圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型：1.中点弦问题当给定圆锥曲线上两点坐标时，可以通过设而不求法（点差法）来求解中点弦问题。具体方法是代入方程，然后利用中点关系及斜率公式消去四个参数。例如，对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与直线相交于$A$、$B$，设弦$AB$中点为$M(x,y)$，则有$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$和直线方程代入，应用中点关系及斜率公式，消去四个参数，得到$2abxy+k(a^2-b^2)=0$，其中$k$为弦$AB$的斜率。2.焦点三角形问题对于椭圆或双曲线上一点$P(x,y)$，与两个焦点$F_1$、$F_2$构成的三角形问题，可以利用正、余弦定理来求解。例如，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设$P(x,y)$为任一点，$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$为焦点，则有$\anglePF_1F_2=\alpha$，$\anglePF_2F_1=\beta$。可以证明离心率$e=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}$，同时可以求出$|PF_1|+|PF_2|$的最值。3.直线与圆锥曲线位置关系问题对于直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理。应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题。例如，对于抛物线$y^2=4px$，直线$x+y=t$与$x$轴的交点在抛物线准线的右边。可以证明直线与抛物线总有两个不同交点，并求出交点$A$、$B$的连线$AB$与$x$轴的夹角关于$p$的函数$f(t)$的表达式。4.圆锥曲线的相关最值（范围）问题对于圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，可以通过代数法和几何法解决。如果命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决；如果命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式）求最值。例如，对于抛物线$y^2=4px$，可以证明当$x>0$时，点$(x,y)$到焦点的距离最小值为$\frac{p}{2}$，最大值为$+\infty$。1.求范围问题可以通过解不等式或将变量表示为另一个变量的函数来解决；2.最值问题可以通过建立目标函数、数形结合、利用判别式或均值不等式来解决；3.对于曲线的方程问题，如果曲线的形状已知，可以用待定系数法解决；如果曲线的形状未知，可以求轨迹方程；4.对于存在两点关于直线对称问题，可以按照求两点所在直线、求直线交点、使交点在圆锥曲线形内的方法来解决；5.对于两线段垂直问题，可以使用k1·k2=-1或向量的坐标x1·x2+y1·y2=0来处理。1.求解变量范围问题可以采用解不等式或将变量表示为另一个变量的函数的方法。2.处理最值问题的思路可以包括建立目标函数、数形结合、利用判别式或均值不等式。3.对于曲线方程问题，如果曲线形状已知，可以使用待定系数法。如果未知，可以求解轨迹方程。4.处理存在两点关于直线对称问题时，可以分为求两点所在直线、求直线交点、使交点在圆锥曲线形内的三个步骤。5.解决两线段垂直问题时，可以使用k1·k2=-1或向量的坐标x1·x2+y1·y2=0的方法。在教学中，学生经常感到解析几何问题的计算量很大。但实际上，我们可以利用几何图形、韦达定理、曲线系方程和“设而不求”的策略来减少计算量。以下是一些例子：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象是几何图形及其性质。因此，在处理解析几何问题时，除了使用代数方程，还应该充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识。例如，对于直线3x+4y+m=0和圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则可以利用几何图形的性质来求解m的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解。这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例如，对于中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=10，可以使用韦达定理和“设而不求”的策略来求解椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，从而减少计算。例如，对于已知圆C1：x+y-4x+2y=0和C2：x+y-2y-4=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y-1=0上的圆的方程，可以使用曲线系方程来求解。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用它们的有界性，可以解决相关的求最值的问题。例如，对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一动点P，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，可以使用椭圆的参数方程来求解四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法①充分利用现成结果，减少运算过程。一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如ax^2+bx+c=0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则|AB|=√(1+k^2)|xA-xB|/|a|。