数学人教A版高中必修一（2019新编）4-5-1 函数零点与方程的解（分层作业）

4.5.1函数零点与方程的解（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若二次函数与x轴没有公共点，则k的范围是（

）A．k>3 B．k> C．k< D．不能确定【答案】B【分析】根据判别式即可求解.【详解】是开口向上的二次函数，若与x轴没有公共点，则，因此，故选：B2．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.【详解】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B3．（2022·全国·高一课时练习）设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（）A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一实根【答案】D【分析】根据零点存在性定理及函数的单调性判断即可.【详解】解：因为在区间上连续的单调函数，且，所以函数的图象在内与轴只有一个交点，即方程在内只有一个实根．故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点为（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【答案】A【分析】令，解对数方程，求出x＝10.【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，故选：A.5．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数，下列含有函数零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】解析：因为函数单调递增，且，，，，.且所以含有函数零点的区间为.故选：C．6．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）根据表中数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（

）x01230.3712.277.3920.0912345A． B． C． D．【答案】C【分析】求出方程对应得函数，然后利用表格分别求出，，，，然后利用零点存在定理判断即可.【详解】令，则，，，，，得，由零点存在定理可知：函数的存在零点位于区间内，即方程的一个根所在区间为．故选：C7．（2022·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令、，结合函数间的平移关系及与x轴交点，判断交点横坐标的大小.【详解】由，令，，则，所以，为与x轴交点横坐标，且，将向下移动1个单位得到，且与x轴交点横坐标且，所以.故选：C8．（2022·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数为，转化为求函数的值域．【详解】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．9．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可.【详解】令，因为，所以函数图象与轴有两个交点，因为函数在上存在零点，且函数图象连续，所以，或，所以，或，解得或故选：B10．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】A【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．【详解】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A.二、多选题11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数不存在零点的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据零点的定义，令解方程即可.【详解】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；B选项中，令，则，因为，所以该方程无解，所以函数无零点；C选项中，令，解得，故-1和1是函数的零点；D选项中，令，方程无解，故函数无零点．故选：BD．12．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图像在R上连续，且，，，则下列说法正确的是（

）A．函数在区间上有且只有1个零点B．函数在区间上一定没有零点C．函数在区间上可能有零点D．函数在区间上至少有1个零点【答案】CD【分析】由已知，函数的图像在R上连续且满足，，，即可判断函数在区间上至少有1个零点，在区间上可能有零点，也可能无零点，根据各选项说法即可做出判断.【详解】因为函数的图像在R上连续，且，，所以，所以函数在区间上至少有1个零点，故选项A错误，选项D正确；函数在区间上可能有零点，也可能无零点，故选项B错误，选项C正确．故选：CD.13．（2022·江苏扬州·高一期中）下列说法正确的是（

