lagrange乘子法优化换热网络求解最速下降法

lagrange乘子法优化换热网络求解最速下降法

循环交换网络（hns）是系统工程的重要组成部分，旨在提高系统的回收率和经济性。换热网络中存在表示换热器有无的0-1整型变量以及表示热负荷分布的连续变量,所以换热网络综合属于混合整数非线性规划(mixedintegernonlinearprogramming,MINLP)范畴换热网络综合方法主要可分为以Linnhoff为代表的夹点设计法罚函数法操作简单,使用方便,并能求解导数不存在的问题。但其存在着一个固有的缺点,即当罚因子趋向极限时,罚函数的Hessian矩阵条件数无限增大,呈病态现象,直接影响算法的精度与收敛性,给罚函数的极小化增加困难;但当罚因子取值很小时,罚函数的极小点会远离约束问题的最优解,计算效率很差,所以罚因子的取值问题采用是罚函数法时存在的实质性困难Lagrange乘子法通过求解一系列无约束优化问题,间接得到原问题的最优解,是另一种常用的处理有约束问题的方法鉴于此,本文采用Lagrange乘子法处理有约束的换热网络综合问题。为求解方程组,提出最速下降法(steepestdescentmethod,SD)求解策略以及Powell法(Powellmethod,Powell)求解策略,并通过极小值判断机制剔除非函数极小值的解。对于换热网络MINLP问题,Lagrange乘子法只能收敛于局部极值,所以结合实际工况,提出结构进化策略(structureevolution,SE),使原有的结构不断进化,获得更优的换热网络设计,跳出局部最优解,进而实现换热网络的全局最优化。最后通过经典算例对两种求解策略以及结构进化策略进行验证。1网络交换模型及其lagrange函数1.1循环网络问题的数学描述换热网络综合问题可表述如下:现有N1.2整型变量拟合针对上述换热网络模型,以年最小年综合费用为优化目标,其数学函数为式(1)。式中,B为0-1整型变量,表示换热器有无,当换热器存在时B=1,反之则B=0;C式中,Ki,j、KLMTD当GCp1.3主要限制条件根据换热网络数学描述以及文献[15]可知,目标函数的主要约束条件如式(8)~式(29)所示。(1)流量目标温度限制(2)单链热平衡(3)冷块和热平衡(4)热平衡器(5)可执行温度限制(6)不负保险(7)逻辑约束式中,T1.4其他约束条件由换热网络数学描述可知,模型中的主要约束条件为温度约束,即当流体出口温度等于目标温度时,其他约束条件也能够满足。所以本文通过Lagrange乘子将温度约束与原目标函数结合,构造Lagrange函数,函数无任何约束。其形式如式(30)。对Lagrange函数的各个变量求导,令其为零,可以得到Lagrange函数方程组,其形式如式(31)。式中,N2无约束lagrange函数模型采用Lagrange乘子法解决换热网络综合问题,首先将有约束的目标函数转化为无约束Lagrange函数,并通过求解方程组来获得原函数的极小值2.1判断条件:极值点满足极值点的一阶必要条件的Lagrange乘子虽然必定存在,但考虑到目标函数严重的非线性和非凸特性,满足方程组即一阶必要条件的解可能为鞍点或拐点,而非极值点,所以引入极值点的二阶必要条件作为函数收敛的判断机制。对方程组求解后,继续计算此解所对应位置的Lagrange函数二阶导数,判断其Hessian矩阵是否正定。如果Hessian矩阵正定,则此解为Lagrange函数的极小值。反之,则不为Lagrange函数的极小值,此时随机产生新的初始解,使算法继续搜索,直到找到函数的极小值。2.2最速下降方向根据公式(31)可知,每一个变量所对应的一阶偏导数值为零时,方程组得解。