数学人教A版高中必修一（2019新编）3-3 幂函数（分层作业）

3.3幂函数（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B2．（2021·全国·高一课时练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.3．（2021·全国·高一课时练习）若，则下列结果正确的是（

）A．x=2 B．x=3 C．x=2或x=3 D．以上都不对【答案】D【解析】利用a0=1(a≠0)和1α=1(α∈R)两种情况求解即可【详解】解：∵a0=1(a≠0)，∴若，则x=2；又∵1α=1(α∈R)，∴若，则综上可知，x=2或故选：D4．（2022·全国·高一单元测试）如图为某体育赛事举重成绩与运动员体重之间关系的折线图，下列模型中，最能刻画举重成绩（单位：千克）和运动员体重（单位：千克）之间的关系的是（

）A． B．C． D．（，且）【答案】A【分析】根据折线图和幂函数的图像特征,分析可得.【详解】因为折线图是单调递增且越来越缓，而幂函数在时也是单调递增且越来越缓，因此最能刻画举重成绩和运动员体重之间关系的是，故选：A．5．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点【答案】D【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．故选：D．6．（2021·全国·高一专题练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以，所以相应曲线的依次为.故选：A7．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2【答案】C【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数为偶函数，，且为偶数，则实数，故选：C8．（2020·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）图中表示一次函数与正比例函数（是常数，且）图象的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据得到或，分情况得到和的图像即可得到答案【详解】解：因为，所以或，当时，一次函数的图象经过一､二､四象限，正比例函数经过二､四象限，选项C满足；当时，一次函数的图象经过一､三､四象限，正比例函数经过二､四象限，没有选项满足；故选：C9．（2020·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案【详解】解：对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意故选：B二、多选题10．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称C．在上单调递减 D．在内的值域为【答案】CD【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．故选：CD.11．（2022·全国·高一专题练习）下列关于幂函数的性质说法正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为【答案】CD【分析】根据幂函数的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.故选：CD.三、填空题12．（2020·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）若幂函数的图象过点，则__________.【答案】【分析】设，由可求得的值，即可求得的值.【详解】设，则，可得，，因此，.故答案为：.13．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此能求出这个幂函数的解析式．【详解】设幂函数，∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴这个幂函数的解析式为．故答案为：．14．（2018·浙江·杭州市临安区教育研训中心高一期末）已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．【答案】##【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，将点的坐标代入求解即可.【详解】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，则，解得，所以.故答案为：15．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．【答案】【分析】利用幂函数的定义，幂函数的单调性列式计算作答.【详解】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-316．（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;【答案】【分析】利用根式的性质求函数定义域.【详解】由根式的性质知：，所以函数定义域为.故答案为：17．（2019·江西上饶·高一阶段练习）求函数的减区间________．【答案】【分析】先求函数的定义域，再求内层函数在定义域内的单调区间，由于外层函数为[0，＋∞）上的增函数，故内层函数的单减区间就是函数的单调减区间.【详解】解：函数的定义域为，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，∴函数的单减区间是，故答案为：.【点睛】本题主要考查了复合函数单调区间的求法，二次函数的单调性，幂函数的单调性，特别要注意先求函数的定义域.18．（2022·全国·高一课时练习）已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．【答案】【分析】根据幂函数的单调性知，即可确定的可能值，讨论并判断对应奇偶性，即可得结果.【详解】由题知：，所以的值可能为，，．当时，为偶函数，符合题意．当时，为奇函数，不符合题意．当时，，定义域为，则为非奇非偶函数，不符合题意．综上，．故答案为：19．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．【答案】【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值.【详解】解：函数是幂函数，设，又，所以，即，所以，得所以，则.故答案为：.四、解答题20．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．21．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．【答案】(1)(2)单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．【分析】（1）待定系数法去求函数的解析式；（2）依据反比例函数性质即可得到函数的单调区间和值域．(1)设，则，则，∴函数的解析式为．(2)因为，∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．22．（2020·安徽·合肥市第十中学高一期中）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)当x<0时，判断f(x)的单调性，并给出证明．【答案】(1)(2)单调递增；证明见解析【分析】（1）由幂函数的解析式求得时的表达式，再根据奇函数定义求解；（2）根据单调性定义判断证明．(1)由题意时，设，则，，所以，为奇函数，所以，时，，所以；(2)时，，设的任意的两个负实数，且，则，所以，所以时，是增函数．23．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.【答案】(1)(2)(3)图象见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，最小值为1【分析】（1）根据题意可得，平方即可求解.(2)由题意比较与的大小，从而可得出答案.(3)由（2）得到的函数关系，作出函数图像，根据图像可得函数的单调区间和最小值.（1）由，得且，解得，；所以方程的解集为（2）由已知得.（3）函数的图象如图实线所示：函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.24．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数a的值；(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明【答案】(1)；(2)在（-1，1）上单调递增，证明见解析【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证；（2）根据函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性.(1)由条件可知，所以，即，，因为是奇函数，所以，即，满足是奇函数，所以成立；(2)由（1）可知，在区间上任意取值，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递增.【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征判断即可【详解】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．不等式化为，函数在和上单调递减，故或或，解得或．故应选：D．3．（2022·全国·高一课时练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，因函数的值域为，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：D5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A6．（2021·上海市徐汇中学高一阶段练习）①函数值域为；②函数为偶函数；③函数在上恒成立；④若任意都有.已知函数：①；②；③；④.其中同时满足以上四个条件的函数有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分别作出①；②；③；④四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.【详解】分别作出①；②；③；④四个函数的图象：由图知，四个函数的值域都是都满足①；由图知：①；②；③图象关于轴对称，都是偶函数，④的定义域为不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④不满足条件②；排除函数④；条件③：函数在上恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在上单调递增，由四个函数图象可知，①，③，④满足条件③，函数②不满足条件③，排除函数②；对于条件④：函数①：如图任意都有，故函数①满足条件④，函数③：如图任意都有，故函数③满足条件④，所以同时满足以上四个条件的函数有函数①、函数③，共有个，故选：C二、多选题7．（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先通过分析，得到若在上单调递增，则函数为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．8．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【答案】ACD【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.9．（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．故选：ABD．10．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的有（