）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是，C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是.D．若函数在区间上有零点，则一定有【答案】AC【分析】构造函数，根据零点存在性定理可判断A；求出函数的零点可判断B；构造函数，根据二次函数的图象求出的范围，可判断C；利用特殊函数可判断D.【详解】对于A，令，显然为增函数，因为，，所以在内有唯一零点，所以方程在内有唯一解，因为方程的解在内，所以，故A正确；对于B，令，得或，所以函数的零点是和，故B不正确；对于C，令，依题意可得，即，解得，故C正确；对于D，因为在上有两个零点，但是，故D不正确；故选：AC三、填空题14．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）函数的零点为_______________．【答案】1和3【分析】由题意，根据零点的定义，列方程，可得答案.【详解】由题意，，，解得或，故函数的零点为和.故答案为：和.15．（2022·江苏·徐州市王杰中学高一阶段练习）函数的零点是___．【答案】8【分析】根据零点定义解方程可得.【详解】由得，解得，即的零点为8.故答案为：816．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为______．【答案】（答案不唯一）【分析】直接利用二次函数的性质和函数的零点的关系求出的取值范围，进一步确定的值．【详解】由于函数，若在上单调递增，则，故，由于，整理得，解得或，故满足的条件的取值范围为，故的值可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．17．（2022·甘肃·庆阳第六中学高一阶段练习）已知函数的零点是和，则________.【答案】【分析】根据函数的零点求出的值即可.【详解】因为函数的零点是和，所以，解得，所以，故答案为：.18．（2022·上海市向明中学高一阶段练习）若“对任意，”是假命题，则实数的取值范围是_______.【答案】或【分析】把命题“对任意，”是假命题转化为与轴至少有一个交点来解即可.【详解】“对任意，”是假命题，则与轴至少有一个交点，，即或.故答案为：或.四、解答题19．（2022·上海市杨思高级中学高一阶段练习）用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根.【答案】见解析【分析】利用反证法，假设关于x的方程与没有实根，则判别式的值均为负值，据此推出一个矛盾的结论，从而得到原命题成立．【详解】假设对任意的，关于的方程与两个方程都没有实根，则有，且．解得且，这样的不存在，故矛盾.因此假设不正确，原命题得证．【点睛】用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．20．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数．(1)若，求函数的零点；(2)探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)函数的零点为1(2)存在；；证明见解析【分析】⑴根据零点的定义求零点即可；⑵根据奇函数定义域包含零，那么的性质求，再结合奇函数的定义去证明即可.（1）当时，,令得，所以，解得，所以函数的零点为1.（2）假设存在实数，使得函数为奇函数，因为的定义域为，关于原点对称，则，所以，此时，又因为，所以此时为奇函数，满足题意．故存在实数，使得函数为奇函数．21．（2022·天津南开·高一期末）已知，函数(1)求f（1）的值；(2)求函数f（x）的零点.【答案】(1)0(2)答案见解析【分析】（1）利用分段函数求解；（2）利用零点的定义求解.（1）当时，，所以（1）（2）（ⅰ）当时，令，即，解得．所以1是函数的一个零点．所以1是函数f（x）的一个零点.（ⅱ）当时，令，即．当时，由得，所以是函数的一个零点；当时，方程无解；当时，由得（不合题意，舍去）．综上所述，当时，函数的零点是1和；当时，函数的零点是1.22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是偶函数.当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.【答案】(1)(2)或(3)答案见解析【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可.（2）根据（1）做出图像，数形结合.（3）根据（1）做出图像，数形结合.（1）设，则∴∵为偶函数∴综上，有（2）由（1）作出的图像如图：因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；故实数的取值范围是或.（3）由（1）作出的图像如图：由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.23．（2022·福建福州·高一期中）函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的x总有，成立．(1)若，求；(2)求证：函数符合题设条件．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法令与，结合分别求出与，即可得解；（2）假设存在常数满足，所以，设，判断函数的单调性，结合零点存在性定理即可证明；(1)解：因为，所以，又，所以，又，所以，所以(2)解：因为的定义域为，假设存在常数满足，即，所以，设，显然在上单调递增，又，，所以存在唯一的常数使得，即存在唯一的常数使得函数符合题设条件；【能力提升】一、单选题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高一阶段练习）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D.2．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.【详解】作函数与的图像如下：方程有4个不同的根，，，，且，可知关于对称，即，且，则，即，则即，则；当得或，则；；故，；则函数，在上为减函数，在上为增函数；故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.即函数取值范围是.故选：D.【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.二、多选题3．（2022·江苏省怀仁中学高一阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．