据此,可根据最速下降法思想,在迭代计算中,以每次求得的偏导数值为基础,沿其负梯度方向进行一维搜索,从而确定其搜索方向以及最佳搜索步长,直到各个变量的一阶偏导数值近似为零。算法的终止条件为变量的对应梯度DStep1设置初始参数,常数阈值εStep2计算目标函数的一阶导数,并确定Lagrange函数最速下降方向DStep4沿最速下降方向DStep5通过式(32)、式(33)更新换热量以及拉格朗日乘子。变量更新后,转Step2。Step6通过极小值判断机制验证当前解,如果为极小值,则迭代结束;否则随机产生新初始解,转Step2。2.3极小值判断机制Powell法是一种求解无约束最优化问题的直接搜索法通过公式(34)可知,函数P(Q,λ)是极小值均为零的多元函数。采用Powell法优化新函数P(Q,λ),得到其极小值,此极小值同时对应着原Lagrange函数方程组的一组解。通过极小值判断机制验证当前解,如果为极小值解,则迭代结束;否则对产生新的初始解,跳出当前位置,继续计算,直到满足极小值判断机制。Powell法优化函数的过程引自文献[17],本文结合极小值判断机制,得到如下计算步骤。Step1确定变量维数N,设置初始点XStep2从初始点XStep3判断迭代计算是否结束:若满足下式,则得到解XStep4计算最速上升方向上函数P(Q,λ)的变化,如式(38)。Step5引进第(N+1)个搜索方向和新的点XStep6并计算P(X则将X(2)若满足则将X(3)若以上两条件均不满足,则转Step7。Step7以XStep8通过极小值判断机制验证解X3算例3:最优结构和最优换热器个数n换热网络综合问题严重的非凸、非线性,导致Lagrange乘子法只能收敛于求解域内的局部最优解。所以为实现换热网络的全局最优化,本文结合换热网络实际工况,提出了一种优化整型变量的结构进化策略。考虑到换热网络问题均存在全局最优解,其对应结构的换热器个数也为定值,但对现在的研究成果而言,最优结构和最优换热器个数均无法确定。此外,换热器之间具有很强的关联性,同一股流体中的上游换热器的位置和换热量直接影响下游换热器。所以如果在原结构基础上仅仅增加或减少一个换热器,并以此新结构对应的目标函数值变化作为此操作是否成功的标准,则很有可能使换热网络结构的生成方向偏离最优结构。本文以此为出发点,根据相关文献中算例的优化结构和实际工况设定换热器个数范围[N其中常数c用来调整当前结构换热器生成或消去的概率。确定结构中的换热器个数N后,调用随机数rand,若rand≤f(1)换热器生成操作。在整个分级超结构中随机选择N(2)换热器消去操作。在整个分级超结构中随机选择N其中,N(4)结构选择调用随机数rand,若rand≤f4lagrange乘子法有效性分析引用文献[18-19]的算例对算法进行验证,构造Lagrange函数方程组后,分别采用两种求解策略对其求解,并对结果进行分析。然后对两结果对应的换热网络结构执行结构进化策略,验证其有效性及准确性。过程流体由4股热流体和5股冷流体组成,相关参数如表1所示。换热器费用计算公式2000+70×A/[$/(m在迭代步数等参数设置相同的情况下分别采用两种求解策略对算例进行优化,图2为最速下降法求解策略优化结果的流股匹配图,其对应的年综合费用为2941949$/a。图3为Powell法求解策略优化结果的流股匹配图,其对应的年综合费用为2942153$/a。通过对比两结构图可以发现,图2所示的换热网络结构较图3在第二级多出一个换热器,但此换热器可与第一级相同位置的换热器叠加,而且不会引起其他变量的变化。叠加后的换热网络结构与图3相同,而连续变量的差别可认为由精度差异或极小值判断机制造成。可以证明Lagrange乘子法能够有效处理多约束的换热网络综合问题,并在初始条件相同的情况下,两种求解策略能够得到近似相同的结果。