工程力学教学六

三、虚功原理的两种应用1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态如图(b)、(c)待分析平衡的力状态X(b)FP由外力虚功总和为零，即：(c)直线虚设协调的位移状态通常取单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程，即几点说明：(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(2)虚位移与实际力状态无关,故可设特点:

用几何法来解静力平衡问题。例.求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移

.(a)ABaCbc2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。1ABC(b)由求得：虚功方程为：这便是单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也称为Maxwell-MohrMethod几点说明：(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力P=1总的来讲，必须非常清楚的是：单位位移法的虚功方程平衡方程特点:是用静力平衡法来解几何问题。单位荷载法的虚功方程几何方程返回首页

3单位荷载法一、位移计算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过——单位荷载法。下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi设待挂求的信实际颤广义位移剩为Δ设仅够在广建义力P作用焦下，留与之院平衡灭的轴请力、床剪力铁、扭槐矩和毁弯矩扩分别溪为FN、FQ、Mx和M。实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、FQ、Mx和M，与Δ对应洗的广义牺力为P。又设扔与内隶力FN、FQ、Mx和M对应点的微货段实涨际变盈形分泊别为δε、δγ、δφ和δθ。若结些构有头已知辫支座器位移君为ci实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc，与其斜对应墓的由碑广义朴力P引起骨的支徐座反锦力为FRi则杆剑系结窃构虚辣功方呢程为δWe=ΣFRici+P脸Δ=Σ∫仆[FNδε蔬+FQδγ厅+Mxδφ+Mδ羽θ]ds=δWi虚功方程等式两边同除广义力P，并记单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN、

FQ、Mx和M。单位广义力引起的，与已知位移对应的反力为FRi。则杆拣系结潮构虚明功方购程改芹写为Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移友计算裕的一袍般公楼式一般牲公式均的普卸遍性躬表现加在：2.结构供类型柳：梁母、刚昼架、积桁架喉、拱推、组资合结构；暴静定接和超断静定次结构遥；1.位移咬原因俊：荷扰载、粘温度彼改变依、支昆座移洽动等斩；3.材料奇性质领：线检性、周非线筋性；4.变形作类型序：弯始曲变跌形、些拉(压)变形打、剪劣切变形逝、扭贪转变颈形；5.位移出种类降：线被位移逢、角咏位移拥；相希对线甚位移和相蒜对角梳位移软。BA(b)试确怕定指向定广清义位秒移对臂应的老单位马广义骗力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)试确宅定指惰定广谦义位弯移对妇应的州单位颜广义驳力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确全定指滔定广丢义位烘移对戏应的教单位苦广义壤力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确涝定指虹定广职义位改移对屑应的样单位亩广义乎力。二、贿荷映载作值用下玻位移午计算是的一缎般公具式在仅若荷载欢作用条时的差位移浙计算谷一般楚公式对于哀由线弹毕性直杆组成邻的结史构，境有：扭转项式中敢：E弹性模量；G

剪切模量；A

横截面积；I

截面惯性矩；k

截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。IP

截面极惯性矩；轴向剪切弯曲扭转例1：求刚架A点的竖向位移。解：初构造块虚设养状态（实际纺状态增）分别丛列出倚实际信状态余和虚尚拟状所态中摊各杆泄的内晋力方袖程（榴或画返出内脑力图书），遣如：（虚拟厕状态义）qxxqlqlx荷载津内力井图xxlx11单位惹内力同图内力获的正凶负号房诚规定妈如下吗：轴力以拉力为正；剪力使微段顺时针转动者为正；弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。将内轨力方兆程代屑入公浊式讨论蹲：轴向剪切弯曲，有味：引入拨符号问题：的取值范围是什么？设杆钉件截面为bh的矩虚形截绳面杆杆，有惕：因此,对受蹄弯细黎长杆渴件,通常含略去FN,FQ的影清响。取：，，有：即：三、足几点识讨论哈（只绩有荷敲载作陶用）房诚：一般滴来说循，剪字切变门形影邮响很均小，微通常针忽略来不计爹。1.对梁穿和刚漂架：2.对桁澡架：3.对组亿合结闸构：例2：求曲梁B点的竖向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：音构造弃虚设袜的力杜状态扭如图苹示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理啊有：将内蛋力方忘程代艳入位枕移计溉算公环式,可得三铰轰拱的权分析同此盖类似乒，但邮一般要考霸虑轴剖力对逐位移遵的贡宇献，也呀即例