修正增广拉格朗日函数的凸半无限规划

修正增广拉格朗日函数的凸半无限规划

0对偶问题的处理考虑到以下问题，动态平面无限规划（sip）。其中:Ω为R半无限规划问题的一个特例为线性半无限规划(linearsemi-infiniteprogramming,LSIP)问题。文献[1-2]给出了LSIP问题的拉格朗日函数,并利用该函数得到对偶问题,给出了原问题与对偶问题的强对偶定理。在假设退化条件成立的前提下,文献[3]利用标准的拉格朗日函数研究了凸半无限规划的对偶定理,并且将半无限问题转化为有限问题。文献[4-8]也在标准拉格朗日函数的基础上,利用鞍点准则讨论了无对偶间隙问题。文献[9-12]讨论了锥上的半无限规划问题,在锥约束下,利用标准拉格朗日函数证明了强对偶性。文献[13]讨论了在标准拉格朗日对偶下,集值最优化问题的对偶。文献[14]讨论了多目标规划的对偶问题。文献[15]利用增广拉格朗日函数讨论了零对偶间隙问题。在增广拉格朗日函数的基础上,文献[16]用新的拉格朗日乘子法求解约束非线性优化问题。现有的大部分文献,均是在拉格朗日函数的基础上得到约束规划的对偶问题,而利用增广拉格朗日函数研究对偶问题的内容较少见。本文首先给出了修正的增广拉格朗日函数,然后在此函数基础上得到了对偶函数,从而得到多变量的对偶问题,证明了原问题与对偶问题的强对偶性。本文采用增广拉格朗日函数,其形式为:其中:Ω为R1对偶问题的拉格朗日对偶线性对于问题(1),对应的拉格朗日函数为:其中:λ≥0为拉格朗日乘子。继续考虑拉格朗日对偶,给出增广拉格朗日函数。定义修正的增广拉格朗日函数为:其中:λ,μ为增广的拉格朗日乘子,λ≥0,μ≥0。由式(3)可知:因此,问题(1)可以写成极大极小形式则问题(1)的拉格朗日对偶问题是:定义对偶函数为:则问题(1)的拉格朗日对偶问题为:其中:下面给出原问题(P)和对偶问题(D)最优值之间的关系。定理1弱对偶定理假设x∈R证明由θ(λ,μ)的定义可以得到:结论得证。推论1假设x∈R根据定理1,易得该结论。推论2如果证明结合即对任意的x,推论3若根据推论1,易得该结论。2生长参数vy该部分讨论使得强对偶关系val(P)=val(D)成立的条件。给出下面符号:(Ⅰ)令(Ⅱ)令(Ⅲ)令<y,x>表示x与y的标准数量积。定义1(对偶间隙)如果f这样,val(P)=val(D)等价于δ=0。考虑如下含参问题D其中:易得ψ(λ,μ,y)关于变量λ,μ,y是线性的,则ψ(λ,μ,y)关于变量λ,μ,y也是凸函数。定义如下函数:根据函数上确界与下确界的关系,有:因为一个线性函数的上确界函数或者下确界函数既是凸函数又是凹函数,因此,v(y)是广义实值凸函数。显然val(D假设1f:R假设2g(x,w):R定理2对任意的增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,函数L(x,λ,μ)关于x是正常凸且下半连续的。证明根据假设2,由g(x,w),w∈Ω的凸性可以得到是正常凸且下半连续的。结论得证。定义2定义的函数f定理3在假设1和假设2下,对任意的λ,μ≥0,有L(x,λ,μ)=L根据定理2和文献[18]的推论12.2.1,易得该结论。现在计算函数v(y)的共轭函数,有:其中:L引理1假定假设1和假设2成立,则val(D)=-v(0),val(P)=-v证明(Ⅰ)易得val(D)=val(D(Ⅱ)由于则而且(Ⅲ)因为特别地,当x=0时,因此,Sol(P)=-∂v下面寻找使得强对偶特性val(P)=val(D)成立的条件。定理4假定假设1和假设2成立,且v证明因为v定理5假定假设1和假设2成立,且v证明如果v(y)在y=0处次可微,即∂v(0)≠Φ,由v(y)-v(0)≥<ξ,y>,得v(0)有限且v(y)在y=0处下半连续,∂v(0)=∂v反之,如果val(P)=val(D),即-v(0)=-v注意到y=0在结果分析中起着关键作用,给出下面局部性质。定理6假定假设1和假设2成立,且v证明假设条件成立,那么对任意的y∈B,存在增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,使得ψ(λ,μ,y)>-∞,因此,对任意的y∈B有v(y)<+∞。在假设下有v(0)=v反过来,假定Sol(P)非空且有界,则∂v3增广拉格朗日乘子的确定考虑如下的LSIP问题:其中:c=(c对任意的增广拉格朗日乘子λ,μ≥0,则因此,对问题(19),定理6中的条件等价于如下条件:这说明拉格朗日函数改变后结论仍成立。4修正的增广拉格朗日函数对偶理论是凸半无限规划中一个重要的部分。然而,实际中的很多问题与其对偶问题之间存在对偶间隙。本文为消除对偶间隙,给出了一种修正的增广拉格朗日函数,