北京市育英学校2023-2024学年高三上学期统一练习（一）+数学试卷

数学试卷第4页（共4页）育英学校2024届高三年级统一练习（一）2023.07数 学2023.07学校：班级：姓名：成绩：考生须知本试卷共4页，共三道大题，21道小题，满分150分，考试时间120分钟。在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名。试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回。第一部分 选择题（共40分）一、选择题。（每小题4分，共40分）1．已知集合，，且，则a可以是A．-1 B．0 C．1 D．22．的展开式中的系数是A．-210 B．-120 C．120 D．2103．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆有相等的焦距，则双曲线C的方程为A． B． C． D．4.已知，则下列不等式正确的是A． B． C．D．5.函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．46.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于两点，交C的准线于两点．已知，，则C的焦点到准线的距离为A．2 B．4 C．6 D．87.已知i，j，k为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i+k)·(j+k)的取值范围是A． B． C． D．8.已知函数，则“函数的图象经过点”是“函数的图象经过点”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9.设，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在内增大时，A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小10.动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，则动点P所走的图形可能是第二部分 非选择题（共110分）二、填空题。（每小题5分，共25分）11. 设是等差数列，且，，则数列的通项公式为.

12. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是.

13. 椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点．若四边形的面积为4，则点P1的坐标为，的离心率为.

14. 已知函数①当时，函数的零点个数为；②如果函数恰有两个零点，那么实数的取值范围为.

15. 已知函数，下列命题正确的有（写出所有正确命题的编号）.

①是奇函数； ②在R上是增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么k的最大值为2.三、简答题。（共85分）16.（13分）如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角的大小；（3）求点C到平面PBD的距离.17.（13分）已知函数，且.（1）求a的值及的最小正周期；（2）若在区间上单调递增，求m的最大值.18.（14分）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，将他们的测试数据用茎叶图表示如：《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．等级优秀良好及格不及格测试数据[90,100][80,89][60,79][0,59]（1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；（2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；（3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，试比较与、与的大小．（只需写出结论）19.（15分）已知椭圆的离心率为，以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是.（1）求椭圆C的方程；（2）设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上．若椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°，求点B横坐标的取值范围.20.（15分）已知函数.（1）求曲线的斜率为1的切线方程；（2）当时，求证：；（3）设，记在区间上的最大值为．当最小时，求a的值.21.（15分）给定数列，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n,m∈N*，都有an+m=anam，则称数列为“指数型数列”.（1）已知数列的通项公式分