数学人教A版高中必修一（2019新编）3-1-1 函数的概念（第1课时）（分层作业）

3.1.1函数的概念（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2020·河北·石家庄二中高二期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.2．（2022·北京·牛栏山一中高二阶段练习）下列函数是复合函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数定义直接得到结果.【详解】由复合函数定义可知：是由与复合所得.故选：D.3．（2022·贵州·高二学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．R【答案】C【分析】直接由定义域的概念求解即可.【详解】由题意得，函数的定义域为.故选：C.4．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意函数的定义域为，，所以，解得或，所以的定义域为.故选：B5．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数f(x)，，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】,对称轴,当,又因为,所以函数的值域为.故选:D6．（2018·云南省昆明市第十六中学高二学业考试）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义域为且在定义域内是增函数可得答案.【详解】函数的定义域为且在定义域内是增函数.所以故选：D【点睛】本题考查具体函数的值域，属于基础题.7．（2022·浙江温州·高二期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】通过考察函数的定义域和对应关系可得.【详解】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；B中，，B正确；C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.故选：B8．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的概念依次讨论求解即可.【详解】对于A选项，当时，在集合中，没有对应的实数，所以不构成函数，不符合题意；对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.故选：B．9．（2022·山西运城·高二期末）若全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域求出集合，再求交集即可.【详解】因为，所以，故选：A.10．（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，故，所以的定义域为，故函数中的需满足：，故，故函数的定义域为，故选：D.11．（2022·湖北·高二学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得；【详解】解：因为函数的定义域为，即，所以，令，解得，所以函数的定义域为；故选：A12．（2022·辽宁沈阳·高二期末）已知集合，集合，，则等于（

）．A．R B． C． D．【答案】C【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，即，，，即，于是得，所以.故选：C13．（2021·福建省长乐第一中学高二阶段练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数的解析式结合反比例型函数的单调性可求得的取值范围.【详解】因为，则，所以，，所以，.故选：C.14．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）下列命题为真命题的是（

）A．函数与函数是同一函数B．设，则“”是“”的必要而不充分条件C．函数的最小值为2D．命题“”的否定是“”【答案】B【分析】分析函数定义域判断A；利用充分条件、必要条件定义判断B；利用对勾函数性质计算判断C；利用全称量词命题的否定判断D作答.【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不正确；对于B，解不等式得，，有，则“”是“”的必要而不充分条件，B正确；对于C，令，函数在上递增，，因此，C不正确；对于D，命题“”的否定是“”，D不正确.故选：B二、多选题15．（2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.故选：CD三、填空题16．（2022·广西·高二学业考试）已知函数，那么=___________.【答案】【分析】直接根据函数解析式可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.17．（2021·北京市海淀区启慧未来学校高二期末）已知函数分别由下表给出：123131123321满足的值是___________【答案】【分析】根据函数的对应表，写出、、对应的值，并比较大小，即可确定满足条件的值【详解】当时，，则，而，则，即；当时，，则，而，则，即；当时，，则，而，则，即；∴满足的的值是.故答案为：18．（2022·北京八中高二期末）函数的定义域为__________．【答案】【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围．【详解】由题意，解得且，所以定义域为．故答案为：．19．（2022·湖南益阳·高二期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.【答案】【分析】先由求得，再由可求出的定义域【详解】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得.故答案为：20．（2022·北京东城·高二期末）函数的定义域为___________.【答案】【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案.【详解】由可知：，故，即函数的定义域为，故答案为：21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【分析】直接解不等式可得.【详解】由解得，所以函数的定义域为.故答案为：22．（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.【详解】函数的定义域为，即，所以，所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.四、解答题23．（2021·山西太原·高二期末）已知函数．（1）求的值；（2）求证：是定值．【答案】（1）1，1；（2）证明见解析.【解析】（1）根据函数解析式代入即可求解.（2）根据解析式，代入整理即可求解.【详解】（1）因为，所以，．（2），是定值．【能力提升】一、单选题1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）和函数是同一函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.【详解】的定义域为，值域为，对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；对于B，的值域为，故不是同一个函数；对于C，的定义域为，故不是同一个函数；对于D,，故与是同一个函数.故选：D2．（2021·河南·高一期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定复合函数求出的定义域，再列式求解作答.【详解】因函数的定义域是，即中，则，因此，有意义，必有，解得，所以的定义域是.故选：D3．（2022·全国·高一课时练习）下列各式中，表示是的函数的有（

）①；②；③；④A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解.【详解】对于①，,定义域为,化简解析式为，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，属于多对一，故①是函数；对于②，，定义域为，解得，故②不是函数；对于③，，定义域为R，但当时，y有两个值与之对应，故③不是函数；对于④，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，属于多对一，故④是函数.故①④是函数故选：C4．（2021·安徽·高一阶段练习）存在函数满足：对任意都有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的定义，对于任一自变量x有唯一的y与之相对应，对x取特殊值，通过举反例排除即可．【详解】A：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设；B：当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设；C：令，当与时，此时，但是不同的两个值，不合题设；D：令，此时，即，符合题设．故选：D.5．（2021·全国·高一专题练习）已知三次函数，且，，，则（

）A．2023 B．2027 C．2031 D．2035【答案】D【分析】根据题意，构造函数，根据可以知道，进而代值得到答案.【详解】设，则，所以，所以，所以.故选：D.二、多选题6．（2021·福建泉州·高一期中）有以下判断，其中是正确判断的有（

