北师大版数学八年级上册第一章 勾股定理作业设计（4份打包 含解析）

第第页北师大版数学八年级上册第一章勾股定理作业设计（4份打包含解析）2一定是直角三角形吗

测试时间:15分钟

一、选择题

1.下列各组数中,是勾股数的一组是()

A.7,8,9B.8,15,17

C.1.5,2,2.5D.3,4,4

2.(2023山西晋中期末)如图,小红家的木门左下角有点受潮,她想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C之间的距离,由此可推断∠B是不是直角,这样做的依据是()

A.勾股定理

B.勾股定理的逆定理

C.三角形内角和定理

D.直角三角形的两锐角互余

3.(2023福建三明期末)《九章算术》提供了许多勾股数,如(3,4,5),(5,12,13)等,并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究,得到如下规律:若m是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么m与这两个数组成勾股数;若m是大于1的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1,得到两个整数,那么m与这两个数组成勾股数.根据上面的规律,由10生成的勾股数的“弦数”是()

A.16B.24C.26D.32

二、填空题

4.(2022江苏徐州邳州期中)观察下列各组勾股数:

(1)3,4,5;

(2)5,12,13;

(3)7,24,25;

(4)9,40,41;

……

照此规律,将第n组勾股数按从小到大的顺序排列,用含n的代数式表示排在中间的数为.

5.(2022辽宁东港期中)如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D四点都在格点上,则∠ADB-∠BDC=°.

三、解答题

6.如图,每个小正方形的边长均为1,请你根据所学的知识回答下列问题:

(1)求△ABC的面积;

(2)判断△ABC的形状,并说明理由.

答案全解全析

答案B

∵72+82≠92,8,15,17都是整数且82+152=172,1.5,2.5不是整数,42+32≠42,∴8,15,17是勾股数,故选B.

2.答案B先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C之间的距离,用勾股定理的逆定理判断.若满足AB2+BC2=AC2,则∠B为直角;若AB2+BC2≠AC2,则∠B不是直角.

故选B.

3.答案C∵(10÷2)2=25,

25+1=26,

25-1=24,

26>24>10,

∴由10生成的勾股数的“弦数”是26,

故选C.

4.答案2n2+2n

解析(1)3,4,5中,4=;

(2)5,12,13中,12=;

(3)7,24,25中,24=;

(4)9,40,41中,40=;……

以此类推,第n组勾股数中,最小的数为2n+1,排在中间的数为,即2n2+2n.

5.答案45

解析如图,找到C点关于直线DB的对称点E,连接DE,AE,

则∠EDB=∠BDC,

则∠ADB-∠BDC=∠ADB-∠BDE=∠ADE.

∵AD2=AE2=22+12=5,DE2=32+12=10,

∴AD2+AE2=5+5=10=DE2,

∴△EAD是等腰直角三角形,

∴∠ADE=45°,即∠ADB-∠BDC=45°.

故答案为45.

6.解析(1)∵每个小正方形的边长均为1,

∴△ABC的面积=4×8-×1×8-×2×3-×6×4=13.

(2)△ABC是直角三角形.理由如下:

∵每个小正方形的边长均为1,

∴AC2=12+82=65,AB2=32+22=13,BC2=62+42=52.

∴AB2+BC2=AC2,

∴△ABC是直角三角形.1探索勾股定理

第2课时验证勾股定理

测试时间:15分钟

一、选择题

1.(2022河南南阳方城期末)如图,我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形,若小正方形的面积为1,大正方形的面积为13,则直角三角形较短的直角边长a与较长的直角边长b的比值是()

A.B.C.D.

2.(2022河南南阳西峡期末)如图,在四边形ABDE中,AB∥DE,AB⊥BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,CD=AB=b,AC=CE=c.下列结论:①△ABC≌△CDE;②∠ACE=90°;③四边形ABDE的面积是(a+b)2;④(a+b)2-c2=2×ab;⑤该图可以验证勾股定理.其中正确结论的个数是()

A.5B.4C.3D.2

3.(2023河北邢台期末)在证明勾股定理时,甲、乙两位同学给出如图所示的两种方案,则关于甲、乙的方案,下列说法正确的是()

A.甲的方案对B.乙的方案对

C.两人的方案都对D.两人的方案都不对

二、填空题

4.中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,勾a=3,弦c=5,则小正方形ABCD的面积为.

三、解答题

5.(2022河南郑州八中期末)下图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,直角边长分别为a和b,斜边长为c.可从中选取若干直角三角形纸板拼图,并根据拼图验证勾股定理.请画出一种示意图并写出验证过程.

答案全解全析

1.答案B设大正方形的边长为c,∵大正方形的面积是13,

∴c2=13,

∴a2+b2=c2=13,

∵每个直角三角形的面积是=3,

∴ab=3,

∴ab=6,

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25,

∴a+b=5.

∵小正方形的面积为(b-a)2=1,

∴b-a=1,∴b=3,a=2,

∴=.

故选B.

2.答案A∵AB∥DE,AB⊥BD,

∴DE⊥BD,

∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△CDE中,

∴△ABC≌△CDE(SAS),

∴∠BAC=∠DCE,∠ACB=∠CED.

∵∠BAC+∠ACB=90°,

∴∠DCE+∠ACB=90°.

∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°,

∴∠ACE=90°,

故①②正确;

∵AB∥DE,AB⊥BD,DE⊥BD,

∴四边形ABDE的面积是(a+b)2,

故③正确;

∵梯形ABDE的面积-Rt△ACE的面积=Rt△ABC的面积+Rt△CDE的面积,

∴(a+b)2-c2=2×ab,

∴a2+b2=c2,

故④⑤正确.

故选A.

