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第九章半角模型(初中数学)大儒诚信教育资源第九章半角模型模型1：倍长中线或类中线构造全等三角形已知如图：模型分析：1.半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；2.通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；3.常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。模型实例：例1．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。（1）求证：BM+DN=MN；（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。例2．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。例3．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD。求证：EF=BE-FD。热搜精练：1．如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。求证：MN=DN-BM。2．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。3.已知在等边三角形ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。(1)当CM=CN且M、N分别在边AC、BC上时，有AM=MN=NC。(2)当CM≠CN且M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论不成立。因为此时MN不一定等于AC或BC的一半。(3)当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，有AM+MN=CN。4.在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF。证明：∠EAF=∠BAD。5.(1)若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF+BE。(2)若AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，且∠EAF=∠BAD，有EF=DF+BE。证明：由∠ABC与∠ADC互补可得∠BAC=∠DAC，进而得到三角形ABF与三角形ADE相似，三角形ADF与三角形ABE相似。因此，DF/BE=AD/AB，即DF+BE=EF。(3)在(2)中，若BC=4，DC=7，CF=2，则△CEF的周长为13。因为根据(2)可知EF=DF+BE=AB+AD=2

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