高中物理奥赛《力学》资料汇编

高中物理竞赛《力学》

1.1常见的力

1.2力的合成与分解

1.5一般物体的平衡

2.1质点运动学的基本概念

2.2运动的合成与分解相对运动

2.3抛体运动

2.4质点的圆周运动

2.5几种速度的特殊求法

3.1牛顿定律

3.2牛顿定律在曲线运动中的应用

3.4应用牛顿运动定律解题的方法和步骤

3.5力和运动的关系

3.6万有引力天体的运动

4.10天体的运动与能量

4.1动量与冲量动量定理

4.4功和功率

4.7功能原理和机械能守恒定律

4.8碰撞

5.1简谐振动

5.3振动能量与共振

5.4振动的合成

5.5机械波

高中物理竞赛《力学》

第一讲力、物体的平衡

§1.1常见的力

1.L1、力的概念和量度

惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于

惯性参照系的速度不变,也就是说,如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变,

必是由于受到其他物体对它的作用，在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个

力的时候，应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。

一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要

变化，或者说，它获得相对于惯性参照系的加速度，很自然以它作用于一定的物

体所引起的加速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来

测量。

重力由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，

可近似认为重力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面

的高度而变化）

弹力物体发生弹性变形后，其内部原子相对

位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。反映固体

F

a=­

材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）s

_A/

与胁变（应变）'之间的正比例关系，如图所示

a-Es

式中E为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。

弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内,

高中物理竞赛《力学》

弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。

F=-kx

式中x表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k为劲度系数，由

链条等，其张力

7［方位：沿柔索

（指向：拉物体

一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质

量，同一根绳内的张力处处相等。

2、光滑面（图1-1-3）接触处的切

平面方位不受力，其法向支承力

J方位:沿法线

N4

指向：压物体

3、光滑较链

物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事

先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标

分量形式设定。

高中物理竞赛《力学》

(1)圆柱形较链(图

1-1-4,图1-1-5,图1-1-6)

由两个圆孔和一个圆柱

销组成。在孔的轴线方向

图1-1-4

不承受作用力，其分力图1-1-5图1-1-6

x［方位：沿x轴

［指向：待定

［方位:沿y轴

［指向:待定

图中AC杆受力如图，支座B处为可动较，水平方向不受约束，反力如图。

(2)球形封链(图1-1-7,a1-1-8)由一

个球碗和一个球头组成，其反力可分解为

X

方位：沿坐标轴

Y

,指向：待定图1-1-7图1-1-8

Z

4

X］方位：沿坐标轴

“指向：待定

〃「方位：平面力系作用面

MJ

A转向：待定

摩擦力物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用

高中物理竞赛《力学》

力称为摩擦力。

不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接

触面上也有摩擦，我们主要讨论固体与固体间的摩擦。

1.1.2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦

当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的

接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与

接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力

学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为

/max=

式中〃。称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为

两物体间的正压力。

当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑

动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，其大小与两物体间的正压力成正比。

f="N

〃为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的

相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，〃。与〃可不加区别，两物体维持

相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足

YK人=pN

在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数〃。略大于动摩

擦因数

摩擦角令静摩擦因数〃。等于某一角。的正切值，即〃。=火夕，这个。角

就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）Je/N=M=tg（P。支承

高中物理竞赛《力学》

面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力的合力F（简称全反力）

与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）。在

一般情况下，静摩擦力/。未达到最大值，即

因此接触面反作

用于物体的全反力尸

的作用线与面法线的

a=arctg—

夹角N,不

会大于摩擦角，即。（夕。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是

否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的物体A,用力F去推它，设摩擦

角为@，推力F与法线夹角为a,当。＜。时，无论F多大，也不可能推动物块

A,只有。时，才可能推动A。

摩擦力作用的时间因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势

时，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在

水平方向上运动的木块碰撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为加，但可能小

球不需要加时间，在水平方向上便已具有了与木块相同的速度，则在剩下的时

间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦力。

如图1-1-14,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为〃，用一个与水平方

向成多大角度的力F拉着木块匀速直线运动最省力？

将摩擦力/和地面对木块的弹力N合成qAF.

