抽样分布课件

第1页，课件共40页，创作于2023年2月由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.一、统计量这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.第2页，课件共40页，创作于2023年2月若是一个样本值,的一个样本值称为统计量定义设是取自总体X的一个样本,

为一实值连续函数,且不含有则称随机变量为统计量.未知参数,第3页，课件共40页，创作于2023年2月例总体是未知参数,若,已知,则为统计量是一样本,是统计量,则但不是统计量.第4页，课件共40页，创作于2023年2月几个常见统计量样本均值样本方差设是来自总体X的容量为n的样本,是样本观测值，定义样本k阶原点矩样本k阶中心矩

k=1,2,…第5页，课件共40页，创作于2023年2月它们的观测值分别为：第6页，课件共40页，创作于2023年2月二、抽样分布

统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而求出统计量的精确分布一般来说是很困难的，本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。第7页，课件共40页，创作于2023年2月

下面介绍统计三大分布分布1、设总体X~N(0,1)，(X1,X2,…Xn)是X的样本,则称统计量为服从自由度为n的分布记为第8页，课件共40页，创作于2023年2月分布的密度函数为其中伽玛函数为积分第9页，课件共40页，创作于2023年2月n=2n=3n=5n=10n=15分布概率密度函数图第10页，课件共40页，创作于2023年2月分布具有如下性质：性质1设则证由于,因而则第11页，课件共40页，创作于2023年2月性质2设,且X1,X2相互独立,则有这个性质叫分布的可加性.，则当n充分大时，若的分布近似正态分布N(0,1).第12页，课件共40页，创作于2023年2月对于给定的α,0<α<1,若则称

2α(n)为

2分布的上α分位点

2α(n)•如图所示对于不同的α,n,上α分位点的值已制成表格供查用(见附表2)例第13页，课件共40页，创作于2023年2月但该表只祥列到n＝45为止，费歇尔（R.A.fisher）曾证明，当n充分大时，近似服从，因此当n充分大时，近似地有其中Zα是标准正态分布的上α分位点例如第14页，课件共40页，创作于2023年2月T的密度函数为：记为T～t(n).

定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.2、t分布第15页，课件共40页，创作于2023年2月t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20t分布的概率密度曲线相似于N(0,1)的概率密度曲线,呈对称性.事实上故当n足够大时,t分布近似于N(0,1)分布.但对于较小的n,t分布与标准正态分布相差很大.第16页，课件共40页，创作于2023年2月对于给定的α,0<α<1,称满足条件的点为t分布的上α分位点t

(n)-t

(n)••

由分位点的定义及t分布概率密度曲线的对称性知T分布的上分位点可自附表3中查得,在n>45时,第17页，课件共40页，创作于2023年2月例1设T~t(50),求满足的c值解由得再由t分布的对称性知于是第18页，课件共40页，创作于2023年2月由定义可见，3、F分布定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).~F(n2,n1)第19页，课件共40页，创作于2023年2月若X~F(n1,n2)，X的概率密度为第20页，课件共40页，创作于2023年2月对于给定的α,0<α<1,称满足条件的点为F分布的上α分位点F分布的上α分位点可查附表4F分布的α分位点有如下性质第21页，课件共40页，创作于2023年2月F分布的α分位点有如下性质证第22页，课件共40页，创作于2023年2月这一性质常用来求F分布表中未列出的一些上α分位点例F

(n1,n2)•

第23页，课件共40页，创作于2023年2月在概率统计中,正态分布占据十分重要的位置.这是因为在应用问题中许多随机变量的概率分布是正态分布,或近似正态分布,另外,正态分布有许多优良的性质,便于理论研究,因此我们下面介绍正态总体下某些统计量的抽样分布.三、几个重要的抽样分布定理第24页，课件共40页，创作于2023年2月

定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有第25页，课件共40页，创作于2023年2月n取不同值时样本均值的分布第26页，课件共40页，创作于2023年2月例2在总体中，随机抽取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？解由定理1知，样本均值,所以故所求概率第27页，课件共40页，创作于2023年2月

定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有第28页，课件共40页，创作于2023年2月n取不同值时的分布第29页，课件共40页，创作于2023年2月例3某半导体厂生产的某种零件厚度，为保证质量，规定当时，认为生产过程处于良好控制状态。为此，每隔一定时间抽一个零件测量它的厚度，共抽取20个零件作为一个样本，并计算样本方差S2若（此时用σ＝0.60），则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问c为何值时，的概率才不超过0.01?解由定理2得即第30页，课件共40页，创作于2023年2月所定的失控标准即所以故第31页，课件共40页，创作于2023年2月例4设是来自总体的一个样本，求统计量及的分布，其中S2是样本方差解由定理1知，所以又由定理2知且由与S2独立知Y与S2独立，故第32页，课件共40页，创作于2023年2月

定理3

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有证与相互独立第33页，课件共40页，创作于2023年2月

定理4分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有Y1,Y2,…,是样本(1)(2)第34页，课件共40页，创作于2023年2月(3)证(1)则所以也服从正态分布且第35页，课件共40页，创作于2023年2月(2)由定理2知再由F分布的定义知第36页，课件共40页，创作于2023年2月(3)由（1）知又知并且它们独立，从而由χ2分布的可加性第37页