例如，对于直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长，可以使用这个方法来求解。②结合图形的特殊位置关系，减少运算。在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例如，对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的焦点F1、F2，AB是经过F1的弦，且|AB|=8，可以使用椭圆的定义和图形的特殊位置关系来求解|F2A|+|F2B|。利用抛物线的性质，我们可以利用圆锥曲线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，从而解决这道题目。给定点A(3,2)为定点，点F是抛物线y=4x的焦点，点P在抛物线y=4x上移动，要求|PA|+|PF|的最小值，求点P的坐标。圆锥曲线是解决这类问题的重要工具。需要掌握直线方程的五种形式，以及与直线相关的重要内容，包括直线的倾斜角、斜率、点到直线的距离、夹角公式和弦长公式等。此外，还需要掌握圆锥曲线的方程及其性质，包括椭圆、双曲线和抛物线的方程形式、通径、定义以及焦半径公式等。在解决问题时，我们需要根据题目的具体要求，选择合适的工具和方法。例如，在本题中，我们可以利用抛物线的性质，将到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出点P的坐标。在此过程中，需要注意计算公式的正确性，以及对于每个变量的含义和范围的理解。综上所述，圆锥曲线是解决这类问题的重要工具，需要掌握其方程及性质，并根据题目要求选择合适的方法和工具进行求解。在解题过程中，需要注意计算公式的正确性，以及对于每个变量的含义和范围的理解。)(2x-2)=0，因为A在y轴正半轴上，所以B和C在椭圆的下半部分，即y<0，所以中点弦的斜率为k=-\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-\frac{x}{y}，由重心坐标公式可得重心G的坐标为G(0,-\frac{4}{5})，又因为G在右焦点上，所以e=\sqrt{a^2-b^2}=2，代入椭圆方程可得\frac{x^2}{4}+\frac{(y+\frac{4}{5})^2}{5}=1，联立直线方程和椭圆方程，消去一个未知数可得直线BC的方程为5x+4y+16=0。（2）因为角A为90度，所以AB⊥AC，设AB的斜率为k，则AC的斜率为-\frac{1}{k}，设D的坐标为(x,y)，则有y-kx=0，以及\frac{(x-x_1)^2}{4}+\frac{(y-y_1)^2}{5}=1，联立解得x=\frac{4k^2}{5k^2+4},y=\frac{4k^3}{5k^2+4}，代入点斜式可得直线AD的方程为y=\frac{4k^3}{5k^2+4}(x-x_1)，因为AD⊥BC，所以直线BC的斜率为-\frac{1}{k}，代入点斜式可得y+\frac{4}{5}=-\frac{1}{k}(x-x_2)，联立解得x=\frac{4k^2}{5k^2+1},y=-\frac{4}{5}-\frac{4k}{5k^2+1}，代入椭圆方程可得\frac{x^2}{4}+\frac{(y+\frac{4}{5})^2}{5}=1，整理可得k^2+4y+5=0，所以点D的轨迹方程为k^2+4y+5=0。1.给定点和直线求解问题设三角形ABC的顶点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则有：-重心G的坐标为：$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$；-垂心H的坐标为：$H(x_1+x_2+x_3-\frac{2(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)}{y_1+y_2+y_3},y_1+y_2+y_3-\frac{2(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)}{x_1+x_2+x_3})$；-外心O的坐标为：$O(\frac{(x_1^2+y_1^2)(y_2-y_3)+(x_2^2+y_2^2)(y_3-y_1)+(x_3^2+y_3^2)(y_1-y_2)}{2(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2))},\frac{(x_1^2+y_1^2)(x_3-x_2)+(x_2^2+y_2^2)(x_1-x_3)+(x_3^2+y_3^2)(x_2-x_1)}{2(y_1(x_2-x_3)+y_2(x_3-x_1)+y_3(x_1-x_2))})$；-内心I的坐标为：$I(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$，其中$a,b,c$分别为$\angleA,\angleB,\angleC$的对边长度。2.直线与曲线的交点设直线的方程为$y=kx+b$，曲线的方程为$f(x,y)=0$，则求解它们的交点可以转化为求解$f(x,kx+b)=0$的解。3.双曲线的性质设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则有：-焦点的坐标为$F_1(-\sqrt{a^2+b^2},0),F_2(\sqrt{a^2+b^2},0)$；-离心率的公式为$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$；-双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。题目：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，离心率为$e$，点$C$、$E$在双曲线上，且$CE=2a$。