）A．与表示同一函数；B．函数的图象与直线的交点最多有1个C．函数的最小值为2D．若，则【答案】BD【分析】利用两个函数的定义域可判断A；根据函数的定义可判断B；利用均值不等式等号成立的条件可判断C；将函数值代入可判断D【详解】选项A，函数定义域，函数定义域为R，故两个函数不是同一个函数，不正确；选项B，由函数定义，定义域中的每个只有唯一的与之对应，正确；选项C，，等号成立的条件是即，无解，所以等号不成立，不正确；选项D，，正确.故选：BD7．（2021·浙江·高一期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】BCD【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.【详解】解：对于A选项，函数的定义域为，的定义域为，故错误；对于B选项，与的定义域均为，且，满足，故正确；对于C选项，函数与的定义域均为，且，满足，故正确；对于D选项，与的定义域与对应关系均相同，故正确.故选：BCD8．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为【答案】AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．9．（2022·全国·高一单元测试）以下各组函数中，表示同一函数的有（

）A．， B．，C．， D．与【答案】CD【分析】两个函数是同一函数的判断：1.看定义域；2.看对应法则.【详解】对于选项A，，，对应法则不同，故不是同一函数，选项A错误；对于选项B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，选项B错误；对于选项C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数，选项C正确；对于选项D，与的定义域和对应法则均相同，故是同一函数．选项D正确；故选：CD．10．（2021·江西景德镇·高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解.【详解】，当时，若，即，解得或；当时，若，即，解得或，此时.所以，，作出函数的图象如下图所示：因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；当时，区间的长度取最大值.所以，区间的长度的取值范围是.故选：BC.三、填空题11．（2021·江苏·高一专题练习）设函数.已知，且，，则______.【答案】【解析】先将进行因式分解再与比较，利用对应系数相等可得关于的方程，即可得的值，即可求解.【详解】因为，所以，，因为，所以，对任意的恒成立，所以不恒为，所以展开整理可得：，所以解得：或（舍），所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将进行因式分解，由不恒为，得出利用待定系数法可求的值.12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.【答案】##1010.75【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.【详解】因为，，所以.故答案为：13．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为_________.【答案】【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解.【详解】分以下几种情况讨论：①当、、全为时，只有种；②当、、中有两个为，一个为时，有种；③当、、中有两个为，一个为时，有种；④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种；⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种.综上所述，满足条件的函数的个数为个.故答案为：.14．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________．【答案】【分析】根据函数的单调性确定最值即可.【详解】解：因为，所以此函数的定义域为，又因为是减函数，当当所以值域为故答案为：．15．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为________.【答案】【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解.【详解】解：由题得且.因为,且.所以原函数的值域为.故答案为：16．（2021·安徽·合肥市第六中学高一阶段练习）已知，且，则的取值范围是___________.【答案】【分析】首先根据题意得到，根据得到，再解不等式即可.【详解】因为，所以.又因为，所以，解得.故答案为：.17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数满足，对任意的，，有，则___________.【答案】##【分析】根据题设条件可得，据此可求.【详解】因为，所以，因为，所以，从而可得，故，故，故，所以，故.故答案为：【点睛】思路点睛：对于抽象函数的函数值的计算，应该根据给出的运算律结合变换得到新的运算律，从而可求确定的函数值.18．（2021·江苏·高一专题练习）已知常数，函数的图像过点，，若，则的值是______.【答案】【分析】将点代入函数解析式，联立可得，结合，化简得，解方程即可求解.【详解】由条件在函数图象上，则，即，所以①在函数图象上，则，即，所以②①×②得，又③所以④由①，②显然可知，均不为0，因为，故上式④可化为，解之得：.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的性质及其运算.，需要有很强的代数变形能力和运算求解能力，属于难题.四、解答题19．（2021·全国·高一）已知函数，且.（1）求的值；（2）判定的奇偶性并证明；（3）判断在上的单调性，并用定义给予证明.【答案】（1）；（2）为奇函数，证明见解析；（3）在上单调递增，证明见解析.【分析】（1），解方程即得解；（2）利用函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性；（3）在上单调递增,再利用函数的单调性定义证明.【详解】（1），，；（2）为奇函数，，所以函数的定义域为，，为奇函数；（3）在上单调递增.证明：对任意的，，且，，，，且，，，，即，在上单调递增.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（2021·江苏·徐州市第七中学高一期中）已知函数.（1）求函数的定义域并求，；（2）已知，求a的值.【答案】（1）且，，；（2）.【解析】（1）要使解析式有意义可得，解不等式组，即可得答案；（2）求出的表达式，进而得到方程，即可得答案；【详解】（1）由解得，函数的定义域为且，，.（2），，.【点睛】函数的定义域是指使得解析式有意义的自变量的取值的集合，注意要写成集合或区间的形式.21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．(1)求，的值；(2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；(3)求的值．【答案】(1)，=1(2)，证明见解析(3)2021.5【分析】（1）由解析式代入运算即可得解；（2）代入计算，即可得解；（3）结合（2）的结论运算即可得解.（1）；．（2）由（1）可发现，证明如下：当时，．（3）由（2）知，所以．22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．(1)求，的值；(2)求证：的定值；(3)求的值．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)2022【分析】（1）代入计算函数值可得答案；（2）化简计算可得答案；（3）利用可得答案.（1）因为，所以，；（2），是定值；（3）由（2）知，因为，，，……，，所以.23．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)设（为实数），求在时的最大值；(3)对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根据偶次方根的被开方数为非负数求得的定义域.（2）利用换元法化简解析式，对进行分类讨论，由此求得.（3）先求得的最小值，由此构造函数，结合一次函数的性质来求得的取值范围.(1)，所以的定义域为.(2)令，，所以，所以转化为，依题意，所以函数的开口向下，对称轴，①，若，即，则.②，若，