）A．命题若，则的否定为命题若，则B．幂函数在上为增函数的充要条件为C．“正方形是平行四边形”是一个全称量词命题D．至少有一个整数，使得为奇数【答案】BC【分析】A选项，全称命题的否定是特称命题；B选项，可以先由为幂函数求出的值，再代回函数的的解析式判断单调性；C选项可以改写成全称命题的标准形式；D选项举反例【详解】对于A命题：若，则的否定为命题：存在实数，使得.所以A错误对于B因为为幂函数所以，则或当时，在上单调递增当时，在，上单调递减.不合题意应舍去.所以B正确对于C“正方形是平行四边形”即“任意一个正方形都是平行四边形”，显然是一个全称量词命题.所以C正确对于D当为奇数，则为偶数，所以为偶数；当为偶数，则为奇数，所以为偶数综上，若为整数，则为偶数所以D错误故选：BC三、填空题11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函数为幂函数，可得m＝－1或m＝2，又由题意函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】解：因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．当m＝－1时，；当m＝2时，．因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以，又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即．故答案为：＜.12．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．【答案】2【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.【详解】解：因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，不符合题意，当时，函数在上单调递减，符合题意.所以的值为故答案为：13．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.【详解】幂函数在上是减函数，，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，，解得：.故答案为：.14．（2022·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.【答案】（答案不唯一）【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.故答案为：（答案不唯一）.四、解答题15．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．（1）∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.16．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数，且在区间上单调递减，(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，求证：在上单调递减．【答案】(1)，定义域为；(2)证明见解析【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；（2）求出利用单调性定义证明即可（1）因为函数为幂函数，所以，解得或，若时，在上单调递增，不满足题意，所以，，定义域为；（2）由（1）知函数，设，则．因为，所以，，，所以，即，所以在上单调递减17．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．【答案】【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案.【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，当时，，函数为是偶函数，满足条件.当时，，函数为是偶函数，满足条件.的解析式为．18．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，(1)求函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.（1）因为为幂函数

所以

因为为偶函数

所以故的解析式.（2）由（1）知，

当即时，，即

当即时，即

综上所述：或19．（2022·全国·高一课时练习）定义在实数集上的函数的图象是一条连绵不断的曲线，，，且的最大值为1，最小值为0．(1)求与的值；(2)求的解析式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用赋值法，令，得到；令，得到；（2）先由得到，根据的最大值为1，最小值为0及图象连续，写出的解析式.（1）令，则，得∴∴令，则，同理；（2）由得，即这说明，至少与1，，其中之一相等∵的最大值为1，最小值为0∴在区间和上，一定有只能在处取得，因此又∵函数的图象是一条连绵不断的曲线∴的解析式为20．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．(1)求函数的解析式；(2)若函数，当的最小值是0时，求m的值；(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．【答案】(1)；(2)-1；(3)【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；（2）求得，，，令，则函数转化为则，，，对分类讨论，求出最小值，即可求得的值；（3）在，上单调递减，由“佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．（1）因为幂函数在内是单调增函数，所以，解得，所以函数的解析式为．(2)，，，令，则，，则，，，当，即时，的最小值为（1），所以，解得；当，即时，的最小值为，所以，解得（舍；当，即时，的最小值为（2），所以，解得（舍．综上，的值为．(3)，，则在，上单调递减，因为是“佳”函数，所以，令，，则，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，，所以，代入，得，因为，所以，得，令，，，所以，该函数在，上单调递减，所以，所以实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.21．（2021·福建·厦门一中高一期中）已知幂函数的图象经过点.(1)求实数的值，并用定义法证明在区间内是减函数.(2)函数是定义在R上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析；(2)【分析】（1）将点的坐标代入即可求得的值，再利用单调性的定义证明即可；（2）函数在内是减函数，结合函数单调性及奇偶性，解不等式即可得解.(1)由幂函数的图象经过点，解得证明：任取，且，，，即所以在区间内是减函数.(2)当时，，在区间内是减函数，所以在区间内是减函数，在区间内是增函数，又，所以等价于函数是定义在R上的偶函数，则，解得：或所以实数的取值范围是22．（2022·全国·高一）已知幂函数，满足.(1)求函数的解析式.(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在使得的最小值为0(3)存在，【分析】（1）根据幂函数的定