多元函数泰勒公式与极值课件

§8.6多元函数的极值及其求法

主要内容1、多元函数泰勒公式2、多元函数的极值和最值3、条件极值拉格朗日乘数法§8.6多元函数的极值及其求法1一元函数的泰勒公式：§8.6多元函数泰勒公式与极值一、问题的提出一元函数的泰勒公式：§8.6多元函数泰勒公式与极值一、问2引入函数显然利用一元函数的麦克劳林公式，得由的定义及多元复合函数的求导法则,可得(*)引入函数显然利用一元函数的麦克劳林公式，得由3多元函数泰勒公式与极值ppt课件4多元函数泰勒公式与极值ppt课件5二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式6一般地,记号一般地,记号7其中其中8上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.9例1解例1解10多元函数泰勒公式与极值ppt课件11其中其中12多元函数泰勒公式与极值ppt课件13多元函数泰勒公式与极值ppt课件141、多元函数极值的定义设PRn,函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0,)内有定义，对任何pU(p0,),,都有f(p)<f(p0),称函数u=f(p)在p0点有极大值；若都有f(p)>f(p0),称函数u=f(p)在p0点有极小值。1、多元函数极值的定义设PRn,函数u=f(p)在15(1)(2)(3)例1例２例３极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1例２例３极大值、极小值统称为极值.使函162、多元函数取得极值的条件证2、多元函数取得极值的条件证17多元函数泰勒公式与极值ppt课件18注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面；2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.驻点极值点如何判定驻点是否为极值点？注意：注：1）极值点处的切平面平行于xoy平面；驻点极值点如何判定19多元函数泰勒公式与极值ppt课件20多元函数泰勒公式与极值ppt课件21多元函数泰勒公式与极值ppt课件22多元函数泰勒公式与极值ppt课件23求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.3、多元函数的最值求最值的一般方法：3、多元函数的最值24第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为m．故M=25，m=9．第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，25解解26(舍去x1)(舍去x1)27解由

x=y解由x=y28无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.29实例：张三有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．四、条件极值拉格朗日乘数法实例：张三有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机30条件极值：对自变量有附加条件的极值．条件极值：对自变量有附加条件的极值．31多元函数泰勒公式与极值ppt课件32解则

2x=3y,y=2z解则2x=3y,y=2z33解解34多元函数泰勒公式与极值ppt课件35多元函数泰勒公式与极值ppt课件36可得即可得即371.在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。解设P(x，y)为椭圆上任意一点，则P到直线的距离为求d的最小值点即求的最小值点。作1.在椭圆38由Lagrange乘数法，令得方程组解此方程组得于是由问题的实际意义最短距离存在，因此即为所求点。由Lagrange乘数法，令得方程组解此方程组得于是由问题的39多元函数泰勒公式与极值p