F

一个力尸，摩擦角为;\lx尸，Z

G

图1-1-14

高中物理竞赛《力学》

(p=ts——=tsU

N这样木块受三个力：重力G,桌面对木块的作用力尸和

拉力F,如图1-1-14,作出力的三角形，很容易看出当F垂直于尸时尸最小，即

有F与水平方向成夕=tg”时最小。

例1、如图1TT5所示皮带速度为％,物A在皮带上以速度匕垂直朝皮

带边运动，试求物A所受摩擦力的方向。

解：物A相对地运动速度为匕，匕=%+匕，滑

动摩擦力f与匕方向相反如图所示。

例2、物体所受全反力R与法向的夹角a＞外的

情形可能出现吗？

解：不可能。因为若有"%则即No这是不可

能的。然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时，可事先假定它静止，由平衡求

a=fgT(Z)

出N,有如下三种情形:

＜玲静止

o=0"临界状态

＞滑动

图1TT6

高中物理竞赛《力学》

§1.2力的合成与分解

1.2.1、力的合成遵循平行四边形法则

即力片和尸2的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F,如图

1-2T(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将《，尸2通过平移使其首尾相接,

则由起点指向末端的力F上........一■F——

即片，尸2的合力。(如图

1-2-1(b))

图1-2T

如果有多个共点力求

合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图12-2所示，a图为

有四个力共点O,b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点0连接力F&力矢末

端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合

的，即片力矢的起步与用力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。

力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一

个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：

①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。

②已知合力

力。这也有确定

的确答。

③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第

二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解利无解。

高中物理竞赛《力学》

1.2.2、平面共点力系合成的解析法

如图1-2-3,将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde,并在该平面取

直角坐标系Oxy,作出各力在两坐标轴上的投影，从图上可见:

F+F+F

R、=lx2X+EX4X

Ry=Ky+F"+K*+Ex

上式说明，合

力在任意一轴上

的投影，等于各分

力在同一轴上投

影的代数和，这也

称为合力投影定

理。知道了合力R的两个投影段和号，就不难求出合力的大小与方向了。合

力R的大小为：

R=m+&

合力的方向可用合力R与x轴所夹的角的正切值来确定:

1.2.3、平行力的合成与分解

作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力

系。如图「2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。

两个同向平行力的合

力（R）的大小等于两分力

大小之和，合力作用线与

(b)

图1-2-4

高中物理竞赛《力学》

分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，

合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图l-2-4(a),有：

R=Fl+F2

<AO_F2

访二区

两个反向平行力的合力(R)的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与

合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线

的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，

如图1-2-4(b),有：

R=F「F?

OA_F\_

1.2.4、空间中力的投影与分解

力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该

轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的齐力在ox、

oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为

X=Fcosa

Y=Fcos0>

Z=Feos/

这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时

X=Frv,cos(FD.,x)

式中"D为户在oxy平面上的投影矢量,

而

艮人同sin(艮Z)

高中物理竞赛《力学》

力沿直角坐标轴的分解式

F=Xi+Yj+Zk=Fxi+Fj+F:k

§L3共点力作用下物体的平衡

1.3.1、共点力作用下物体的平衡条件

儿个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这儿

个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物

体不能视为质点时.，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。

物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和

匀速转动这三种平衡状态。

共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。

或其分量式：

2外=02综=。2七=°

/ii

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处

于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相共，%

接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力F,

必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力图上3-1

作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且

在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此

三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3T所示，且满足下式（拉密定理）:

