导数构造函数专题教学设计

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页导数构造1．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.【详解】当时，，且，则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，所以在上有唯一零点，因为有3个零点，所以在上有2个零点，即与的图象有2个交点，如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，

由图可知，时，与的图象有2个交点，所以实数的取值范围是.故选：C.2．已知函数的图象恒在的图象的下方，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，转化原不等式为，构造函数，利用单调性可得，分离参数求的最小值即可.【详解】由题意可得恒成立，故恒成立，即恒成立，令，则单调递增，原不等式可化为，所以，即，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，所以，即实数的取值范围是.故选：A3．已知函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函数有大于零的极值点转化为有正根，通过讨论此方程根为正根，求得实数的取值范围.【详解】因为，所以，函数在上有大于零的极值点，有正根，①当时，由，无实数根，函数在上无极值点，不合题意；②当时，由，解得，则当时，；当时，，为函数的极值点，，因为，所以，解得，实数的取值范围是.故选：D.4．已知函数若恰有两个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.【详解】恰有两个零点，即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，令，则，当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，当时，，且单调递增，在直角坐标系中画出的大致图象如图：要使有两个交点，则，故选：D5．已知函数的定义域为，函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、、三种情况说明单调性，从而可求解.【详解】函数的导函数，令，可得，得或，当时，时，单调递增；或时，单调递减；所以在处取得极大值，符合题意；当时，当时，时，单调递减；或时，单调递增；所以在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，时，单调递减；或时，单调递增；所以在处取得极大值，符合题意.实数的取值范围为.故选：D6．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，由题意转化为有两个零点，令，求得，分和，两种情况讨论求得函数的单调性，得到若有两个零点，满足，即可求解.【详解】由函数的定义域为，且因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点，令，可得，当时，在上，单调递增，不能有两个零点；当时，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且当时，，当时，，若有两个零点，则，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B.7．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解作答.【详解】函数的定义域为，求导得，依题意，不等式在上有解，而，当且仅当时取等号，则，所以实数的取值范围是.故选：B8．定义在R上的函数满足，且时，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，构造函数，利用其单调性求解.【详解】因为，令，则，所以在上递增，所以，所以，所以，故C错误；，因为定义在R上的函数满足，所以函数是奇函数，所以，即，故A正确；，即，B错误；，，D错误，故选：A9．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】求出曲线在点处的切线方程，由题意将切线与曲线只有一个公共点，转化为有且只有一正解，从而构造函数，利用导数知识求解即可.【详解】由题意得，则，故曲线在点处的切线方程为，即，而切线与曲线只有一个公共点，即有且只有一正解，即有且只有一正解，令，则，由于，故，当时，，在上单调递增，且，，即在上存在唯一零点，即有且只有一正解；当时，，在上单调递增，由于的最小值为，故当趋向于0时，可取到负值，且，故在上存在唯一零点，即有且只有一正解；当时，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，令，则在上单调递增，且，此时要使有且只有一正解，故需，综合以上可知或，故选：B【点睛】难点点睛：根据导数的几何意义求出曲线的切线方程，要保证切线与曲线只有一个公共点，关键就是转化为有且只有一正解，从而构造函数，分类讨论，结合导数解决问题.10．已知直线与函数的图象相切，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案.【详解】设切点为，，所以切线的斜率，则切线方程为，即，故，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即的最小值为.故选：B11．设，且满足，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接比较，的大小不好比较，可以作差比较和的大小，求得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想即可求解.【详解】因为，所以，，构造函数；；；在单调递增．且；当时，，当时；，当时，即，，当时，即，，综上可得，大小关系不确定，一定成立，故选：D．【点睛】本题出题意图在于通过构造函数，并判断其单调性，进而比较代数式的大小.其中恰当的构造函数是解答本题的关键.12．已知函数有两个互为相反数的极值点，且，则下列说法正确的是（

）①；②必存在最小值；③若有唯一一个整数解，则的取值范围为；④若存在两个不相等的正数，使得，则．A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【分析】求得，根据题意转化为即是方程的两个实数根，求得的值，可判定①正确；求得函数的单调区间，结合和，，可判定②正确；把不等式转化为有唯一一个整数解，结合图象列出不等式组，求得的取值范围，可判定③正确；结合，得到，得出不一定成立，可判定④错误.【详解】由函数，可得，因为函数有两个互为相反数的极值点，不妨设，所以，因为，可得，即是方程的两个实数根，则满足，解得，所以①正确；所以，且，令，解得或，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，又由，当，，所以的最小值为，所以②正确；由不等式，可得，又由，作出函数与的图象，如图所示，要使得有唯一一个整数解，则满足，即，解得，即的取值范围为，所以③正确；若存在两个不相等的正数，不妨设，如图所示，作直线与的图象，使得有两个不同的交点，由图象可得，满足，可得，可取，所以，所以④错误.故选：B.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.13．已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则将问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性可求出的最大值，问题转化为，时，，从而可求出其最小值.【详解】关于的不等式恒成立，即，令，则，，当时，，则在上递增，所以无最大值，当时，令，解得，令，解得，所以在上递增，在上递减，所以，所以，得，所以，即，所以当时，，令，所以此时取最小值为，当时，，综上，的最小值为，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数，则只要，利用导数求函数的最大值，考查数学转化思想，属于难题.14．已知函数，则对于方程．下列说法错误的是（

）A．若，则该方程无解B．若，则该方程有一个实数根C．若，则该方程有两个实数根D．若，则该方程有四个实数根【答案】C【分析】先画出的图象，令后方程可转化为一元二次方程，根据的取值情况结合的图象进行判断即可.【详解】函数的定义域为，当时，，时，，单调递减，且此时当趋近于0时，趋近于，故，时，，单调递减，时，，单调递增，则时，，而时，，故可得的图象如图所示：

令，则方程化为，对于A，时，，即方程无实根，故无实根，从而方程无实根，故A正确；对于B，时，方程即为，即，所以，则，由的图象可知，此方程只有一个实根为，故B正确；对于C，由得，此为关于的对勾函数，在时单调递增，在时单调递减，图象如图所示：

时或，由函数的图象可知，当时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时没有实根，有两个或三个实根，故C错误；对于D，时，方程有两个实根，不妨设，则有，，则此时有一个实根，有三个实根，故D正确.故选：C【点睛】思路点睛：对于复合函数的方程问题，常通过换元法转化，逐层考虑方程的根的情况进行求解.15．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意转化为，同构得到，通过构造得到原题意即存在，使得，再构造，研究最值即可求解.【详解】，即，即，构造，则在上单调递增，因为，所以，即存在，使得，记，，令，则，所以在单调递减，在单调递增，，因为，，所以，所以，所以，所以所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查函数同构问题和存在性问题.关键点在于将原式进行变形转化，转化为，构造，得到，进而得到自变量的关系，再通过构造函数研究最值即可.本题考查了转化与化归能力、数学运算能力，属于中档题.16．已知正数x，y满足，则的最小值为（

）．A．