北师大高中数学选择性必修第一册第三章 空间向量与立体几何 单元测试卷（含解析）

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第三章空间向量与立体几何单元测试卷(原卷版)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量a＝，b＝，且a∥b，则t＝(D)

A.10B.－10

C.4D.－4

2.在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在线段AD上，且DP＝2PA，Q为BC的中点，则＝(A)

A.－a＋b＋c

B.a＋b－c

C.a－b＋c

D.a＋b－c

3.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(D)

A.B.2

C.2D.3

4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(C)

A.2B.3

C.D.4

5.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(A)

A.B.

C.

6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段C1D1上的动点，则直线BC1与直线AP所成角余弦值的范围是(A)

A.B.

C.D.

7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(A)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

8.已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为(D)

A.B.

C.1D.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是(ABD)

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一组基

B.空间的基有且仅有一组

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基

D.基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}基向量对应相等

10.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，则下列λ的值中使a，b的夹角的余弦值为的有(BC)

A.2B.－2

C.D.－

11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下列结论正确的是(AB)

A.AC⊥BD

B.△ACD是等边三角形

C.AB与平面BCD所成的角为90°

D.AB与CD所成的角为30°

12.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径可以是(AD)

A.3B.5

C.8D.11

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为－1.

14.四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则－1；－1.

15.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°，则|BD|＝－1.

16.如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是－1.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)

18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.

(1)求证：直线DE∥平面ABC；

(2)求B1E与平面AB1F所成角的正弦值.

19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝

∠ABC＝90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

20.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

21.(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.

22.(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点.

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；

(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

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第三章空间向量与立体几何单元测试卷(解析版)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量a＝，b＝，且a∥b，则t＝(D)

A.10B.－10

C.4D.－4

解析：因为a＝(3，－1，2)，b＝(－6，2，t)，且a∥b，则a＝λb，即(3，－1，2)＝λ(－6，2，t)＝(－6λ，2λ，tλ)，由相等向量可知解得故选D.

2.在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在线段AD上，且DP＝2PA，Q为BC的中点，则＝(A)

A.－a＋b＋c

B.a＋b－c

C.a－b＋c

D.a＋b－c

解析：由DP＝2PA，则a，()＝b＋c，所以a＋b＋C.故选A.

3.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(D)

A.B.2

C.2D.3

解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设P(a，b，0)，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，B1(2，2，2)，＝(a－2，b－2，－2)，＝(1，2，－2)，∵B1P⊥D1E，∴＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0，0≤b≤1，∴点P的轨迹是一条线段，2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函数的性质可得当b＝1时，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴线段B1P的长度的最大值为3.故选D.

4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(C)

A.2B.3

C.D.4

解析：∵a⊥c，∴a·c＝2x－2＋2＝0，得x＝0，又∵b∥c，则，得y＝－1，∴a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1)，∴a＋b＝(0，1，1)＋(1，－1，1)＝(1，0，2)，∴|a＋b|＝.故选C.

5.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(A)

A.B.

C.

解析：以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，则＝(－2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，－2，0).设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2，2，1)，所以点B1到平面AD1C的距离d＝，故选A.

6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段C1D1上的动点，则直线BC1与直线AP所成角余弦值的范围是(A)

A.B.

C.D.

解析：设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).

设P(0，t，1)(0≤t≤1)，则＝(－1，t，1)，＝(－1，0，1)，所以cos＜＞＝＝.又因为0≤t≤1，所以≤cos＜＞≤1.故选A.

7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(A)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：取AB的中点D，连接CD，以AD所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，以平行于BB1的直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得A(1，0，0)，A1(1，0，3)，故＝(1，0，3)－(1，0，0)＝(0，0，3)，而B1(－1，0，3)，C1(0，，3)，设平面AB1C1的一个法向量为m＝(a，b，c)，根据m·＝0，m·＝0，取c＝2，解得m＝(3，－，2)，则cos＜m，.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.

8.已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为(D)

A.B.

C.1D.2

解析：设n＝(x，y，z)是平面ABCD的一个法向量，则由题设

即令x＝1，得即n＝，由于n·＝－6＋8－，|n|＝，＝2，所以|cos＜n，，故点P到平面ABCD的距离d＝·|cos＜n，＞|＝2＝2，故选D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是(ABD)

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一组基

B.空间的基有且仅有一组

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基

D.基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}基向量对应相等

解析：A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基，所以A错误；B项空间基有无数组，所以B错误；C项符合空间向量基的定义，故C正确；D项中因为基不唯一，所以D错误.故选ABD.