，恒成立，则实数a的取值范围是B．，恒成立，则实数a的取值范围是C．，，则实数a的取值范围是D．，，【答案】AC【分析】对于A选项，即，所以，A选项正确；对于B选项，即，所以，B选项不正确；对于C选项，即，所以，C选项正确；对于D选项，即要求的值域是值域的子集，D选项不正确；【详解】对于A选项，，恒成立，即，为减函数，所以，A选项正确；对于B选项，，恒成立，即，所以，B选项不正确；对于C选项，，，即，的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，C选项正确；对于D选项，，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；故选：AC.三、填空题4．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则___________.【答案】【分析】由题意将化成三个根得形式，再利用待定系数法求出三个根之间得关系，最终求出结果.【详解】由题意可得：，由待定系数法可得：则，所以，故答案为：.5．（2022·江苏·宿迁中学高一期中）若方程有四个不同的根，则的取值范围是_______．【答案】【分析】结合函数图像的变换可作出的图像，将问题转化为与有四个交点，结合图像即可得到的取值范围.【详解】由于的图像是由的图像保留轴上方的图像的同时，将轴下方的图像关于轴向上翻折得到的图像，故由此作出函数的图像，如图，.若方程有四个不同的根，则函数与有四个交点，因为，所以在上的最大值为，所以结合图像，可得，即.故答案为：．6．（2022·浙江·高一阶段练习）已知函数，若存在互不相等的实数，满足，则的取值范围是__________．【答案】【分析】作出函数的图象，不妨设，数形结合可得，求出，即可求得答案.【详解】作出函数的图象如图，若存在互不相等的实数，满足，不妨设，如图示，则，由于，令，则，故，则，即，故答案为：7．（2022·山西山西·高一阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.【答案】或【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解.【详解】设方程的两个不相等的实数根为，由题得或.由题得.综合得或.故答案为：或8．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）给出以下四个命题：①函数的零点是；②函数与为同一个函数；③函数的定义域为R，则a的取值范围为；④若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{5，10}的“孪生函数”共有4个．其中正确的命题有________．（写出所有正确命题的序号）【答案】③【分析】对①，由零点的定于判断；对②，由定义域不同判断即可；对③，等价于恒成立，对a分类讨论即可；对④，根据“孪生函数”定义，列举出函数的可能定义域即可.【详解】对①，函数的零点是-1，①错；对②，函数定义域为，函数定义域为，不是同一个函数，②错；对③，当时，，定义域为R，符合题意；当时，则，得，解得．综上，a的取值范围是．③对；对④，，值域为，时，由时，，时，用列举法得函数的定义域可能为：，，，，，，，，，，，，，，，3，，，，，，，3，，即9个“孪生函数”，④错.故答案为：③．9．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一阶段练习）若，且，则的最大值为______________.【答案】【分析】把看成常数，因为是正数，所以两根之和大于零，再利用求解.【详解】解：由原等式变为，所以，将其看作关于的一元二次方程，方程有正实数根，所以，，且，解得．所以，的最大值为故答案为：10．（2022·辽宁·凤城市第一中学高一阶段练习）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意利用一元二次方程根的分布得到，或者利用二次函数图像的零点分布情况列出限制条件，即可得到答案.【详解】．故答案为：.【点睛】本题属于根的分布问题，利用韦达定理得到其限制条件即可，亦可以利用二次函数图像数形结合，列出限制条件.11．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．【答案】【分析】画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.【详解】作出函数的图象如图，令，则当，方程有个不同的实数解，则方程化为，使关于的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，令所以,解得:，所以实数的取值范围为故答案为【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.四、解答题12．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.(1)求函数的解析式.(2)讨论直线与曲线的交点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）结合函数的奇偶性，当时，，分析即得解；（2）画出分段函数的图像，结合二次函数的性质，即得解.（1）当时，.所以又因为为偶函数，所以所以，函数的解析式为.（2）画出的图像如上图所示，当时，二次函数开口向上，对称轴为，取得最小值，当时，直线与曲线无交点；当或时，直线与曲线有2个交点；当时，直线与曲线有3个交点；当时，直线与曲线有4个交点.13．（2022·福建省厦门第二中学高一阶段练习）己知为R上的奇函数，当时，．(1)求的值；(2)求的解析式；(3)作出的图象，并求当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围．【答案】(1)0；(2)；(3)图象见解析，.【解析】（1）是R上的奇函数，，；（2）当时，，故当时，，，；（3）作出函数的图象如图示：在时，在时取得最小值1，在时，在时取得最大值，故当函数与函数图象恰有三个不同的交点时，实数m的取值范围为.14．