sinasin(3sin/

1.3.2、推论

高中物理竞赛《力学》

物体在n(n23)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-l个力为共点力，

即它们的作用线交于0点，则最后一个外力的作用线也必过0点，整个外力组必

为共点力。这是因为n-l个外力构成的力组为共点(0点)力，这n-l个的合力

必过0点，最后一个外力与这nT个外力的合力平衡，其作用线必过。点。

特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力

的作用线必相交于一点且一定共面。

§1.4固定转动轴物体的平衡

1.4.1、力矩

力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的。

。、、、/

方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能d、'、Z

//

使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的

图1-4-1

大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂

(d)o

力与力臂的乘积称为力矩，记为M,则M=Fd,如图1-4-1,0为垂直于纸面

的固定轴，力F在纸面内。

力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该

轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分

量F_L和平行于轴的分量F//,F〃对转动不起作用，这时力F的力矩为M=Fld„

通常规定绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所

受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。

1.4.2、力偶和力偶矩

一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。：、、

一出

个％

图1-4-2

高中物理竞赛《力学》

如图1-4-2中片，尸2即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对

于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到

Fi=&=F,不难得到，M=Fd,式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴

无关。

1.4.3、有固定转动轴物体的平衡

有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为

零。

高中物理竞赛《力学》

§1.5一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体

的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处

于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零（工厂外=①

和合力矩为零二°）同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为

Z工=oJX=o

Z4=oJX=o

分别为对X轴、y轴、Z轴的力矩。

由空间-一般力系的平衡方程，去掉由力系的儿何性质能自动满足的平衡方

程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。

如平面力系（设在g平面内），则Z"=心心=°，IX=°自动满足,

则独立的平衡方程为：

%=0

K=0

ZMz=°这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的

力的力臂为零。

平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的

独立平衡方程均为三个。

§1.6平衡的稳定性

1.6.1、重心

物体的重心即重力的作用点。在重力加速度后为常矢量的区域，物体的重心

高中物理竞赛《力学》

是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力

的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心

重合。

求重心，也就是求一组平行力的合力

作用点。相距L,质量分别为犯的两

个质点构成的质点组，其重心在两质点的

连线上，且网，加2与相距分别为：

（叫+m2）L1—m2L=0

（叫+m2）L2-mlL=0

mLmJ

2=

mx+m2mx+m2

均匀规则形状的物体，其重心在它的儿何中心，求-一般物体的重心，常用的

方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方

法找出其重心。

物体重心（或质心）位置的求法

我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图卜6-1由重

量分别为G”G2的两均匀圆球和重量为G3的均匀杆连成的系统，设立如图坐标

系，原点取在A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为X”X2，》3,系统重心

在P点，我们现在求其坐标X。设想在P处给一支持力R,令穴=5+62+63达

到平衡时有：

=G]x}+G2X2+G3X3-Rx=0

_G]元]+G2X2+G3X3_G]X|+G2X2+G3元3

RGj+G)+G3

高中物理竞赛《力学》

这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们

不难证明其重心位置为:

EGiXj

X=£Gi

yZGi

YGiz

Gi

一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置

公式:

内Pf=I

X=

图1-6-2

y

Xmi

£/z,.

Z

E叫

如图1-6-2,有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至

右其密度分别为P、LIP、L2P、1.3P、1.4P,设每根棒长均为，，求其质

心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方?

解：设整个棒重心离最左端距离为X,则由求质心公式有

〉2"%七m\x\+mxH-------l-/7zx

x=2255

mx+m2H-------Fm5

/3579

^.2+1.1^-2/+1.2^-2/+1.3^-2/+1.4^-2/

w+l.lpv+1.2pv+1.3pv4-1.4p&

2.67/

若为n段，按上式递推得:

高中物理竞赛《力学》

n—\

,1+1.1x3+1.2x5+1.3x7+•­•+(1+——)(2/1-1)

X」10

2/?—1

/1+1.1+1.2+1.3+…+(1+—)

10

将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：

n—1

1.1+1.2x2+1.3x3+…+(1+—)(〃一1)

X________________________10I

H—I

1+1.1+1.2+…+(1+——)

10

1r\1

(1+—)+(1+—)x2+---+(l+—)(n-1)

