考虑结构稳定性的变密度拓扑优化方法

考虑结构稳定性的变密度拓扑优化方法

在结构优化设计中，强度、刚度和稳定性是三个主要问题。现有的结构拓扑优化方法多以考虑结构刚度为主,如体积约束下的最大刚度和刚度约束下的最小体积等变密度法1优化问题数学模型基于经典变密度法,建立以单元相对密度为设计变量,结构最小柔度为目标函数,体积和失稳载荷因子为约束条件的优化问题数学模型,如式(1)所示:式中:ρ为单元相对密度矢量;C为结构柔度;n为结构中单元的数量;U为结构节点位移矢量;K为结构总刚度矩阵;u2单元相对密度使用变密度法进行连续体结构拓扑优化时,需要对中间密度值进行惩罚,从而使单元相对密度趋向0或1,避免灰度单元的出现。本文使用目前最流行的SIMP(solidisotropicmicrostructureswithpenalization,固体各向同性惩罚微结构)法式中:E3计算的灵敏度对于式(1)中的结构柔度C(ρ)、体积V和第1阶失稳载荷因子λ3.1材料插值模型及刚度矩阵根据式(1)中结构柔度的表达式,可得柔度C的灵敏度表达式:式中U=K由材料插值模型及平面四边形单元的刚度矩阵,可得k将U=K式中c3.2体积敏度体积灵敏度如式(6)所示:3.3失稳载荷因子由结构稳定性线性特征值理论,可得经典的稳定性分析特征方程式中:λ式(7)两边同乘φ式(8)对设计变量ρ由于K,K根据式(10)、式(9)可简化为:将式(7)代入式(11),得:式(12)经变换得到失稳载荷因子λ式中:k4考虑稳定性的变密度法利用上述优化问题数学模型及计算得到的灵敏度,采用拉格朗日乘子法推导优化准则。首先构建数学模型的拉格朗日函数:式中:β当目标函数C取得极值时,拉格朗日函数(14)需满足以下库恩-塔克(Kuhn-Tucker)条件:针对设计变量ρ考虑上式中μ将式(17)展开并整理,得到:其中,β整理得到:式中:E式中:ρ要计算得到f同理展开第1阶失稳载荷因子λ在优化过程中,考虑到V5几何刚度矩阵显式推导在式(19)中,还需使用e式中:G是与单元形函数有关的微分矩阵,S是与单元应力有关的矩阵,V为单元体积。对于平面四边形单元,G和S的表达式如下式中:N将G和S代入式(24),可得平面四边形单元的几何刚度矩阵的显式表示:式中:式中:r=m,q,u,v;s=m,q,u,v。对于平面四边形单元,有:其中ξ,η为局部坐标,它们与整体坐标x,y的转换关系为:其中2a,2b为四边形单元的边长。因此,可求得形函数对坐标x,y的微分为:将式(32)代入式(29),得:6低密度区域的出现变密度拓扑优化方法由于引入了中间密度单元,会在优化的过程中出现低密度区域,导致虚假模态的出现,影响优化进程。本文采用文献[9]提出的虚假模态处理方法,以识别虚假模态。将低密度区域模态应变能贡献比值作为判断指标,设定一个密度阀值ρ式中:E7数学模型的建立及初始化考虑结构稳定性的变密度拓扑优化方法的具体流程如图1所示。首先建立优化问题的数学模型并初始化基本参数;然后进行静力学分析,并提取单元应力(用于构建应力矩阵S)及应变能(用于求解式(20)中的应变能e8第14次迭代前后的优化过程及优化结果图2所示为受压柱模型,设计域宽度W=1m,高度H=2m,结构的材料参数及优化设计参数如表1所示。在设计域顶端中部施加均布载荷P=10图3为柔度C、体积V和失稳载荷因子λ图4为优化过程中结构的拓扑变化过程、失稳模态云图以及相应的优化过程数据。由图可见结构下部两侧的材料被保留以保证稳定性和一定的刚度,同时在上部两侧及中间区域去除材料以减小体积。与图3相对应来看,在第14次迭代之前,结构主要在顶部两侧及底部中央去除材料,优化进程较缓。在第14次迭代以后,结构内部开始出现孔洞,优化进程加快。最终,失稳载荷因子约束条件破坏,优化终止。为实现对比说明,针对不考虑稳定性的拓扑优化问题,利用仅考虑体积约束下以结构柔度最小为目标的传统变密度法对上述模型进行拓扑优化。在上述考虑稳定性约束的优化问题中,优化后模型的体积收敛为初始模型体积的0.58,因此使用V对优化过程进一步研究后发现,当改变网格单元的大小后,优化过程会受到一定的影响。当减小网格单元的大小时,即使用42×84个四节点四边形平面应变单元对设计域进行网格离散时,保持其余条件不变,迭代16次后,失稳载荷因子为74.87,体积与原始体积比值为0.59,拓扑优化后得到的优化结构如图6所示,与使用40×80个单元迭代16次得到的优化结构不同。通过分析发现,在优化过程中网格单元大小的改变会导致局部结构失稳现象的出现,从而影响最终的优化结果。9优化问题的求解通过引入失稳载荷因子约束,提出了一种考虑结构稳定性的变密度拓扑优化方法。其中,通过推导单元的几何刚度矩阵,计算几何应变能,从而得到失稳载荷因子的灵敏度是求解优化问题的关键。优化算例表明,该考虑稳定性约束的变密度拓扑优化方法能显著提高结构的稳定性,需要注意的是,虽然该方法提高了结构的稳定性,但在柔度方面会有一定妥协。即在相同的约束条件下,结构的刚度优化和稳定性优化将会在一定程度上相互约