基于cpnf法的齿轮非线性传动周期轨道稳定性研究

基于cpnf法的齿轮非线性传动周期轨道稳定性研究

齿轮压力是一种广泛使用的压力传压方法之一。齿轮传动系统的间隙和时变啮合刚度导致其非线性动力学特性非常明显。Kahramn等文中将以单级齿轮转子系统的间隙非线性动力学模型为研究对象,采用有限差分形式的Jacobi矩阵,解决系统的非光滑Jacobi矩阵解析式难以获得的问题;通过CPNF法求解系统的周期解并判稳,研究单级齿轮转子系统随量纲一频率的分岔特性。1单级齿轮转动非线性动力学模型单级齿轮转子传动系统非线性模型如图1所示。图中m式中:f(yc用{x式中:f(x2cpnf循环解决方案和稳定CPNF法是基于PNF法和外参数延续分岔算法的一种可以同时进行周期运动求解和判断、参数分岔的数值算法。2.1基于连续追踪的周期追踪将式(2)改写为周期激励的n+1维状态方程:式中:n=2(N+1),f(x(t),t)=f(x(t),t+TT系统的m倍周期(T=mT在n+1维状态空间中定义n维poincaré截面:然后在poincaré截面上定义poincaré映射:那么连续动力系统的周期运动解就等价于求解离散系统不动点的解向量X式(7)的求解可按打靶法思想进行:事先给出X将P(X)在给定的初始点X式中:P(XP将式(9)代入式(8)中,可得:式中:I———n×n的单位矩阵。P(X式中:f微分方程(10)以(X令X给定式(3)的参数,通过式(9)求得周期解并判稳后,根据延续分岔算法引入分岔参数Ω,采用延续追踪的方式进行周期追踪。引入外参数Ω后,方程(7)离散动力系统转化为式(11)的解曲线问题:设已求得Ω=ΩP以(X取步长ΔΩ,从初始外参数Ω2.2系统的jacabi矩阵CPNF法中采用牛顿迭代法计算动力学状态方程的Jacobi矩阵时,要求系统光滑可微。机械传动系统中的间隙、预紧约束及干摩擦等会造成系统的非光滑α———机器的误差精度。2.3循环解决方案的稳定性根据Floquet理论3点周期同组参数的验证单级齿轮转子非线性系统(式(2))中仿真参数如下:ζ考查量纲一频率Ω=1.4782时周期运动及其稳定性。任取迭代初始点X(0)=(1,0,1,0,1,0),通过PNF法迭代,获得4个共存周期不动点:P不动点计算过程中同步获得的周期1(由于篇幅其余周期未列出)在离散状态的转移矩阵P其Flouqet乘子的特征值模向量为:(0.5172+0.6351i0.5172-0.6351i0.0399+0.9992i0.0399-0.9992i-1.2115-0.6503)。Floquet乘子模的最大值｜λ｜在同组参数下采用4~5阶runge-kutta直接数值积分进行验证,去除瞬态响应后,稳态响应的时间历程图和poincaré映射图如图3所示。上述验证结果充分说明,同组参数下数值积分法仅能获得稳定周期8的轨道运动状态,这与CPNF法分析的结果相吻合。不稳定周期1、周期2与周期4运动只能采用CPNF法获得。这些不稳定的周期轨道为单级齿轮转子传动系统的混沌控制提供了丰富的目标轨道。4系统稳定性的分岔令3自由度单级齿轮转子系统的量纲一频率Ω在1.440~1.540范围内连续变化,并采用CPNF方法考查其周期稳定性随参数Ω变化,其分岔失稳延续追踪结果如图4所示。图4a中,Ω=1.54~1.48范围内以步长ΔΩ=-0.008进行周期1运动的判稳,在Ω=1.524点｜λ｜通过CPNF法对不同周期的分岔失稳情况进行延续追踪,其各稳定和不稳定周期共存的情况汇总如表1所示。总结以上,可大致描绘出在量纲一频率区间1.5400~1.4570内及1.4570以后频率区间上系统运动稳定性的分岔情况,如图5a所示(稳定运动周期用实线表示,不稳定运动周期用虚线表示)。采用runge-kutta数值积分方法对系统方程(2)在频率区间1.540~1.440内数值进行积分验证,并叠加CPNF法延续追踪的不稳定周期解获得其分岔特性图,如图5b所示,图中“·”表示稳定映射周期点,“×”表示不稳定映射周期点。为了验证经过倍周期分岔后混沌运动的发生,绘制了Ω=1.440时的系统poincaré映射图,如图6所示。5稳定性检验结果(1)文中改用有限差分法近似代替了非光滑3自由度单级齿轮传动系统的Jacobi矩阵,使光滑系统的CPNF法适用于文中的非光滑齿轮系统的周期轨道的求解和判稳及延续追踪分岔现象,改进的CPNF方法对算例的计算结果和数值仿真结果比较证明了该方法的有效性。(2)3自由度单级齿轮转子非线性传动系统在特定参数组合下,存在多个稳定周期解和不稳定周期解共存的现象。不稳定周期解的存在丰富了系统控制