高中数学函数的奇偶性与周期性课件

第三节函数的奇偶性与周期性第三节函数的奇偶性与周期性1．奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔_________________；(2)f(x)为奇函数⇔________________．2．奇、偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于_______对称，偶函数的图象关于________对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)原点y轴1．奇函数、偶函数的定义f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有_______的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有____的单调性．(3)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)＝____.相同相反0(2)对称区间上的单调性：相同相反03．周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②_______________对定义域内的任意x都成立．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个____________就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小的正数3．周期性f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小的正数1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？【提示】

定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．(1)若y＝f(x＋a)是偶函数，函数y＝f(x)的图象有什么对称性？(2)如果y＝f(x＋b)是奇函数，函数f(x)的图象有什么对称性？【提示】

(1)f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．1．奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的【答案】

B【答案】B2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为(

)A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(8)＝f(0)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.【答案】

B2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x【解析】

y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0，故选B.【答案】

B【解析】y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平4．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(

)A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝ D．y＝x|x|【解析】

A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函数，故选D.【答案】

D4．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的【解析】

由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．【答案】

D【解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件【思路点拨】

先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件(3)显然函数f(x)的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．

(3)显然函数f(x)的定义域为：高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件【解析】

(1)∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.【答案】

B【解析】(1)∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件②f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数.②f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)【审题视点】

(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变量转化到区间[0，1]上．(2)根据f(－x)＝－f(x)求解．【审题视点】(1)先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件1．解答本题(2)时因误用f(0)＝0而求得a＝1，当定义域包含0时，可用f(0)＝0，但应注意检验．2．(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．(2)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．(3)①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；②若奇函数f(x)在x＝0时有定义，则f(0)＝0.1．解答本题(2)时因误用f(0)＝0而求得a＝1，当定义域【解析】

(1)设x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，又f(－x)＝－f(x)，∴x＞0时，f(x)＝－x2＋x＝ax2＋bx，∴a＝－1，b＝1，∴a＋b＝0.【解析】(1)设x＞0，则－x＜0，(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数f(x)在R上是增函数．由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.解得－3＜a＜1.【答案】

(1)0

(2)(－3，1)(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1 (2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．【思路点拨】

(1)证明f(x＋4)＝f(x)(2)先求[－2，0]上的解析式，再求[2，4]上的解析式；(3)根据周期性求解． (2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对【尝试解答】

(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．【尝试解答】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.

又f(x)是周期为4的周期函数，高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．1.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.2．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．1.若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．2．若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．3．若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法从2012年的高考试题看，有7个省份考查函数的奇偶性、周期性，主要考查奇偶性的判定，利用奇偶性与周期性求函数值，与单调性交汇求解简单的方程与不等式，多以选择题和填空题的形式出现，属中、低档题目，其中利用函数的周期性时，应注意隐含条件的挖掘．高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误易错辨析之三忽视隐含条件的挖掘致误【答案】

－2【答案】－2错因分析：(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来．(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a、b的值．防范措施：(1)对于周期函数，应注意所给区间包含几个周期，有助于我们挖掘隐含条件．(2)对于两个字母的求值，应列两个方程求解，这也是促使我们挖掘隐含条件的动力．错因分析：(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来．高中数学函数的奇偶性与周期性ppt课件【答案】

－10【答案】－101．(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝(

)A．335

B．338

C．1678

D．2012【解析】

∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，1．(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f