10.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，则下列λ的值中使a，b的夹角的余弦值为的有(BC)

A.2B.－2

C.D.－

解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝×3×.解得λ＝－2或.故选BC.

11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下列结论正确的是(AB)

A.AC⊥BD

B.△ACD是等边三角形

C.AB与平面BCD所成的角为90°

D.AB与CD所成的角为30°

解析：如图，

取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AO⊥BD，

CO⊥BD.又AO∩CO＝O，

∴BD⊥平面AOC，又AC平面AOC，

∴AC⊥BD，A中结论正确；

∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；

∵AO⊥平面BCD，

∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误；

，不妨设AB＝1，则＝()2＝＋2＋2＋2，

∴1＝1＋2＋1＋2＋2＋2cos＜＞，

∴cos＜，∴＜＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选AB.

12.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径可以是(AD)

A.3B.5

C.8D.11

解析：如图，

设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A(r，r，r)，因为小球上一点P到三个面的距离分别为4，5，5，所以设点P(4，5，5)，则＝(r，r，r)，＝(4，5，5)，由＝(4－r，5－r，5－r)，∴2＝(4－r)2＋(5－r)2＋(5－r)2＝r2，即r2－14r＋33＝0，解得r＝3或r＝11，故选AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为－1.

解析：由题意，设＝a，＝b，＝c，建立空间的一组基{a，b，c}，在正四面体中(a＋b)，＝c－b，所以(a＋b)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2)＝(2×2cos60°－2×2cos60°＋2×2cos60°－2×2)＝－1.

14.四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则；.

解析：如图，

设BD的中点为G，连接CG，AG.由题可知该四面体为正四面体，所以三角形ABD，三角形BCD为正三角形，所以AG⊥BD，CG⊥BD，因为CG，AG平面ACG，且CG∩AG＝G，所以BD⊥平面ACG.因为AC平面ACG，所以BD⊥AC.因为点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD＝1，

所以AC⊥EF.所以2＝()2＝＋2＝4＋1＋0＝5，所以，因为，所以.

15.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°，则|BD|＝.

解析：分别过B，D两点作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足为E，F，如图所示，

可求出，＝5－2×.沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°时，

则2＝2＋2＋2＋2＋2＋2×2＋＋0＋0＋2××cos，

∴.

16.如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.

解析：设过点B，D'作BB1，D'D1分别与AC垂直，垂足为B1，D1，设二面角B－AC－D'的大小为θ(0＜θ≤π)，则有

，，，，2＝()2＝＋0＋0＋2××(－cosθ)＝9－5cosθ，

又＝()·××cos∠ACD'－××cos∠ACB＝1×－3×＝1－3＝－2.所以直线AC与BD'所成角的余弦值为

|cos＜＝，当θ＝0，即cosθ＝1时，直线AC与BD'所成角的余弦值最大，最大值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)

解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5.

(2)假设存在点E，设，则＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，

若⊥b，则·b＝0，

所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，

因此存在点E，使得⊥b，

此时E点坐标为E.

18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.

(1)求证：直线DE∥平面ABC；

(2)求B1E与平面AB1F所成角的正弦值.

解：(1)证明：如图，

设AB的中点为G，连接DG，CG，

则DG∥AA1∥EC，且DG＝AA1＝EC.

四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，

又DE平面ABC，GC平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

(2)以点A为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，＝(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，2，－1)，设平面AB1F的一个法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1).设B1E与平面AB1F所成的角为θ，∴sinθ＝.

19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝

∠ABC＝90°，E是PD的中点.

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.

解：(1)证明：取PA中点F，连接EF，BF.

因为E为PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD，由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，

所以EFBC，四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF.

又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB.

(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)，

设M(x，y，z)，则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)，

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，

所以＝sin45°，

，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①

又M在棱PC上，设＝λ，则x＝λ，y＝1，z＝λ.②

由①②得(舍去)或

所以M，从而

设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的一个法向量，则即

所以可取m＝(0，－，2).

于是cos＜m，n＞＝.

因此二面角M－AB－D的余弦值为.

20.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

解：(1)证明：如图，

连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.

由∠ABC＝120°，

可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.

又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.

在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.

在Rt△FDG中，可得FG＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，

可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.

因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.

(2)如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系G－xyz.

由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以＝(1，)，.

故cos＜.

所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.

21.(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.

解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.