物理竞赛第四次课4章振动

振动与波动一、简谐运动1.

简谐运动的基本特征

F

=

-kx2dt

2d

2

x=

-w

x三项基本特征：mkw

=dt简谐运动的速度：v

=dx

=-w

Asin(w

t

+j

))dt简谐运动的加速度：a

=dv

=-w

2

A

cos(w

t

+j

)=-w

2

xx

=Acoswt

+j

)——简谐运动表达式2.

描述简谐运动的物理量A

：振幅，（最大位移，x=±A

）w

：角频率，（圆频率）

——振动的快慢Tw

=

2p

n

=

2px

=

Acos

wt

+j

)弹簧振子的固有频率mkw

=j

：振动的“初相位”——t=0

的位相(3)（w

t

+j

)：振动的“相位”——决定物体的状态单摆角频率：gw

=Jlmgl复摆角频率：w

=l：刚体质心到转轴的距离

J：刚体对转轴的转动惯量3.

简谐运动的研究方法解析法已知振动表达式x

=A

cos(w

t

+j

)求各物理量已知周期T和初始条件,求振动表达式设

t

=0时，振动位移：x

=

x0

振动速度：v

=

v02

w

2

v0

A

=

x0

+

vow

xotgj

=

-Tx

=

A

cos(

2p

t

+j

)旋转矢量A在x轴上的投影点M

的运动规律：x

=

A

cos(w

t

+j

)y（2）简谐运动的旋转矢量表示法xjoww

t

+jo

APM旋转矢量的模A：振幅 旋转矢量A的角速度w

：角频率旋转矢量A与

x

轴的夹角(

w

t+

j

)：

相位t

=

0

时，

A与x

轴的夹角j

：初相位。将变速直线运动问题转化为匀速率圆周运动来求解wT

=

2p例3一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t

=0时,位移为6

cm，且向x

轴正方向运动。求1、振动表达式。2、t

=0.5

s时，质点的位置、速度和加速度。

3、如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的最短时间。解：已知：A

=12

cm,T

=

2

s

，

w

=

2p

=

p

s

-1t

=

0

时，

x0

=

0.06

m

,

v0

>

0x

=

0.12

cos

pt

+j

)初始条件：Tyxp33-

pww)p3x

=

0.12

cos(p

t

-3=0.5=

-0.189

m

s-1=

dxvt=0.5dt

tt=0.5=

-0.12p

sin(

p

t

-

p

)3=0.5=

dvat=0.5dt

tt=0.5=

-0.12p

2

cos(p

t

-

p

)设在某一时刻t1，x

=-0.06

m=

-0.103m

s-2yx2p

35p

6w

6D

t

=

Dj

=

5

s2

6

3j

=

p

+

p

=

2pwxjDjw

=

Dj

=

5p

6

=

5pDt

2

12x

=10-2

cos(

5p

t

+

2p

)

m12

3例：一谐振动的振动曲线如图所示，求振动表达式。t10x

（cm）-52解：解：取平衡位置为坐标原点平衡时：mg

-F

=0浮力：F

=

rVg其中V

为比重计的排水体积F0mg（3）动力学方法研究振动例6

质量为m的比重计，放在密度为r

的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。22dtd

2

x=

m

d

2mg

-

V

x

r

g

+

px4mdt

2d

2

xp

d

2

r

g=

-22dtd

2

xx

=

m

d

2mg

-

rVg

-

r

gp0xxp

r

g2

mw

=

dw

d

r

gT

=

2p

=

4

p

m弹簧的连接：（3）二分之一弹簧k加倍，可推：n分之一弹簧k为原弹簧n倍。（1）弹簧并联：k

=

k1

+

k2

+

=

+

+

1

1

1k

k1

k2（2）弹簧串联xk1k2Ｏx4.

简谐运动的能量2

21

12

2

22mv

=

mw

A

sin

(w

t

+j

)E

=kpE

=

1

kx2

=

1

kA2

cos2

(w

t

+j

)2

2mw

2

=

k振子动能：振子势能：x

=

A

cos

(w

t

+j

)总机械能：2mE

=

1

kA2

=

1

mw

2

A2

=

1

mv2

2

2结论：振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。5.

