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河南省开封市沙沃丁砦中学高一数学文上学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.数列{an}中,若,,则(
)A.29 B.2563 C.2569 D.2557参考答案:D【分析】利用递推关系,构造等比数列,进而求得的表达式,即可求出,也就可以得到的值。【详解】数列中,若,,可得,所以是等比数列,公比为2,首项为5,所以,.【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法。利用递推关系,选择合适的求解方法是解决问题的关键,常见的数列的通项公式的求法有:公式法,累加法,累乘法,构造法,取倒数法等。2.已知函数,,则的最小值是(
)A.
1
B.
C.
D.参考答案:B3.已知三角形的三边满足条件,则∠A=(
)A.30°
B.45°
C.60°
D.120°参考答案:C∵,化简得.
由余弦定理,得∵A是三角形的内角,∴.故选C.
4.设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则图中阴影部分表示的集合为(
)A.{1,2,5,6} B.{1} C.{2} D.{1,2,3,4}参考答案:B【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】数形结合;综合法;集合.【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断.【解答】解:由Venn图可知,阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成,所以用集合表示为A∩(?UB).∵U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},∴?UB={1,5,6},则A∩(?UB)={1}故选:B【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算,比较基础.5.如果向量满足,且,则的夹角大小为() A.30° B.45° C.75° D.135°参考答案:B【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【专题】计算题. 【分析】求两向量的夹角需要求出两向量的内积与两向量的模的乘积,由题意两向量的模已知,故由两向量的垂直这个条件求出两个向量的内积即可. 【解答】解:由题意故,即 故两向量夹角的余弦值为= 故两向量夹角的取值范围是45° 故选B 【点评】本题考点是数量积表示两个向量的夹角,考查利用向量内积公式的变形形式求向量夹角的余弦,并进而求出两向量的夹角.属于基础公式应用题. 6.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取两个球,则互斥而不对立的事件是(
)A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”参考答案:D7.已知正△ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为() A. B. C. D.参考答案:D【考点】平面图形的直观图. 【专题】计算题. 【分析】由正△ABC的边长为a,知正△ABC的高为,画到平面直观图△A′B′C′后,“高”变成原来的一半,且与底面夹角45度,故△A′B′C′的高为=,由此能求出△A′B′C′的面积. 【解答】解:∵正△ABC的边长为a,∴正△ABC的高为, 画到平面直观图△A′B′C′后,“高”变成原来的一半,且与底面夹角45度, ∴△A′B′C′的高为=, ∴△A′B′C′的面积S==. 故选D. 【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 8.sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于()A. B. C. D.参考答案:A【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】利用诱导公式与两角差的正弦即可求得答案.【解答】解:∵36°+54°=90°,6°+84°=90°,∴sin36°cos6°﹣sin54°cos84°=sin36°cos6°﹣cos36°sin6°=sin(36°﹣6°)=sin30°=,故选A.9.下列各组函数中,表示同一函数的是
A.
B.
C.
D.参考答案:C10.如果扇形圆心角的弧度数为2,圆心角所对的弦长也为2,那么这个扇形的面积是()A. B. C. D.参考答案:A【考点】扇形面积公式.【专题】计算题;三角函数的求值.【分析】解直角三角形AOC,求出半径AO,代入弧长公式求出弧长的值,再求扇形的面积即可.【解答】解:如图:∠AOB=2,过点0作OC⊥AB,C为垂足,并延长OC交于D,∠AOD=∠BOD=1,AC=AB=1,Rt△AOC中,AO=,从而弧长为α?r=,面积为××=故选A.【点评】本题考查扇形的面积、弧长公式的应用,解直角三角形求出扇形的半径AO的值,是解决问题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在区间[a,+∞)是增函数,则实数a的取值范围是__________.参考答案:[-1,+∞)由绝对值函数的图像可得,区间左端点应该在-1的右边.
12.已知,则________.参考答案:【分析】根据同角三角函数基本关系式,联立求解出,由二倍角公式即可算出。【详解】因为,又,解得,故。【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用。13.数列,若为递增数列,则的取值范围是______.参考答案:14.总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为.
7816
6572
0802
6314
0214
4319
9714
0198
3204
9234
4936
8200
3623
4869
6938
7181参考答案:01【考点】系统抽样方法.【分析】根据随机数表,依次进行选择即可得到结论.【解答】解:从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,19,14,01,04,00.其中第三个和第五个都是14,重复.可知对应的数值为08,02,14,19,01,则第5个个体的编号为01.故答案为:01.15.设为不等式组,所表示的平面区域,为不等式组所表示的平面区域,其中,在内随机取一点,记点在内的概率为.(ⅰ)若,则__________.(ⅱ)的最大值是__________.参考答案:见解析①不等式组平面区域为,,不等式组,表示的面积为.时,.②时,,且最大,最大.16.设Sn为等比数列{an}的前n项和,若,则
。参考答案:517.如图,在棱长为的正方体中,分别是的中点,则异面直线与所成角等于
参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.证明:(Ⅰ)(Ⅱ).参考答案:【考点】三角函数恒等式的证明.【分析】(Ⅰ)由条件利用两角和差的正弦函数公式化简等式的右边,从而证得等式成立.(Ⅱ)由两角和与差的正弦函数,余弦函数公式,同角三角函数基本关系式化简等式右边,即可得证.【解答】(本题满分为8分)证明:(Ⅰ)∵右边=[sinαcosβ+cosαsinβ+(sinαcosβ﹣cosαsinβ)]=×2sinαcosβ=sinαcosβ=左边,∴成立.(Ⅱ)右边=2(sincos+cossin)(coscos+sinsin)=2sincos2cos+2sin2sincos+2cos2sincos+2cossin2sin=sinαcos2+sin2sinβ+cos2sinβ+sin2sinα=sinα(cos2+sin2)+(sin2+cos2)sinβ=sinα+sinβ得证.(每小题4分)19.四边形ABCD中,E,F分别为BD,DC的中点,AE=DC=3,BC=2,BD=4.(1)试求,表示;(2)求2+2的值;(3)求的最大值.参考答案:【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.【分析】(1)由已知结合共线向量基本定理得答案;(2)由已知结合向量加法、减法的运算法则求解;(3)由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案.【解答】解:(1)∵E,F分别为BD,DC的中点,∴,则;(2)=;(3)=,∵=10﹣6cos∠AEF.∴当∠AEF=π时,取得最大值16.∴的最大值为.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量加法与减法的三角形法则,是中档题.20.(本小题满分15分)为了让学生更多的了解“数学史”知识,某中学高一年级举办了一次“追寻先哲的足迹,倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有800名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据频率分布表,解答下列问题:序号()分组(分数)组中值频数(人数)频率165①0.1627522②385140.28495③④合
计501
(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号
的答案);(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识,成绩不低于80分的同学能获奖,那么可以估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖?(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图,求输出的值.
参考答案:解:(1)①为8,②为0.44,③为6,④为0.12;
……………4分(2),即在参加的800名学生中大概有320名同学获奖;
……………9分(3)由流程图
.……………15分略21.求函数的单调区间:参考答案:解:设y=log4u,u=x2-4x+3.
由
u>0,
u=x2-4x+3,解得原复合函数的定义域为x<1或x>3
u=x2-4x+3的对称轴为x=2,所以函数在上为减函数,在上为增函数。
又y=log4u在定义域内为增函数所以函数的单调减区间为
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