后霉屈曲大位北移、冲大转透动、大应全变问题——薄板膝成形退、弹秋性材俗料的箱受力比较钳：线常弹性—几何记非线省性线弹仙性：小变积形假害设——假定塔物体摇发生术的位逃移远骡小于助物体欧本身等的几歪何尺秘寸，前应变澡远小参于1。建渐立平捡衡方许程时友不考看虑物跌体位如置和务形状势的变是化。几何滑非线请性：物体桥发生扁有限呜变形——大位汉移、帖大转晕动的区情况音。建围立平要衡方尖程时揭必须钢考虑锁物体射位置向和形红状的擦变化喷。第四记章鼠弹塑跨性有我限元榨法基敏本理水论与累模拟帅方法4.兼4弹塑靠性矩姥阵应力秧与应矿变的半关系龟有各年种不应同的杜近似树表达些式和来简化胁式。延根据怜普兰见特尔—罗伊锈斯（Pr联an械dt瓦l-驾Re俯us飘s）假袭设和导密赛础斯屈嚼服准并则，酱当外杀作用湖力较汽小时童，变奇形体拣内的排等效半应力伟小于狮屈服奏极限够时为弹性蔬状态。当吗外力苍增大遮到某金一值绑，等娃效应读力达达到屈备服应书力，警材料欣进入塑性扮状态，这牺时变唱形包焦括弹铅性变弟形和寨塑性记变形所两部挂分，劝即：式中郑下脚e、p分别剥表示鹿弹、储塑性柄状态松。(4拥-1秩0)在弹志性阶愿段，授应力表与应绳变关容系符紧合虎具克定恳律。进入匀塑性破状态旋后，但符合Pr神an柱dt递l-钢Re锤us梅s假设垦。4.堪4.击1弹性众阶段在弹检性阶第段，倒应力妈和应绍变的茧关系打是线缘瑞性的份，应磁变仅侍取决殿于最障后的郊应力舌状态渐，并柄且一紧一对腿应，嗽而与父变形扎过程身无关淡，有铺下列全量形式激：式中国为弹性增矩阵。(4骆-1心1)对于净各向彼同性柏材料算，由洞广义葱虎克荡定律泻可得列：或：(4车-1搭2)式中盟：是材痒料的弹性狡模量，规是泊松连比。对于熄各向传同性育材料抱，广两义虎屠克定抛律：是材鸡料的剪切搞弹性垒模量式中陕：是材撞料的弹性氧模量，兼是泊松害比。公式闻（4-抖12）的笋具体省推导敞：（2）+（3）有安：将其复带入舌（1）得妄：将其牺带入疼（1）得心：同理浴可推逃得香得厘表达眯式，写母成矩座阵的恢形式优，就伏是：4.朝4.抖2弹塑恢性阶屡段当材喉料所绞受外浪力达轻到一虑定值财时，本等效描应力脂达到芳屈服序极限河，应赶力应玩变关恳系曲脑线由弹塑撒性矩阵阵决定晴，现个推导就弹塑权性矩烛阵。等效肥应力为：对应趟力求株导得思：式中村为奇应力伶偏量踪蝶，(4粱-1驳3)(4心-1赴4)公式肉（4-床14）对循应力下求导音的具灯体推抖导：由普赵兰特脸尔—罗伊膀斯关石系有塘：将式4-展14代入垄式4-样15得：写成项矩阵辉形式糟为：(4冠-1戚5)(4购-1膝6)(4牙-1释7)公式灿（4-耐16）的和具体傍推导凑：式中:又因住有：写成匆矩阵独乘积妨的形糠式为齐：(4侧-1鄙8)(4椅-1傍9)设为硬邀化曲辱线歌上解任一哈点的重斜率滨，即将式4-鄙20代入果式4-门19中得那：将式4-忠11写成条增量筛形式莫为：(4病-2此0)(4秋-2胆1)(4怠-2倘2)再利低用式4-盏10就可程得到返：两边辨同乘调以后可查得:利用恩式4-宁17和式4-或21，可欠将上激式写悠成：(4米-2室3)(4饿-2获4)(4付-2发5)由此守得：将式4-景26代入谦式4-务17得：(4区-2钥7)(4翅-2禁6)将式4-谷27代入私式4-弟23得：(4恩-2柔8)由式4-吹14有：则:(4帐-2昨9)(4势-3岂0)将式4-末12代入泊式4-甚30，并穿注意皱到：兼得招：因有导：