对比两者的年综合费用值可知,最速下降法求解策略的结果相对较优,这是因为Powell法求解策略构造的函数P(Q,λ)光滑性要比Lagrange函数差,进而影响了优化结果。由于换热网络综合问题的严重非线性,Lagrange乘子法只能收敛于局部最优解。所以本文分别对图2、图3所示的换热网络结构执行结构进化策略。并在与原Lagrange乘子法参数设置相同的情况下,得到执行结构进化策略前后的费用变化曲线。由于两种求解策略的确定性方法本质,所以收敛较快,在前期每200步记录一个费用值,而结构进化策略具有随机性,得到更优结果所需的计算步骤相对较多,后期每500步记录一个费用值。对图2所示的换热网络结构执行结构进化策略后,得到图4所示结果,其所对应的年综合费用为2927432$/a,相比原结构对应的费用值下降14517$/a。两者的费用变化曲线如图5所示,由其可知,执行结构进化策略后,费用曲线出现了4次明显的下降,而两者对应的换热网络结构也有很大的差异,表明结构进化策略使算法多次跳出了局部最优解,优化后的换热网络结构趋近于最优结构。对图3所示的换热网络结构执行结构进化策略后,得到图6所示结构,其所对应的年综合费用为2930189$/a,相比原结构对应的费用值下降11964$/a。两者的费用对比曲线如图7所示,由其可知,执行结构进化策略后,费用曲线出现明显的下降,即对当前结构执行结构进化策略后,扩大了Lagrange乘子法的搜索范围,获得了比以往更优的换热网络设计。表明结构进化策略加强了算法的全局搜索能力,提高了搜索效率。优化结果与文献对比如表2所示,由其可知,本文采用的Lagrange乘子法得到了相对于文献更优的结果。对图2、图3所示结构执行结构进化策略后,分别得到图4、图6所示结构,年综合费用均再次出现明显的下降,表明执行结构进化策略后,当前换热网络结构不断向最优结构进化,在原有结果的基础上,提升优化质量。各图所示结构的计算相关参数如表3所示。此外,虽然基于最速下降法求解策略的结果均好于基于Powell法,但Powell法求解策略仍具有了一个所有极小值均为0的新函数,通过优化新函数可以求解方程组。其次,由前述可知,图2、图3的结构可认为近似相同,且费用差值为204$/a,相对本算例的费用数量级可忽略,即对同一个Lagrange方程组而言,两种求解策略能够得到近似相同的解。图4、图6结构对应的费用值虽然相差2527$/a,但造成此差异主要是因为两者初始结构的换热器个数不同,对结构进化策略而言,相当于从不同起点进行进化,最终导致结果存在差异。且两费用值均明显优于原结构以及文献结果,进一步表明了结构进化策略在解决换热网络综合问题时的有效性及通用性。5求解策略及分析本文采用Lagrange乘子法优化换热网络,克服了罚函数法处理有约束问题时存在的不足。结合确定性方法提出的两种求解策略能有效求解Lagrange函数方程组,并使用极小值判断机制对方程组的解进行了检验。根据实际工况提出的结构进化策略与Lagrange乘子法结合,扩大了搜索范围,跳出局部最优解,实现了换热网络的全局最优化。通过经典算例对算法的精度及收敛性等方面进行验证,均取得了不错的结果。符号表明A——换热器面积,mStep3计算最速下降方向D方向替换判断,如式(41)、式(42)。(1)若满足(3)lagrange乘子法由于结构进化操作具有随机性,所以为提高进化效率,排除不合理结构,本文提出两条结构判断公式,即对流体上的换热器个数进行限制和判断。执行进化操作后,分别计算冷、热流体上的换热器个数,当满足判断公式时,使用Lagrange乘子法对新结构优化;否则认为结构进化操作无效,重新执行。结构判断公式如式(44)、式(45)所示。(1)初始化设定换热器个数范围[N(2)概率函数形式为增