求双曲线的离心率$e$的取值范围。解法：设点$C$的坐标为$(c,0)$，则点$E$的坐标为$(c+2a,0)$。将点$C$的坐标代入双曲线方程得$\frac{c^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1$，即$c^2=a^2+b^2$。将点$E$的坐标代入双曲线方程得$\frac{(c+2a)^2}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1$，即$(c+2a)^2=a^2e^2+b^2$。由于$CE=2a$，因此有$(c+2a-c)^2+0^2=4a^2$，即$4a^2=a^2e^2+b^2-c^2$。将$c^2=a^2+b^2$代入得$4a^2=a^2e^2$，即$e^2=4$。因此，$e=\pm2$。又因为双曲线的离心率为正数，因此$e=2$。所以，双曲线的离心率的取值范围为$[2,2]$。，1.5)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：$\frac{|kx-2+x^2-2k|}{\sqrt{k+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}$由于$|k|<1$，所以$2+x^2>x>kx$，从而有$|kx-2+x^2-2k|=-kx+2+x^2+2k$于是问题即可转化为如上关于x的方程.由于$|k|<1$，所以$2+x^2>x>kx$将其代入前面的方程中得$\frac{-kx+2+x^2+2k}{\sqrt{k+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}$化简得$kx^2+(2k^2-2)\cdotx+2k^2+k-2=0$由于$|k|<1$，所以判别式$\Delta=8k^2-8k+8>0$，解得$k=\frac{5}{\sqrt{25+4x^2}}$例4已知椭圆C:$x^2+2y^2=8$和点P(4,1)，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使$AP/PB=AQ/QB$，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上，另一方面就是运用题目条件：P、Q四点共线，不难得到$x=\frac{4(x+x_B)-2x_Ax_B}{8-(x_A+x_B)}$$AP/PB=-AQ/QB$来转化.由A、B、Q三点共线，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理$\frac{\sqrt{8-x^2}}{2}\cdot\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{8-x^2}}{2}\cdot\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$化简得$(x-x_A)(x_B-x)+(y-y_A)(y_B-y)-\frac{1}{2}(x_B-x_A)^2=0$即为动点Q的轨迹所在曲线的方程。简化后的文章：设点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$Q(x,y)$，则由$\frac{AP}{PB}=-\frac{AQ}{QB}=\frac{4-x_1}{x_2-4}$可得：$$x-4=\frac{(x_1+x_2)k-2x_1}{x_2}$$解之得：$$x=\frac{4(x_1+x_2)-2x_1x_2}{x_2}$$设直线$AB$的方程为$y=k(x-4)+1$，代入椭圆$C$的方程，消去$y$得出关于$x$的一元二次方程：$$2x^2+4k(1-4k)x+2(1-4k)^2-8=0$$解得：$$x=\frac{4k+3}{k+2}$$与$y=k(x-4)+1$联立，消去$k$得：$$(2x+y-4)(x-4)=0$$在方程$2x^2+4k(1-4k)x+2(1-4k)^2-8=0$中，由$\Delta=-64k^2+64k+24>0$，解得：$$\frac{16-2\sqrt{210}}{99}<x<\frac{16+2\sqrt{210}}{9}$$结合$x=\frac{4k+3}{k+2}$，可得：$$\frac{10}{9}<x<\frac{16+2\sqrt{210}}{9}$$故知点$Q$的轨迹方程为$2x+y-4=0$。点评：本题难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参。而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道。的对称关系式，进而将问题转化为韦达定理可以直接应用的形式.改写1：问题的根源在于对题目整体的理解不够清晰。求取值范围的方法有两种：一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），二是构造关于所求量的一个不等式。从第一种方法入手，我们可以利用直线的斜率k将问题转化为关于k的表达式，然后通过求根公式得到所求量关于k的函数关系式，再通过判别式确定k的取值范围，最终得到所求量的取值范围。当直线l垂直于x轴时，可以直接求得所求量的值，而当l与x轴不垂直时，需要先求解一元二次方程，再代入公式计算。改写2：另一种方法是构造关于所求量的不等式，通过判别式的非负性确定k的取值范围，然后利用韦达定理将所求量与k联系起来。但在本题中，无法直接应用韦达定理，因为xAP不是关于x1和x2的对称关系式。解决方法是构造对称关系式，将问题转化为韦达定理可以直接应用的形式，再按照上述步骤计算所求量的取值范围。本文介绍了解决椭圆与直线相交问题的方法。首先，将直线的方程代入椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程。然后，应用韦达定理和对称关系式，构造所求量与k的关系式，并由判别式得出k的取值范围。最后，根据所求量的不等式，得出答案。此外，本文还介绍了解题的一些思维方法，包括树立全局观念，排兵布阵，运筹帷幄等。