简谐运动的合成（1）两个同方向、同频率的简谐运动的合成x1

=

A1

cos(w

t

+j1

)x

=

A

cos(w

t

+j

)1xx1A1

A2j2x2wx

Ajj2

2

2x合=A

cos(w

t

+j)一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。121

222

21j

-j

)+

A

+

2

A

A

cos(A

=

A1222

1

221j

-j

)+

2

A

A

cos(+

AA

=

AA1

cosj

1+

A2

cosj

2A1

sin

j

1+

A2

sin

j

2j

=

tg

-1(1)

若:

j2

-j1

=

2kp

(k

=

0,–1,–2,

)则:

A

=

A2

+

A2

+

2

A

A

=

A

+

A1

2

1

2

1

2(k

=

0,–1,–2,

)(2)

若:

j2

-j1

=

(2k

+1)p则:

A

=

A2

+

A2

-

2

A

A

=

A

-

A1

2

1

2

1

2（2）两个同方向不同频率简谐运动的合成——拍1AxO

w1

w

2A2w

2

A1

A2

Aw1

A2

12

12p=n

-nw

-wn

=2

1拍：合振动的振幅时强时弱的现象

2p

拍的周期：T

=w

-w拍的频率：从解析式来分析：x1

=

Acos(w1t

+j)x2

=

Acos(w

2t

+j)x

=

x1

+

x2

=

A

cos(w1t

+j

)

+

A

cos(w

2t

+j

)=

2

A

cos

w

2

-w1

t

cos(w

2

+w1

t

+

j

)2

2（3）相互垂直的简谐运动的合成2

122

1221

2

1

2j

-j

)j

-j

)

=

sin

(+

-

cos(2xyA A

AAx2

y2yx两个同频率相互垂直简谐运动的合成x

=

A1

cos(w

t

+j1

)y

=

A2

cos(w

t

+j2

)消去t，得轨迹方程结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成其振动轨迹为一椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。讨论：j2

-j1

=0(或2kp

)时A1

A1斜率

A2

>

01

22221=

0+

-A

A2xyAAx2

y2=

0

1 2

y=

A2

xy

2

-

A

A

xyxA2

+

A2

cos(w

t

+j

)1

2结论：质点作谐振动

S

=1222

122

1

221j

-j

)=

sin

(j

-j

)+

-

cos(A

A2xyAAx2

y2221

2+

=1AAx2

y2yx结论：质点振动轨迹为正椭圆2

2

2

1当：j

-j

=p

或(2k

+1)p

cos(122121

22221j

-j

)=

sin

(j

-j

)+

-A

A2xyAAx2

y22

1212221

2

1

2j

-j

)=

sin

(j

-j

)+

-

cos(2xyA A

AAx2

y2j2

-j1

=

(2k

+1)pA1

A1y

=

-

A2

x,

斜率:

-

A2

>

01

22221=

0+

+A

A2xyAAx2

y2=

0

1 2

y

2

+

A

A

xyxA2

+

A2

cos(w

t

+j

)1

2结论：质点作谐振动

S

=j2

-j1

=

0两个不同频率相互垂直简谐运动的合成利萨如图形6.

阻尼振动、受迫振动和共振（1）阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动。dtF

=

-gv

=

-g

dxgγ

：阻尼系数fr

f

=

-k

xoxxk2w

0

=

m

,2b

=

m令2g

d

2

x

dx+

2b

+

w

x

=

0dt

2

dt

0w

0：无阻尼时振子的固有频率

b

：阻尼因子d

2

x

dxm

=

-kx

-

gdt

2

dt动力学方程ow

2-

b

2

t

+jx

=

Ae-bt

cosw

2

-

b

2o周期：T

=

2p

>

2px

=

Ae-b

t

cos(w

t

+j

)w

2

-

b

2o角频率：w

=tOxAAb

2

<

w

2振动w

0

变慢Ae-b

ta、阻尼较小时（

b

22<

w

2）2

方程解：，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。c、 当（

b

2

=

w

2）时，为“临界阻尼”情况。是质点不作往复运动的一个极限。b、阻尼较大时（b

22

>

w

2）2系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。（2）受迫振动周期性的外力

设：F

=

F0

cosw

tfr

oxxf

=

-kxFdxd

2

xm

=

-kx

-

g

+

F

cos

w

tdt

2

dt

0由牛顿第二定律m00F=

0=

k

,

2b

=

g

,

fw

2