(4抽-3痛1)(4扎-3化2)(4碌-3凑3)因为矿：所以胳：公式貌（4-靠31）的滴具体梳推导讯：故：注意赠：因为喇：所以让：公式们（4-腔33）的街具体末推导旬：即：那么许：或者碧：故令额：式4-辅28可写熄成：(4等-3狭4)(4当-3俩5)利用梢上述刃关系企式可京将式4-捎34表示辉成显唇式，填即：(4揭-3清6)(4漂-3退1)公式条（4-革36）的屯具体根推导融：对于排平面融应力投状态满，旨，撕则有惨：(4红-3券8)(4稍-3控7)公式竖（4-闯37）的嚷具体刺推导稠：对于花平面滤应力篇状态姐，坦，最则有宅：(1脸)(2霜)得：同理稳可推破得减的两表达抄式:写成厌矩阵悦的形梅式，朋就是雾：按照春上述击同样编方法悼可得赞：式中耗：在塑肚性区根：(4蜓-3太9)公式显（4-金39）的来具体闻推导秒：所以版：由普蚊兰特底尔—罗伊奸斯关鲜系有绕：写成屯矩阵抹形式护为：仿照两前面谨，不握难推声得：而：其中迹：对于日平面腹应变恐问题屋，有只需谁从式4-膛12和式4-愚36中消曾去上温述为非零的泼分量弊，就庙可得申到下滤列各酷式。(4躬-4旬0)(4牲-4臣2)(4豪-4惊1)4.境5变刚常度法变刚圣度法壳又称切线幅刚度势法，它竭所采阶用的物应力滩与应朴变关决系见罩图3-扔1。在棒等效侦应力揭达到远屈服痰极限输后，洁应力穗与应晶变不拜再是采线性扰关系甩，而陷是由丢下列祸关系稍式所赌确定卡。(4庄-4摘3)弹塑性性矩隙阵[D]ep中含纤有应繁力，交它是加紫载过命程的祝函数。直接类求解泉是困禾难的狸，通例常采用观增量趴形式来近栽似代造替微敌分形喂式，这矩样使慰求解边成为英可能敲。计算贸中由划于[D]逐ep在∆{σ折}范围奸内变遇化不陡大，思因此荒可假设在巩每一颗加载倦步中迅是一声个常傍数，并研以该手加载默步前辣的应葡力状态壶近似唉计算抬出[D]狸ep，即烂：单元捷刚度希矩阵[k柿]在一羊个加不载步木中也喊同样曲取作补常数，即我：(4坚-4绢4)(4忽-4运5)在一朱个变败形体勺中，感不仅归各点各的应棒力状砖态是告不相粥同的趴，而鞋且随度着加喝载而开变化贷着，请通常变形栽体受灶外力芹作用轨时，帖从一雹个区推域到尊另一挑个区或域，典等效云应力闪是逐仆渐地粱达到区屈服粮极限暂，即术进入蛮塑性室（弹趋塑性测）状芦态。为中了简址化，跑本章惧所指籍进入挂塑性版即为氏弹塑预性状福态，鲁这就兴是说盯在变护形体死中，沿各单伐元的党应力葛和应荷变状亏态是哑不一湾样的锄，随健着加肾载又杂是变极化的坛，且毅各有岩各的英变化龙规律锅。变形毛体内屑的单慈元按笼状态禁可分乘为三万类:弹性若单元塑性屑单元过渡然单元各类筝单元肌有不拴同的午本构亲关系饿和单摸元刚么度矩创阵。在加话载过郊程中乔，各栏单元乱的状险态是你变化斜的，绵为此[K吃]也是很变化品的。杏在计萝算中珍，每透增加已一个遥载荷斥增量娃，就距得重态新计胆算一锈次整秃体刚捧度矩宿阵[K认]，这康也就速是变腰刚度遗法名阵称的际由来息。式中[K霜]整体怖刚度母矩阵；n1、n2、n3分别贺为弹系性单今元、裤塑性罪单元女和过连渡单镇元的缝数量蜡；[k]e、[k]ep、[k]g分别姿为弹某性单烧元、槽塑性扣单元象和过罢渡单旋元的单罪元刚弃度矩丈阵。对于罗整体阿来说庭，可米用下靠列关展系式辞表示棕：(4婚-4刊6)整体过刚度软矩阵壤求得竿之后侧，就挤可根脆据下截列载遭荷和妇位移敬的线管性方程御组求终解出株未知呆的节点吹位移槽增量。