3.答案A甲得出的结果为(a+b)2-4×ab=c2,

即a2+b2=c2,符合题意;

乙得出的结果为(a+b)2=a2+b2+4×ab=a2+b2+2ab,不符合题意.

故选A.

4.答案1

解析如图,设直角三角形较长的直角边长为b.

∵a=3,c=5,

∴b2=52-32=16,∴b=4,

∴小正方形ABCD的边长=4-3=1,

∴小正方形ABCD的面积=12=1.

5.解析示意图如图所示(答案不唯一):

证明:∵大正方形的面积可表示为(a+b)2,

大正方形的面积也可表示为c2+4×ab,

∴(a+b)2=c2+4×ab,

即a2+b2+2ab=c2+2ab,

∴a2+b2=c2,

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3勾股定理的应用

测试时间:15分钟

一、选择题

1.(2022山西晋中期末)有一辆装货的汽车,为了方便装运货物,使用了如图所示的钢架,其中∠ACB=90°,AC=1.2m,BC=0.9m,则AB的长为()

A.1.2mB.1.5mC.1.8mD.15m

2.如图所示的是一个底面圆周长为24m,高为5m的圆柱体,一只蚂蚁沿表面从A点爬到C点,则它所经过的最短路线长为()

A.12mB.15mC.13mD.9m

3.(2022山东烟台芝罘期末)如图,长方体木箱的长、宽、高分别为12m,4m,3m,则能放进木箱中的直木棒最长为()

A.12mB.13mC.15mD.24m

二、填空题

4.如图,一只蚂蚁从长为2cm,宽为2cm,高为3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长为.

5.(2022河南南阳卧龙期末)某小区两面直立的墙壁之间为安全通道,一架梯子斜靠在左墙DE上时,梯子底端A到左墙的距离为0.7m,梯子顶端D到地面的距离为2.4m,若梯子底端A保持不动,当梯子斜靠在右墙BC上时,梯子顶端C到地面的距离为1.5m,则安全通道的宽BE为m.

三、解答题

6.(2023江西九江期中)一长方形游泳池如图所示,AB=36m,小明和小亮进行游泳比赛,两人均从A处出发,小明的平均速度为3m/s,小亮的平均速度为3.1m/s,但小亮一心想快,不看方向沿斜线游,两人到达终点的位置相距15m(BC=15m),按每人的平均速度计算,谁先到达终点.

答案全解全析

1.答案B∵∠ACB=90°,AC=1.2m,BC=0.9m,

∴AB2=AC2+BC2=1.22+0.92=2.25,

∴AB=1.5m,

故选B.

2.答案C将圆柱体的侧面展开,连接AC,如图,

由题意,得AD=×24=12m,CD=5m,∠ADC=90°,

∴AC2=AD2+CD2=169,

∴AC=13m.故选C.

3.答案B如图,连接BC,AB,∵BC2=32+42=52,

∴CB=5m,

∵AC=12m,

∴AB2=122+52=169,

∴AB=13m,

∴能放进木箱中的直木棒的最大长度为13m,

故选B.

4.答案5cm

解析如图1,将长方体的前面和上面展开,连接AB,则AB2=22+(2+3)2=29,

如图2,将长方体的前面和右面展开,连接AB,则AB2=32+(2+2)2=25,

∵29>25,∴蚂蚁爬行的最短路线的长为5cm.

5.答案2.7

解析在Rt△AED中,∵∠AED=90°,AE=0.7m,DE=2.4m,

∴AD2=0.72+2.42=6.25.∴AC2=6.25.

在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,BC=1.5m,AB2+BC2=AC2,

∴AB2+1.52=6.25,

∴AB2=4.

∵AB>0,

∴AB=2m.

∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7m.

6.解析根据题意得∠ABC=90°,∵BC=15m,AB=36m,

∴AC2=AB2+BC2=362+152=392,小明到达终点所用时间为=12s,

∴AC=39m.

∴小亮到达终点所用时间为=s,

∵>12,

∴小明先到达终点.1探索勾股定理

第1课时勾股定理

测试时间:15分钟

一、选择题

1.(2023山西长治期末)下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积,其中S的值恰好为5的是()

2.(2023陕西师大附中期末)如图,∠AED=90°,正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225,则以DE为直径的半圆的面积是()

A.4πB.8πC.16πD.32π

3.(2022江苏泰州四中期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=3,则AC的长为()

A.3B.4C.5D.

二、填空题

4.如图,正方形ABCD的面积为15,Rt△BCE的斜边CE的长为8,则BE的长为.

5.(2022江苏无锡滨湖期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若AC=3,AB=5,则BC=,CD=.

三、解答题

6.(2023江苏南京阶段练习)我们定义:三角形的边长和面积都是整数的三角形叫做海伦三角形.如:三边长分别为5,5,6的三角形的边长为整数,面积为12,则这个三角形为海伦三角形.已知:如图,在△ABC中,AB=15,BC=4,AC=13.求证:△ABC是海伦三角形.

答案全解全析

1.答案B∵每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积,

∴每个正方形中的数以及字母S表示所在正方形的边长的平方.

A.由勾股定理得S=4+9=13,故A不符合题意;

B.S=9-4=5,故B符合题意;

C.S=4+3=7,故C不符合题意;

D.S=4-3=1,故D不符合题意.

故选B.

2.答案B∵∠AED=90°,正方形ABCD和正方形AEFG的面积分别是289和225,

∴DE2=AD2-AE2=289-225=64,

∴DE=8,

∴以DE为直径的半圆的面积是×π×=8π,

故选B.

3.答案D在Rt△ABC中,∠C=90°,AB-AC=2,BC=3,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,

∴AC2+32=(AC+2)2,

解得AC=,

故选D.

4.答案7

解析∵正方形ABCD的面积为15,

∴BC2=15,∵∠ABC=90°,