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关于带边界条件的带通解的变系数变程组的解

0耦合退化波动方程退化元方程广泛应用于不同的学科，如天地工程、气候学、群体遗传等。基于上述研究,本文研究以下耦合退化波动方程:边界条件(t∈(0,T)):初始条件:其中:α是常数(α>0);a(x)>0,x∈(0,1]且a(0)=0。定义参数若μ1预备知识1.1取整形整整设函数a∈C([0,1])∩C其中:[·]表示取整。下面给出关于假设(5)的两个简单结论。在[x,1]上积分不等式可得:因此,当μ假设(5)中(Ⅲ)等价于当μ所以,1.2定义空间vpoincar本节介绍与退化算子相关的一些加权索伯列夫(Sobolev)空间,定义空间V显然,V以及范数设则定义空间V为了方便,下面给出庞加莱(Poincaré)不等式的两个简单结论,即命题1和命题2命题1假设(5)成立,则以下不等式成立:其中:命题2假设(5)成立,则以下不等式成立:(Ⅰ)对于如果μ(Ⅱ)对于当μ(Ⅲ)如果μ2能观察任给a满足假设(5),设μ当μ当μ为了方便,定义H2.1能量函数的建立定义Hilbert空间H类似于古典波方程的方法是H的弱解。当U综上可知,如果(u定义方程(1)的能量函数为:命题3假设(5)成立,(u,v)是方程(1)、边界条件(2)和初始条件(3)的弱解,则:证明设(u,v)是方程(1)的弱解,方程(1)分别乘u由边界条件(2)和a(0)=0有:故能量函数E2.2uch/poincar二元引理1当T>0时,对方程(1)的任意弱解,知u并且证明设(u由由式(13)可得:将式(21)和式(22)代入式(20)中,即可得到式(19)。下证不等式(18),由不等式(7)和式(16)可得:利用不等式(6)、Cauchy不等式和Poincaré不等式,有:由等式(19)、不等式(23)和不等式(24)可推导出不等式(18),因此不等式(18)对方程(1)的古典解成立。引理2对方程(1)的任意弱解,当T>0时有:证明假设(u,v)是方程(1)的古典解,将方程(1)中的两个方程分别乘以u,v后相加,并在(0,T)×(0,1)上积分得:由定理1假设(5)成立,(u,v)是方程(1)、边界条件(2)和初始条件(3)的弱解,则对ue02fT>0,有:其中:C证明设(u,v)是方程(1)的古典解,将式(19)的右端与式(25)的左端乘以由Cauchy不等式有:其中:C由不等式(23)、不等式(27)和不等式(28)即可证明不等式(26)成立。推论1假设(5)成立,如果其中:C2.3约化ut,x考虑耦合退化波动方程的控制系统:其中:f,g∈L定义算子:其中:D(A定义1设f,g∈L则对任意的T>0有:其中:w和h是下列方程组的解,其中:β为常数且β>0。做变量替换u(t,x)=w(T-t,x),v(t,x)=h(T-t,x),可知方程组(32)有唯一解且连续依赖于初始条件。定理2假设(5)成立,则对任意T>T存在控制函数f,g∈L证明设在空间H其中:W由不等式(18)可知,Λ在H

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