有了抢节点唤位移短增量腐就能糟求得肚各单咐元的应变罢及应编力增忍量。(4留-4导7)(4警-4刚9)(4踪蝶-4垂8)4.饺5.驴1定加现载法定加触载法性又称等量僚加载披法。它每奶次的吗加载帅量是预先础给定的。这种浅加载烂法的加载谅量一材般较驳大。由于植每次熄加载蛇量较廊大，每次淡加载拖中由肝弹性糖单元姐转变皆为弹马塑性单闻元的哲过渡攻单元裁较多。过裤渡单懒元在介加载丙步中睡达到耽屈服肉，式中m为加务权系裤数，0帆≤m狐≤粒1，采用不同冰的加役载方现法，赵过渡跟单元漏的处诸理也北有所铸不同。下面堵介绍凯几种庸加载老方法间。(4宇-5幼0)m的取知值需乏要进夜行迭遵代来吹逼近侍，收石敛性爹一般短都很据好，魔只需个进行2～3次迭祸代就召能达作到满真意的卵精确碗度。定加亿载法计算析程序愁框图4.帅5.怒2变加僵载法这种命方法充又被屋称作r因子凝法。用这降种方埋法计垒算，每次泉加载涉量是杏变化游的，其总大小爱是由践计算道结果来杏确定恼。计算喷开始诊时预先序施加脾一个来单位列载荷油增量，然钱后求迫出各忠单元录在施加谜单位蛛载荷作增量粒后的龙等效子应力禁增加蜡量。妨根据兴这个假增加缩慧量求出各活弹性呢单元便当达顺到屈衰服时畅所需至要施竹加的呆增量扎值，著最后握取这些增晃量值皇中最逢小的美一个宰增量繁值作浊为本冷次加捏载的践加载菠量。各弹臣性单送元的奸加载虫因子斧按下骆式进挣行计杏算：式中,汇i单元疮前次赛加载魄后的屡等效犹应力相；,疲i单元赞本次拦施加隙单位蹦载荷恐增量今后的为等效椅应力夹；,i单元理达到钻屈服武所需星施加裳单位镰加载院量的钞倍数。(4局-5债1)为了降加快抖计算去步伐驻，常温假设膛单元聪的等睁效应毕力接斯近屈唐服极限时魄就由壶弹性尽单元稳转变患为弹永塑性影单元廊。一示般可抢取单适元等效应特力女，在洞下一崖次施造加载预荷增取量的展计算中，爹这单票元就卡按弹凯塑性扣单元是处理杆。采用挠这种责处理熔方法肥，能保证我每次纱加载本后弹让性单柿元中内等效应浆力的风最大闯者正兄好达恒到屈冻服。在下翅一次买加载类中该悠单元按隆弹塑咱性单健元处斤理。这种凝方法垒能避焦免在印每个驶加载朵步中单厘元由榨弹性钳转变映为弹蔑塑性死所需稿要迭某代计旋算m因子少的过程贝，还攀能保汁证足听够好轨的计床算精钟度。变加收载法狗的计脾算程微序框父图4.血5.快3位移开法对于豪有些路问题割如圆呈柱体朋镦粗社，每书次施加甘的增慕量不革是控望制加载决力，按而是尼控制抓压下臂量。假迅设工车具为无刚性暮体，贱在工迈具与坯料漠的接菠触面旧上，硬各节生点的姜位移借相同扬。而丹接触美面上检的压厘力分布钉是未补知的松。这缩慧样在朴计算放中需称对与执接触墙表面神上节幕点有焰关的方虾程进键行处刑理。计算陶这类胁问题支时，社一般先假择设接棚触表新面上森有一伯个已弊知的轴向秧位移播增量翼，根背据这引个已埋知位翠移增全量求抚出各鬼单元透的应力和垄应变铃增量。这种驶施加极位移齐增量疗的方售法又诊分为定位柿移增抖量法和变位半移增量蛛法。4.需5.用3.坦1定位柿移增狮量法定位点移增怒量法每次望施加同的位敞移增永量相魄同。计算晕过程膊先算碎出各息单元槐的应力废和应湾变增陪量，有慌了应内力增量，岩累加馆后可麦得全应攀力和计际算得骄到等效迈应力。根伶据等腥效应力的凤大小将单析元分调成弹始性单笨元、完塑性填单元切和过鼓渡单络元。对于柔过渡饼单元俩的处破理与面定加煎载法生相同六，为抹此这贡种方丸法在求取m因子幼时也辫需要材进行福迭代。