河南省开封市大李庄中学高一数学理期末试卷含解析

河南省开封市大李庄中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正项等比数列{an}中，已知，，则的值为（

）A. B. C. D.1参考答案：D【分析】由，，求得，得到，即可求解，得到答案．【详解】由题意，正项等比数列中，且，，可得，又因为，所以，则，故选D．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，准确求解公比是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.若函数且）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（

）参考答案：B由可得，则题中函数的解析式分别为：，其中满足题意的只有B选项.所以本题选择B选项.

3.已知a∥α，b?α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由直线a∥平面α，直线b在平面α内，知a∥b，或a与b异面．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，故答案为：平行或异面，4.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）x23456y0.971.591.982.352.61A．y=log2x B．y=2x C． D．y=2.61cosx参考答案：A【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．【分析】根据题目中各函数的基本特征，对表中数据进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数y=log2x，是对数函数，增长速度缓慢，且在x=2时y=1，x=4时y=2，基本符合要求；对于B，函数y=2x是指数函数，增长速度很快，且在x=2时y=4，x=4时y=16，代入值偏差较大，不符合要求；对于C，函数y=（x2﹣1）是二次函数，且当x=2时y=1.5，x=4时y=7.5，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数y=2.61cosx是周期函数，且在[2，3]内是减函数，x=3时y＜0，x=4时y＜0，不符合要求．故选：A．5.定义在上的函数满足，又，且当时，，则的值为（

）.

.

.

.参考答案：D6.下列函数中哪个与函数相等（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.在等差数列{an}中，已知，前7项和，则公差（

）A.-3

B.-4

C.3

D.4参考答案：D根据题意可得，，因为，所以，两式相减，得.

9.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=（）A．9 B．12 C．15 D．16参考答案：D【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列通项性质可得：a2+a11=a4+a9=a6+a7．即可得出．【解答】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11=a4+a9=a6+a7．∵a2+a4+a9+a11=32，∴a6+a7=16．故选D．10.参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的

心．参考答案：外考点：三角形五心．专题：证明题．分析：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心．解答： 证明：点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥α，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故答案为：外．点评：本题考查三角形五心，求解本题的关键是能够根据题设条件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟练掌握三角形个心的定义，本题是一个判断形题，是对基本概念的考查题．12.已知，则sinθcosθ=

，cosθ﹣sinθ=

．参考答案：﹣，．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】推导出sinθ+cosθ=，从而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，由此能求出sinθcosθ，从而cosθ﹣sinθ==，由此能求出结果．【解答】解：∵，∴sin=（sinθ+cosθ）=，∴sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，解得sinθcosθ=﹣，∴cosθ﹣sinθ====．故答案为：﹣，．【点评】本题考查三角函数求值，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．13.设等比数列{an}的公比为q，Tn是其前n项的乘积，若25（a1+a3）=1，a5=27a2，当Tn取得最小值时，n=．参考答案：6【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列通项公式和前n项公式求出首项和公比，从而求出，由此能求出当Tn取得最小值时，n的值．【解答】解：∵等比数列{an}的公比为q，Tn是其前n项的乘积，若25（a1+a3）=1，a5=27a2，∴，解得，q=3，∴，当an=≥1时，n＞7，＜1，∴当Tn取得最小值时，n=6．故答案为：6．14.设函数定义域为R，周期为，且则=__________。

参考答案：15.已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则t=x2﹣2x+2m2﹣1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其大于2m2﹣2，结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m2﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m2﹣1的对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m2﹣1=2m2﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2﹣2①，又0＜m＜3②，联立①②得0＜m＜．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：．16.函数的定义域是

.参考答案：由，所以函数的定义域为。17.已知数列满足则的最小值为

参考答案：10.5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一游泳池中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在游泳池中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中药剂的浓度不低于3（克/升）时，它才能起到有效治污的作用。（Ⅰ）若一次投放3个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值。参考答案：（Ⅰ）因为,所以………………2分则当时,由,解得,所以此时当时,由解得,所以此时…4分综上，得,若一次投放3个单位的制剂,则有效治污时间可达8天……6分（Ⅱ）当时,==,,则，而,所以,用定义证明出：故当且仅当时,有最小值为…………10分令,解得,所以的最小值为

……………12分19.（10分）解关于的不等式

(1);

(2).参考答案：20.(本小题满分12分)已知函数（1）求的定义域；（2）当为何值时，函数值大于1.参考答案：21.(14分)已知定义在R上函数是奇函数.(1)对于任意不等式恒成立,求的取值范围.(2)若对于任意实数，m，x，恒成立，求t的取值范围.(3)若是定义在R上周期为2的奇函数，且当时，，求的所有解参考答案：（1）∵为奇函数，即

∴

∴

·····（2分）易证在R上单调递减

·····（3分）由得即恒成立又∴

·····（5分）（2）由单减可知又恒成立∴只需

·····（7分）即恒成立∴即

∴

·····（9分）（3）∵为奇函数

又的周期为

∴∴

·····（10分）当时为单调递减

∴

·····（11分）由g(x)的周期为2，所有解为

·····（14分）

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