101010

71—1

1+1.1+1.2+---+(1+)

10

[1+2+---+(H-1)]+—[l2+22+---+(H-1)2]

=---------------------------：--------1

n—\

l+l.l+L2+・・・+(l+——)

10

_(n-1)(2H+3q)[

3(〃+q)

24的小球，均质杆重量为

35「

—G

64,长度，=4R,试求系统的重心位置。

解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31

所示平行力系；其中

G.=S,G'G

864o设重心位置为0,则合力

G2793

kv=G+G-----------G=—G

86464

月Z(G)=。即

G0R-OC)+—G(OC+3/?+-)=—(3/?---0C+—GOC+G(3R+OC)

6448264

0C=0.53R

高中物理竞赛《力学》

1.6.2、物体平衡的种类

物体的平衡分为三类：

稳定平衡处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，

如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定

平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。

不稳定平衡处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,

如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处

于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。

随遇平衡处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物

体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物

体，偏离平衡位置后，重心高度不变。

在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不

同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底

部的质点，受到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方

向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平

衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。

1.6.3、稳度

物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量

越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低,

支面越大，稳度越大。

§1.7流体静力学

流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流

高中物理竞赛《力学》

体具有不可压缩的特征。

1.7.1、静止流体中的压强

(1)静止流体内部压强的特点

在静止流体内任何一点处都有压强，这一压

强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静

止流体内部同一深度上各点的压强相等。

关于流体内部的压强与方向无关，可以证明

如下：

在静止流体中的某点处任取一个长为△/的极小的直角三棱液柱，令其两侧

面分别在竖直面内利水平面内，作其截面如图厂7-1所示，图中坐标轴x沿水平

方向，坐标轴y沿竖直方向，以△〃分别表示此液柱截面三角形的三条边

长，且以a表示此截面三角形的一个锐角如图1-7T,又以尸「，4广，分别表示对

应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分别为：

然=於"

第=PQX

M,=给〃。

由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力，故可忽略其重力

的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：

"=△于"cosa

%Sina

.AyA/=PA/?A/cos6f

V

un=Pn\n\lsina

注意到X=Artsina,Ay=cosa,代入上式便得

高中物理竞赛《力学》

PH

说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。

(2)静止流体内部压强的大小

若静止流体表面处的压强为Po(通常即为与该流体表面相接触的气体的压

强)，流体的密度为夕，则此流体表面下深度为h处的压强为

P=Po+Pgh

由上式可见，在静止流体内部高度差为△〃的两点间的压强差为

bp=pgAh

1.7.2、浮力与浮心

浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力

等于它所排开流体的重量，浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律，可表示

产=「液8%

浮力的作用点称为浮心，浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那

部分流体的重心，它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时，它才与浸

没在液体中的物体部分的重心重合。

1.7.3、浮体平衡的稳定性

浮在液体表面的浮体，所受浮力与重力大小F|%

相等、方向相反，处于平衡状态。浮体平衡的稳—/oQ----/QIy—

定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮V<G

体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的；对水平

图1-7-2

方向的扰动，其平衡是随遇的。

高中物理竞赛《力学》

浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而

定。以浮力水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心。的水平对称轴

转动一小角度）时，其浮心（浮力作用点）Q将向右偏离，浮力F与重力G构成

一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图1-7-26）所示，可见船

体对这种扰动，其平衡是稳定的。但如果船体重心0太高，船体倾斜所造成的力

偶矩也可能促使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳的，如图17-2（b）所

示。

高中物理竞赛《力学》

第二讲运动学

§2.1质点运动学的基本概念

2.1.1、参照物和参照系

要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参

照，这个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建

立坐标，构成坐标系。

通常选用直角坐标系。-引忆，有时也采用极坐标系。平面直角坐标系一般有

三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是

两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。

2.1.2、位矢位移和路程

在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x,y,z表示，当质点运动时，

它的坐标是时间的函数

x=X(t)y=Y(t)z=Z(t)