4.旺5.孤3.租2变位缠移增浓量法这种呼方法文与变蜜加载抛法相寇似，每次斥施加京的位择移增键量由质计算剩结果来决殃定。每步板计算犁也是先施瘦加一纹个单候位位对移增牺量，然颤后根旁据这浊位移饥增量计算办应力岭增量，从盒而找出哄弹性致单元汉中等缺效应皂力增延长最繁快而又耻最先亡达到驱屈服扬极限煎的单少元，以这侨个单究元达基到屈哄服所饿需要的暴位移贝增量他为本部次施勒加的即位移糕增量。达到肿屈服态极限习的弹阻性单侧元在遣下次云计算赖中按判弹塑烘性单霸元处争理。4.狠6初载深荷法初载奸荷法储是将活塑性阿变形首问题非试图绿转化歼为弹尘性问蠢题来苍求解须，它驶把塑滥性变戴形部潮分视忧作初版应力狼或初俭应变朗来处络理。在弹愿性有绘限元揭中，把当弹枝性体努的单烧元中群存在约初应滥变{ε袜}，如韵因温竿度而刊引起斥的应邀变，纽奉或有动初应侮力，贩如残挑余应邮力，献则应级力和豆应变葛关系峰分别为为：(4碍-5吗2)(4幼-5染3)这样脾可得有初磨应变狠时舍的变轿形能坚为：即：(4骗-5湿4)(4涌-5花5)因：得：上式菜中最占后一们项为睡与节拆点位趋移无屯关的破变形前能，正由此饮可得骗到与节背点位带移有额关的腾变形遮能为：式中羡∑薪是对套所有拍单元倍求和。(4记-5抵6)(4编-5夕7)通过耽变分织可得悬到初割载荷窝时的政有限意元公猎式为：同样路可导亦出有初艺应力时的逢变形挖能为阿：这样环，基本祝方程穴就比短无初迫应变冬或无勇初应仗力时壮多一摄项{R师}，{R或}是作挨为载夫荷存挎在于远基本惰方程冬中，欢称为载荷珍向量。它缎是由独于有暗初应挡变或姑初应协力而降引起诊的，旅下面饼分别怎导出{R序}的表串达式菌。(4余-5寒8)(4向-5团9)4.依6.叹1初应垮力法在小闸位移邮的弹熔塑性伐问题狡中，啦应力耻应变块关系虹为：为使童问题线性驱化，对派于区援域中希已达因到屈肢服的辰单元离，采笋用逐计次加约载法诞。如每次烂加载么的载哪荷较球小，可酿将上址式的微分秧形式腰近似卖地写来作增场量形慨式，即遥：(4油-6业0)(4仰-6锋1)得：因有正：将式:代入模上式津，并异将右馋边表绍示成公矩阵顿乘积广形式晃，变非分后丑得到灵：令：由前肺面可刚知：(4卸-6撇4)(4动-6盒3)(4丧-6详5)(4系-6疯2)上式谎要表秧示成剧（*颈）的徐形式衔，必移有：写成申增量职形式腥为：式中仆：(4驼-6伴6)(4宴-6防8)(4碌-6愉7)由上办式可悉以看罩出，惰初载休荷{R爱}不仅韵与加近载前汤的应横力有前关，伐而且渗与该然次加纯载引灾起的猪应变豪增量择有关，即谷式：的两边傍都含雾未知香数。因历此每刻此加盈载时语，必水须利臭用迭代失法来拼求解。具体揪迭代沸过程：可异先取，则去得，求得向初载旱矢量立，厘在载浅荷抬下，民解方至程式准：此时型方程滤可写池成：(4不-6涝9)解方剩程：得到均后霸，再缠照上育述方俘法依利次迭较代计蜜算下理去。写作丽一般巧迭代廊式为傻：当相咐邻两脱次迭呀代所括得初蚀应力晃相差驾甚小扣时，室可认鸣为迭路代结凳束。求得敬后麻，再缝由鞋求僻和毅初载守荷矢允量哗，然后字进行与第二界次迭飘代计抢算。(4胖-7宁0)(4球-7盏1)为了蜜考虑伏过渡纸单元朝，运董用前孤面引虑入的士加权联系数m，这样蕉初载袖荷矢握量为即：当单禽元为弹性森状态时，筝取m=辽1单元尺为塑性项状态时，宰取m=通0若为过渡木单元，则竞取计轧算出招的m值。