四点共圆的性质与判定讲义2023年九年级中考数学复习

四点共圆的性质与判定

--------------------------------------知识点总结-------------------------------------

证明四点共圆的方法：

（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上

（2）共斜边的直角三角形的各顶点共圆

（3）线段同旁张角相等，则四点共圆.

（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆

（5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆

（6）四边形ABCD对角线相交于点P,若PA-PC=PB-PD,则它的四个顶点共圆

（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P,若PA-PB=PCPD,则它的四个顶

点共圆.

---------------------------------------题型专练---------------------------------------

【题模1】：圆的性质的应用

1、如图，在平面内直角坐标系中，直线y=x+6分别于x轴、y轴交于A、B两点，点C与点A

关于y轴对称，点E为线段0B上一动点（不与0、B重合），CE的延长线与AB交于点D,过A、

D、E三点的圆与y轴交于点F

（1）求A、B、C三点的坐标

（2）求证：BEEF=DEAE

（3）若tanNBAE=g,求点F的坐标

2、如图9,在平面直角坐标系中，二次函数y=ox2+Zu+c的图象交x轴于A、8两点，交y轴于

点C点，P为y轴上一个动点，已知A(-2,0)、C(0,-20)，且抛物线的对称轴是直线x=l.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)连接尸8,则，尸。+尸8的最小值是；

2

(3)连接出、PB,P点运动到何处时，使得NAPB=60。，请求出P点坐标.

【题模2］：到一定点的距离相等的点在同一个圆上

1.已知。。的直径48=6,点C是。。上一个动点，。是弦4C的中点，连接8，

(I)如图7-1,过点C作0。的切线交直径的延长线于点E,ILtanE=-：

4

①；②求证：ZCD5=45°：

(2)如图7-2,尸是弧48的中点，且C、F分别位于直径48的两侧，连接。尸、BF.在点C运动过

程中，当△80F是等腰三角形时，求4C的长.

困7-1图7-2备用图

2、如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,若NCAD=76。，求NCBD的度数.

3、如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰aADE,将^ADE沿DE折叠，点A落

到点F处，连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于G,交CD于H。在下列结论

中：①aABM丝△DCN;②NDAF=30°;③4AEF是等腰直角三角形；④EC=CF;⑤S：

HC尸S_ADH，其巾正确的结论有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【题模3】：共斜边的直角三角形的各顶点共圆

1、锐角AABC的三条高A。、BE、CF交于H,在A、B、C>D、E、F、”七个点中.能

组成四点共圆的组数是（）

A、4组B、5组C、6组D、7组

2、如图，锐角^ABC的垂心为H,三条高的垂足分别为D、E、F,则H是4DEF的.

3、如图，已知四边形A8CD是边长为4的正方形，E为CO上一点，且OE=1,尸为射线上

一动点，过点E作EGLAF于点P,交直线A6于点G.则下列结论中：①AF=EG；②若

=NPCF,则PC=PE；③当NCPF=45。时，BF=1；④PC的最小值为任-2.其中正确的有

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损

矩形的直径.（1）如图1,损矩形ABCD,ZABC=ZADC=90°,则该损矩形的直径是线段.

（2）在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四

个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法,

但要保留作图痕迹.

（3）如图2,z^ABC中，ZABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中

心，连接BD,当BD平分NABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若

5、如图，正方形4BCO中，BC=6,点E为6c的中点，点P为边CO上一动点，连接AP,过点

P作AP的垂线交于点N为线段AP上一点，且PN=PM,连接MM取MN的中点”，

连接EH,则EH的最小值是.

6、如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCO的边长为3,点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y

轴上，点B在第一象限内，直线y=kx+l分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G,AE，FG,下列

结论:①4GCD和aFOD的面积比为3:1:②AE的最大长度为亚:③tanNFEogl）当DA平分NEA。

3

时,CG=；,其中正确的结论有（）

2

A.①②③B.②③C.②③④D.③④

7.如图①，放ZVIBC中，ZACB-900,CDA.AB,我们可以利用△ABCSAAC。证明AC2=AD-AB,

这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形4BCO的边长为6,点。是对角线

AC、3。的交点，点E在CO上，过点C作CEL3E,垂足为F,连接OF。

(1)试利用射影定理证明△BOFS/XBED；

(2)若DE=2CE,求OF的长。

8、如图5,正方形ABC。中，E是8C延长线上一点，在上取一点尸，使点B关于直线E尸

的对称点G落在A。上，连接EG交C。于点“，连接交EF于点M,连接CM.则下列结论:

①N1=N2；②N3=N4；③GD=\[iCM；④若AG=1,GD=2,则6M=百淇中正确的是

A.①②③④B.①②C.③④D.①②④

【题模4】：线段同旁张角相等，则四点共圆.

1如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,

点B的坐标为(3,0),直线y=-x+3恰好经过C两点

(1)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；(y=xZ4x+3)

(2)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且NAPD=NACB,求点P的坐标.

(3)点P在抛物线的对称轴上，且NAPB=NACB,求点P的坐标.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-3a1-4a的图象经过点

C(0.2),交X轴于点A、B(A点在B点左侧)，顶点为D.

⑴求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

(2)将沿直线BC对折，点A的对称点为A\试求A，的坐标;

(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使NB/1C?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

3、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.问

(1)4ADG之4CDE是否成立？(2)AG是否与CE相等？

(3)AG与CE之间的夹角为多少度？(4)HD是否平分NAHE?

4、如图1,正△ABC中，点。为8C边的中点，将NAC3绕点C顺时针旋转a角度(0。<01<60。)

得NAC8,点P为线段AC上的一点,连接PD与B'C,AC分别交于点E、R且Nfi4C=NEDC.

(1)求证：AP=2ED；

(2)猜想出和PC的位置关系，并说明理由；

（3）如图2,连接AO交于点G,若AP=2,PC=4,求AG的长.

图2

【题模5】：若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆

1、如图，在梯形ABCD中，AD//BC,点、E,E分别在边AB,CD上，设E£＞与AE相交于点G,

若B,C,F,E四点共圆，求证：AGGF=DGGE.

2、如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且

AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：

①△AEDgaDFB；②S四娜BCDG=Y^CG2；③若AF=2DF,则BG=6GF；@CG与BD一定不垂直;

2

⑤NBGE的大小为，定值.其中正确的结论个数为（）

A.4B.3C.2D.1

3、圆内接四边形ABCD,0为AB上一点，以0为圆心的半圆与BC,CD,DA相切，求证：AD

+BC=AB

D

4、如图，A8为圆。的直径，8