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数为奇函数.(1)判断在上的单调性并用函数单调性的定义证明；(2)若存在，，使得在上的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)【分析】（1）根据为奇函数，求出，然后利用单调性的定义法证明即可.（2）根据在上是减函数，得到在上有两解，取，化简得到在上有两解，最后利用数形结合即可求解.（1）的定义域为，因为为奇函数，所以，所以，在上单调递减证明如下：任取，，且，则，则因为，，，故，所以，所以在上单调递减（2）由（1）知在上是减函数，所以在上的值域为，所以所以在上有两解所以在上有两解，令，则关于的方程在上有两解，即在上有两解，所以解得，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.15．（2022·北京四中高一阶段练习）关于的方程，设为方程的两根.(1)若，求的值；(2)若满足，试求的值；(3)若均大于0，求的取值范围.【答案】(1)；(2)0；(3).【分析】（1）（2）直接利用根与系数的关系即可求解；（3）由根的分布列不等式组即可求解.（1）当时，方程为，其中.由根与系数的关系可得：，所以；（2）由解得：.由根与系数的关系可得：，所以即为，解得：或（舍）.即；（3）要使均大于0，只需满足：，解得：.所以的取值范围为.16．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．(1)两根均大于1；(2)一个根大于1，一个根小于1．【答案】(1)；(2)【分析】（1）结合二次函数图象，对称轴大于1，，判别式大于等于0，解得的范围即可；（2）结合二次函数图象，只需即可求解（1）因为方程的两根均大于1，所以，解得，即的取值范围为；（2）由可得，因为方程的一个根大于1，一个根小于1，所以，解得．即的取值范围为．17．（2022·重庆一中高一阶段练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”．(1)当m＝2，a＝－3，b＝2时，求函数的“囧点”；(2)当m＝0时，对任意实数b，函数恒有“囧点”，求a的取值范围．【答案】(1)“囧点”，(2)【分析】（1）利用“囧点”定义布列方程，即可得到结果；（2）函数恒有“囧点”，等价于函数恒有“囧点”，结合判别式即可得到结果.（1）当m＝2，a＝－3，b＝2时，，由题意知：∴，∴，解得，，所以当m＝2，a＝－3，b＝2时，函数的“囧点”，．（2）由题知：，所以，由于函数恒有“囧点”，所以，即，又因为b是任意实数，所以，解得，又．故．18．（2022·浙江·高一阶段练习）已知，(1)若对任意实数x，恒成立，求证：；(2)若在上与x轴有两个不同的交点，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）不等式整理得对任意实数x恒成立，即，得，结合均值不等式放缩即可证明；（2）设的两个零点为s，，则，由，结合解析式及基本不等式即可求的范围（1）∵对任意实数x恒成立，∴，∴，当且仅当且，即时等号成立；（2）设的两个零点为s，，∴，，又，当且仅当，即时取等，∴等号不能成立，∴的取值范围为．19．（2022·广东·铁一中学高一阶段练习）已知是定义域为R的奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由是定义域为R的奇函数，则有，且时，代入时的解析式即可（2）时，方程有两个不相等的实数根等价于有两个不等正实根，由求解即可（1）是定义域为R的奇函数，时，，∴，设，则，，故的解析式为；（2），方程有两个不相等的实数根等价于有两个不等正实根，则有，解得.故实数的取值范围为20．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知关于x的方程，当实数a为何值时，(1)方程在内有根；(2)方程的根都小于1.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由题可得，进而转化为求函数的值域问题，利用二次函数的性质结合条件即得；（2）设，分，讨论，根据二次函数的性质结合条件可得不等式组，进而即得.（1）由，可得，，由，可得，所以，所以时，方程在内有根；（2）设，当时，由，可得，适合题意；当时，因为方程的根都小于1，所以或，解得或，综上，或时方程的根都小于1.21．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）（1）若关于的方程（且有实根，求实数的取值范围.（2）若存在实数（且，使得是（1）中方程的实根，求的取值范围.（3）设，考虑，使得命题“存在，且”为真命题.对于所有这样的与相应的，求的最小值.【答案】（1）或（2）或（3）6【分析】（1）由题意可得判别式非负，解不等式可得的范围；（2）结合（1）和方程的解，即可得到所求范围；（3）设是函数的三阶不动点，记①②则③记，，，推导可得，是关于关于的方程两根，结合（1）（2）即可得到所求最小值．【详解】（1）关于的方程有实根，可得或；（2）存在实数，1，使得是（1）中方程的实根，可得，所以存在，1，使得是关于的方程的解，1，且关于的方程有实数解或；（3）设是函数的三阶不动点，记①②则③记，，，则．①②，②③，③①得，因为，即，所以，，即，⑤⑥得，即，又因为，所以，是关于关于的方程两根．由（1）（2），，，，．因为，所以，，中至少有一个为负，不妨设，则，，所以，，记，，当时，有三阶不动点，满足，所以的最小值为6．22．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知函数.(1)对任意恒成立，求实数的取值范围；(2)求不等式的解集；(3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)；【分析】（1）分类讨论与两种情况，时，