最后，本文以一个椭圆与直线相交的例题为例，演示了思维流程图的应用方法。给定方程$x+2y=2$，消元得到关于$m$的方程$3x^2+4mx+2m^2-2=0$。求出方程的两根之和和两根之积$MP\cdotFQ$。解题过程：首先将方程$x+2y=2$化为标准形式，得到$y=-\frac{1}{2}x+1$。根据题目中给出的条件，可以得到点$M(0,1)$和点$F(1,0)$。设直线$l$的方程为$y=x+m$，则点$P$和$Q$的坐标分别为$\left(\frac{1-m}{2},\frac{1+m}{2}\right)$和$\left(\frac{-1-m}{2},\frac{1-m}{2}\right)$。根据题目中给出的$MP\cdotFQ$的表达式，可以得到：$$MP\cdotFQ=\left(\frac{1-m}{2}\right)\left(\frac{-1-m}{2}\right)+\left(\frac{1+m}{2}\right)\left(\frac{1-m}{2}\right)=\frac{1-m^2}{2}$$根据韦达定理，可以得到：$$\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{4m}{3}\\x_1x_2=\frac{2m^2-1}{3}\end{cases}$$将$x_1=-\frac{4m}{3}-x_2$代入$x_1x_2=\frac{2m^2-1}{3}$中，整理得到：$$2x_2^2+2(3m-1)x_2+3m^2-3m=0$$由于题目中要求方程的两根之和和两根之积，因此可以使用二次方程的求根公式，解得：$$x_2=\frac{1-3m\pm\sqrt{9m^2-8m}}{2}$$因此，方程的两根之和为$-\frac{4m}{3}$，两根之积为$\frac{2m^2-1}{3}$，$MP\cdotFQ=\frac{1-m^2}{2}$。点石成金：题目中给出的条件可以转化为垂心的特点，即垂心与顶点的连线垂直对边。然后根据题目所求，将表达式转化为两向量乘积为零的形式，使用韦达定理和二次方程的求根公式即可求解。给定椭圆$E$的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过$A(-2,0)$、$B(2,0)$、$C\left(\frac{3}{2},\frac{4}{3}\right)$三点。求椭圆$E$的方程，并且在点$D$为椭圆$E$上不同于$A$、$B$的任意一点，$F(-1,0)$，$H(1,0)$的情况下，当$\triangleDFH$内切圆的面积最大时，求$\triangleDFH$内心的坐标。思维流程：根据题目中给出的条件，可以求出椭圆$E$的方程。然后将$\triangleDFH$内切圆的面积最大转化为$\triangleDFH$面积最大，进而转化为点$D$的纵坐标的绝对值最大，最大点为椭圆短轴端点的问题。最后，使用向量和面积的关系求解$\triangleDFH$内心的坐标。解题过程：（Ⅰ）设椭圆$E$的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则焦点的坐标为$(\pmc,0)$。由题目中给出的条件，可以列出以下方程组：$$\begin{cases}a^2-c^2=4\\b^2=\frac{16}{9}\\a^2+c^2=\frac{25}{4}\end{cases}$$解得$a=2$，$b=\frac{4}{3}$，$c=\sqrt{3}$。因此，椭圆$E$的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1$，即$9x^2+4y^2=36$。（Ⅱ）由题目中给出的条件，可以得到点$F(-1,0)$和点$H(1,0)$。设点$D$的坐标为$(x,y)$，则根据椭圆的性质，有：$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1$$因此，$y^2=\frac{16}{9}(1-\frac{x^2}{4})$。由于点$D$不同于$A$、$B$，因此$x\neq\pm2$。又因为点$D$在椭圆上，因此可以得到：$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{16}{9}}=1$$$$\frac{x^2}{4}+\frac{16}{9}(1-\frac{x^2}{4})=1$$解得$x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$y=\pm\frac{4}{3}$。因此，点$D$的坐标为$\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4}{3}\right)$或$\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{4}{3}\right)$。根据题目中给出的条件，可以得到$\triangleDFH$的三边长度分别为$2$，$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$。因此，$\triangleDFH$的半周长为$s=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，面积为：$$S=\sqrt{s(s-2)(s-\sqrt{3}-1)(s-\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{2}$$$\triangleDFH$内切圆的半径为：$$r=\frac{S}{s}=\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$$由于$\triangleDFH$的三边长度已知，因此可以使用向量和面积的关系求解$\triangleDFH$内心的坐标。