这就是质点的运动方程。

质点的位置也可用从坐标原点。指向质点

P（x、y、z）的有向线段广来表示。如图2-1-1

所示，r也是描述质点在空间中位置的物理量。

；的长度为质点到原点之间的距离，7的方向由

余弦cos。、cos，、cosy决定,它们之间满足图2-1-1

cos2a+cos20+cos2y-1

当质点运动时，其位矢的大小和方向也随时间

而变，可表示为；=；（0。在直角坐标系中,设分别

图2-1-2

高中物理竞赛《力学》

为：、j、%沿方向X、y、Z和单位矢量，则7可表示为

r(t)=x(f)i+y(t)j+z(r)k

位矢7与坐标原点的选择有关。

研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，

如果质点从空间一点々(为，弘，号)运动到另一点尸2(》2，为a2),相应的位矢由入

变到72,其改变量为△)

Ar=r2-r,=(x2-x,)i+(y2-y1)j+(z2-zj%

称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置

的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原

点的选择无关。

2.1.3、速度

平均速度质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间

内的平均速度

_s

V-一

平均速度是矢量，其方向为与△尸的方向相同。平均速度的大小，与所取的

时间间隔△，有关，因此须指明是哪一段时间(或哪一段位移)的平均速度。

瞬时速度当&为无限小量，即趋于零时，△尸成为/时刻的瞬时速度，简

称速度

v=limv=lim—

Ar->0A/->0A.

瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。

瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。

2.L4、加速度

高中物理竞赛《力学》

平均加速度质点在4时间内，速度变化量为则△"与4的比值为

这段时间内的平均加速度

-Av

a=——

△t

平均加速度是矢量，其方向为的方向。

瞬时加速度当△/为无限小量，即趋于零时，国与4的比值称为此时刻

的瞬时加速度，简称加速度

Av

a=lim——

△T。AZ

加速度是矢量，其方向就是当&趋于零时，速度增量的极限方向。

2.1.5、匀变速直线运动

加速度之不随时间f变化的直线运动称为匀变速直线运动。若2与"同方向，

则为匀加速直线运动；若）与"反方向，则为匀减速直线运动。

匀变速直线运动的规律为：

一一厂=2公s=w=5（%+v”

匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。其位移一时间图像（s〜/图）和

速度一时间图像（v〜t图）分别如图2-1-3和图2-1-4所示。

从（S〜。图像可S，

Uk

得出：

（1）任意一段时间

内的位移。

（2）平均速度，在C)t|t2.t0-----------------------*

图2-1-3图2-1-4

02-G）的时间内的

高中物理竞赛《力学》

平均速度的大小，是通过图线上点1、点2的割线的斜率。

(3)瞬时速度，图线上某点的切线的斜率值，等于该时刻的速度值。从s〜/

图像可得出：

从(v〜f)图像可得出：

(1)任意时刻的速度。

(2)任意一段时间内的位移，，一时间内的位移等于V〜f图线，，1、，2时刻

与横轴所围的“面积”。这一结论对非匀变速直线运动同样成立。

(3)加速度，v〜t图线的斜率等于加速度的值。若为非匀变速直线运动，则u〜，

图线任一点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。

高中物理竞赛《力学》

§2.2运动的合成与分解相对运动

2.2.1、运动的合成与分解

(1)矢量的合成与分解

矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两分量构成平行四边形

的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又

衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。

同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线

上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直

的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。

(2)运动的合成和分解

运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括

位移、速度、加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主耍有：①运动

的合成与分解总是与力的作用相对应的；②各个分运动有互不相干的性质，即各

个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的独立作用原理是对应

的；③位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等

时性，即各个运动要取相同时间内的位移;④瞬时速度等物理量是指某一时刻的，

故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。

两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。如：①两

匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动；②两初速为零(同一时刻)的匀加速直

线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动；③在同一直线上的一个匀速运动

和一个初速为零的匀变速运动的合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，

如：竖上抛与竖下抛运动；④不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的

高中物理竞赛《力学》

匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。

2.2.2、相对运动

任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同

一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。

通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照

系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加

速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运

动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静

止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加

速度。

绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵

连速度的矢量和。

‘绝对="相对+'牵旌

这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。

当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：

万绝对=N相对+万牵连

当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。

如果有一辆平板火车正在行驶，速度为限地（脚标“火地”表示火车相对地

面，下同）。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的

速度为“汽火，那么很明显，汽车相对地面的速度为：

‘汽地="汽火+炉火地

（注意：‘汽火和"火地不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车

高中物理竞赛《力学》

为/狗汽的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是

“狗地="狗汽+"汽火+，火地

从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：

①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一

个分速度的后脚标相同。

②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。

③所有分速度都用矢量合成法相加。

④速度的前后脚标对调，改变符号。

以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。

相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举

两个例子。

例如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以

办=10a/s、以=20〃?/s的初速度抛出A、B两个质点，\B=20m/s

vA=10m/s

问Is后A、B相距多远？这道题可以取一个初速度为

零，当A、B抛出时开始以加速度g向下运动的参考系。图2-2-1

在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们

之间的距离

=7（v/）2+（VBZ）2=10止血=22.4m

在空间某一点0,向三维空间的各个方向以相同的速度％射出很多个小球，球ts

之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts之内所有小球

都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向

射出的小球的情况。但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落

的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是V。'，那么

离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2。

高中物理竞赛《力学》

高中物理竞赛《力学》

§2.3抛体运动

2.3.1、曲线运动的基本知

识

轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它

一定是一个变速运动。图2-3-1表示一

质点作曲线运动，它经过P点时，在P

点两旁的轨迹上取为、仇两点，过

%、P、仇三点可作一圆，当这两点无A

/VB

限趋近于P点时，则圆亦趋近于一个'

图2-3-2

定圆，我们把这个圆叫P点的曲率圆，

曲率圆的半径叫P点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P点的曲率中心，曲率半径

的倒数叫P点的曲率。如图2-3-1,亦可做出Q点的曲率圆。曲率半径大，曲率

小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为

是曲率半径为无穷大的曲线。

质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图2-3-2所示,

A

质点在at时间内沿曲线由A点运动到B点，速度由V变化到VB，则其速度增

A

量AV为两者之矢量差，AV=VB-V,这个速度增量又可分解成两个分量：在

A

VB上取一段AC等于V',则4V分解成AVi和aVz,其中△口表示质点由A

运动到B的速度方向上的增量，/V2表示速度大小上的增量。

法向加速度a”表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A

点的曲率圆的向心加速度：

3而坐

高中物理竞赛《力学》

其方向指向A点的曲率中心。切向加速度%表示质点作曲线运动时速度大

小改变的快慢，方向亦沿切线方向，其大小为

…m些上

34RA

总加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。

2.3.2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例

物体以一•定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附

近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下

的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。

根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的

处理方法是:将抛体运动分解为水平方向的匀速直

线运动和竖直方向的匀变速直线运动。

如图2-3-3o取抛物轨迹所在平面为平面，抛出

点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。

则抛体运动的规律为:

a=0

Vx

ay=­g

=v0cos6

=Vosin。

x=v0cos0t

y=%sin4一；gf2

其轨迹方程为

y=xtgO--7---------X

2v；cos-0

高中物理竞赛《力学》

这是开口向下的抛物线方程。

在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T,射程R和射高H

分别为

2

_2vsin。VQsin20_v）sin0

1----0----lx.-一（

gg2g

抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面

上）相等（一般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一•高度的时间

相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹

角大小相等。

下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动：

质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以

看成水平方向上的匀速运动（速度为V。）与竖直方向上的自由落体运动的合成。

①速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得：匕=%其合速度

的大小为丫=#：+3尸,其合速度的方向为（设水平方向夹角为9），可见，当

ffoo时，VTgtfT兀/2,即表示速度趋近于