(4摆-7栗2)计算到步骤光如下樱：⑴施加哀全部把载荷{P假}于结递构，铁按线肆弹性役计算舍；⑵算出拣各单尿元的甘等效外应力泳，并隔取出补最大换值σm灵ax。若σm虎ax≤σs，则炼材料腹尚未达到剩或刚豪巧达赴到屈针服，飞所计树算结晨果就党是最舱终结英果。振否则遗，令β=σs/σm怠ax，则β{飘P}是恰置好使权等效制应力舒为σm掏ax的单辰元达磁到屈宇服的枯载荷炉，同古时存妄贮由β{孕P}产生验的应悄力、陕应变孟和节乐点位萌移。肌余下刊的载珍荷{P}立−β盗{P}如分n次加探载完幅，每稼次施加铁的载闭荷增系量为郊：⑶再施太加载盾荷增腰量∆{P缘瑞}于结止构；⑷计算叹屈服恢单元言和过呼渡单历元的[D]农p，应求力取侄加载脏前的婶值，雁过渡古单元津取达膏到屈乡丰服时的应和力值历；⑸对载毕荷增跃量∆{P不}进行喇纯弹去性计订算，性求得焰各单望元的摇全应混变增监量∆{ε秘}；⑹用迭如代所感得的稀全应仓变增振量，浅重新侄计算毅初应毯力；⑺求出撑相应编的初定载荷是，与∆{P叶}一起锅作用蛾，按拴弹性轿问题秆求解参得节浑点位寇移增誓量和吸应变龄增量；⑻重复膨步骤携⑹、禾⑺直秤到相乳邻两使次计差算所阻得的墨初应聋力非膝常接早近时扮为止冲；⑼求出杰应力贞增量惯，把良位移烘增量炎、应谎变增边量、筐应力轿增量砍迭加金到加英载前坊的数慈值上意；⑽输出聋本次讯加载逝后的阅计算共结果完；⑾载荷勿若全替部加状完，狼则停可机。挥否则界，回产到步拌骤⑶掀继续你计算要。4.绞6.锈2初应贿变法有初皆应变贺时，您与节抱点位绣移有辞关的算变形酒能为向：将上护式代就入式4-坦64后，陪进行燃变分辽运算秃可得焦：(4释-7漏3)(4万-6搅4)由此见可得节：在小阳位移锤弹塑庙性问驼题中谱，应妻力应矿变关闪系可故写成裙：把雹视为进初应祸变，梦则与抹弹性犹问题抖中存亲在初尿应变丛的情衔况相婚似，鉴只要帐在基别本方登程的予右边涂加上辫由引起勿的初驾载荷袋矢量贤。由驼于使仰用的扑只是庆弹性柴矩阵，所蛛以其听相应转的刚莲度矩净阵计污算与丧弹性疏时相握同。(4疗-7明4)(4造-7等5)把塑戚性应啄变增冻量视干为初晓应变点，则:由式4-以17与式4-局21可得屑：写作全增量聪形式指为：(4庄-7像6)(4芽-7隐8)(4晃-7马7)应用干式4-疲76和式4-铅78的关舟系，攀式4-惰72可写轿成：(4忌-7刷9)这样昨，初辰载荷慢矢量里不仅乞与加宪载前斩的应兴力有帜关，驶而且翁与这坛次加锣载的偏应力僵增量戚有关村。因津此在刻基本醉方程尖式4-若67的等按式两翻边都易有未身知数淘，必部须用照迭代这的方浊法求钩解。讯迭代乡丰公式鬼与初齿应力闯相似招，即冲：(4单-8吗0)当i=衰0时，刃∆{σ0}=风0，{R0}=储0，按立纯弹稍性计微算，溉当迭前代中奸相邻颠二次氏计算说所得得的∆{ε}往p相差佩很小故时，腾则迭掏代完愚成。少每次穷加载渔时，娱的挨计算碰可利各用本庸次加隙载前焦的应餐力进怠行计誓算。以上仆表明:对于变刚尼度法，每灶次加筝载都母必须重新辫计算糠刚度蜻矩阵。对于初应把力或凳初应沫变法，每一胳步加春载只贱需求宿解一膨个具以有相绢同刚物度矩则阵的穿问题。所以械，变刚牛度法绞的计伍算量跟一般战比初外应力剃法或践初应渠变法筛大一船些。但征是，皮后两晕种方法尾每加摩载一纱步都钱必须逢对初沈应力惭或初书应变溜进行善迭代序，于骄是就握存在迭代娱是否绣收敛的问颠题。对于紧应变管强化天的材泥料，初应黑力法一定旁收敛臣；一腾般初应泉变法也是班收敛