设$\vec{AD}=(x_D,y_D)$，$\vec{DH}=(2,y_D)$，$\vec{DF}=(x_D+1,y_D)$，则有：$$\vec{AD}\cdot\vec{DH}=\vec{DH}\cdot\vec{DF}=\vec{DF}\cdot\vec{AD}=\frac{1}{2}S$$解得$x_D=\frac{1}{3}$，$y_D=1$。因此，$\triangleDFH$内心的坐标为$(\frac{1}{3},1)$。当点D在椭圆的上顶点时，可以得到高h的最大值为3。因此，三角形DFH的面积S的最大值为9。设三角形DFH的内切圆的半径为R，则根据三角形的周长为6可得到：$S_{\DeltaDFH}=\frac{1}{2}R\times6$。因此，$R$的最大值为3，内切圆圆心的坐标为$(0,3)$。根据内切圆的公式，可以得到$\frac{S_{\Delta}}{r}=\frac{p}{2}$，其中$p$为三角形的周长，$r$为三角形内切圆的半径。已知定点$C(-1,y_0)$及椭圆$x^2+3y^2=5$，过点$C$的动直线与椭圆相交于$A$、$B$两点。（Ⅰ）若线段$AB$中点的横坐标是$-\frac{1}{2}$，求直线$AB$的方程。根据题意，直线$AB$的斜率存在，设直线$AB$的方程为$y=k(x+1)$，将其代入椭圆方程中消去$y$可得：$(k^2+3)x^2+6k^2x+k^2-5=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有：$\begin{cases}6k^2=x_1+x_2+2\\x_1x_2=3k^2-1\end{cases}$。根据线段$AB$中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$可得：$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$，代入上式解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此，直线$AB$的方程为$x-3y+1=0$或$x+3y+1=0$。（Ⅱ）在$x$轴上是否存在点$M$，使$MA\cdotMB$为常数？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。假设在$x$轴上存在点$M(m,0)$，使$MA\cdotMB$为常数。①当直线$AB$与$x$轴不垂直时，根据直线$AB$的方程可得：$x_1+x_2=-3k-1$，$x_1x_2=\frac{3k^2-1}{2}$。代入$MA\cdotMB$的公式中，整理得：$MA\cdotMB=\frac{1}{3k^2+1}(3k^2m^2+2(3k^2-5)m+k^2-5)$。因为$MA\cdotMB$是与$k$无关的常数，所以$3k^2m^2+2(3k^2-5)m+k^2-5$是一个关于$m$的二次函数，其判别式$\Delta=4(3k^2+1)(3k^2-5)$必须为非负数。解得$-\frac{1}{\sqrt{2}}\leqk\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$。②当直线$AB$与$x$轴垂直时，$AB$的斜率不存在，即$k$不存在。此时，$AB$为$x=-1$，$MA\cdotMB$为$(m+1)^2-1$，与$k$无关。因此，$MA\cdotMB$为常数的点$M$在$x=-1$处，不存在其他点。综上所述，$MA\cdotMB$为常数的点$M$有两个，分别为$\left(-\frac{1}{2},0\right)$和$(-1,0)$。当直线AB与x轴垂直时，点A、B的坐标分别为$(\frac{7}{4},2)$和$(\frac{2}{3},-1)$。此时，$MA\cdotMB=-1$，使$MA\cdotMB$为常数的$m$为$-\frac{393}{114}$。在x轴上存在定点$M(-\frac{7}{3},\frac{2}{3})$。例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点$M(2,1)$，平行于OM的直线$l$在y轴上的截距为$m$（$m\neq0$），$l$交椭圆于$A$、$B$两个不同点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求$m$的取值范围；（Ⅲ）求证直线$MA$、$MB$与x轴始终围成一个等腰三角形。思路：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则由题意可得$a=2b$，且椭圆经过点$M(2,1)$，代入方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得$a=8$，$b=4$，即椭圆方程为$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$。（2）由题意可知$l$的方程为$y=x+m$，代入椭圆方程得$16x^2+64(m+1)x+64m^2-256=0$，由于$l$与椭圆交于两个不同点，因此$\Delta>0$，解得$-2<m<2$，且$m\neq0$。（3）设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$MA\cdotMB=|x_1x_2+y_1y_2|=|(x_1+x_2)^2-4x_1x_2+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2|$。由于$l$与椭圆交于两个不同点，因此$A$、$B$关于y轴对称，即$x_1+x_2=-\frac{64(m+1)}{16}=4(m+1)$，$x_1x_2=\frac{64m^2-256}{16}=4(m^2-4)$。代入得$MA\cdotMB=2m^2+2m-16$。设$k_1$、$k_2$分别为$MA$、$MB$的斜率，则$k_1=-\frac{y_1}{x_1}$，$k_2=-\frac{y_2}{x_2}$，由于$A$、$B$关于y轴对称，因此$k_1+k_2=0$。证毕。2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222剔除下面文章的格式