内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2022-2023学年高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足，且，当时，，则=A．−1 B．0C．1 D．22．设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是()A． B． C． D．3．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位4．已知，，，若，则（）A．-5 B．5 C．1 D．-15．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．6．设，则A． B． C． D．7．设函数，，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．函数fx=aexx，x∈1,2，且∀x1A．-∞,4e2 B．4e9．已知实数，满足条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，焦距为，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，则C的方程是（）A． B． C． D．11．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)12．若函数，对任意实数都有，则实数的值为（）A．和 B．和 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，含项的系数为______．14．某校从7名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有____________.15．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，与相交于点.若，且的面积为，则的值为______.16．的展开式中含项的系数是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数fx（1）当a=2，求函数fx（2）若函数fx18．（12分）已知动圆经过点，并且与圆相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于、两点，当为何值时？是与无关的定值，并求出该值定值.19．（12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小20．（12分）（本小题满分13分）已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在处切线的斜率；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）当时，求在区间上的最小值。21．（12分）已知矩阵对应的变换将点变换成．（1）求矩阵的逆矩阵；（2）求矩阵的特征向量．22．（10分）第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

通过函数关系找到函数周期，利用周期得到函数值.【详解】由，得，所以．又，所以，所以函数是以4为周期的周期函数所以故选C【点睛】本题考查了函数的周期，利用函数关系找到函数周期是解题的关键.2、A【解析】

根据f（x）•f（y）＝f（x+y），令x＝n，y＝1，可得数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．【详解】∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即f（1），∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，∴an＝f（n）＝（）n，∴Sn1﹣（）n∈[，1）．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．3、C【解析】试题分析：根据题意，对于回归方程为，当增加一个单位时，则的平均变化为，故可知平均减少个单位，故选C.考点：线性回归方程的应用.4、A【解析】

通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.5、C【解析】，故答案选6、C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7、C【解析】

先确定是唯一整数解,再通过图像计算得到范围.【详解】是函数单调递减；函数单调递增.存在唯一的整数，使取，，满足，则0是唯一整数.恒过定点如图所示：

即综上所诉：故答案选C【点睛】本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键.8、A【解析】

构造函数Fx=fx-x，根据函数的单调性得到F'x≤0在1,2【详解】不妨设x1<x2，令Fx=fx-x，则Fx在1,2F'x当x=1时，a∈R，当x∈1,2时，a≤x2所以gx在1,2单调递减，是gxmin【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数Fx=f9、A【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到的取值范围.【详解】解：由得，作出实数，满足条件对应的平面区域，如下图所示：平移直线，由图象可知当直线经过点时，值最小.由，解得，，由，解得，..故选：A.【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合的方法，属于基础题.10、A【解析】

根据点到直线的距离公式，可求出点F到渐近线的距离刚好为，由圆的知识列出方程，通过焦距为，求出，即可得到双曲线方程．【详解】为坐标原点，双曲线的右焦点为，焦距为，可得，的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆所截得的弦长为2，因为点F到渐近线的距离刚好为，所以可得即有，则，所以双曲线方程为：．故选．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力．11、A【解析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．12、A【解析】由得函数一条对称轴为,因此,由得,选A.点睛：求函数解析式方法：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.（4）由求对称轴二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数.【详解】二项式展开式的通项为，令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为：.【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题.14、264【解析】根据题意，分两步进行，第一步,先选四名老师,又分两类：①甲去,则丙一定去,乙一定不去,有种不同选法，②甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,有种不同选法，则不同的选法有6+5=11种第二步,四名老师去4个边远地区支教,有最后，由分步计数原理，可得共有11×24=264种方法.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．15、【解析】

由题意知可求的坐标．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用，即可得出的值.【详解】解：如图所示，，，.与轴平行，，，．，解得，代入可取，，解得．故答案为:．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出的坐标后，如何根据已知面积列出方程.16、5【解析】分析：先求展开式的通项公式，即可求含项的系数.详解：展开式的通项公式，可得展开式中含项，即，解得，展开式中含项的系数为.故答案为5.点睛：本题考查了二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；(2)0,2【解析】

（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可．【详解】（1）当a=2时，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘极小值f↗所以，当x=1时，fx有极小值f1=（2）①因为fx=x2-a当a≤0时，f'所以fx在0，+∞当a>0时，由f'x>0得x>a2，由所以fx在0，a2上单调递减，所以fx在x1°当a=2时，fx在0，1上单调递减，fx2°当0<a<2时，a2<1，故fa注意到fx=x取x0=e-1设gx=xlnx,g列表x011g—0+g↘极小值g↗所以，当x=1e，gx所以xlnx>-1e>-1因此，根据零点存在性定理知，在e-1a又x=1也是fx的一个零点，则f3°当a>2时，a2>1，故fa注意到lnx<x，取x则f>a+1因此，根据零点存在性定理知，在a2,a+1上又x=1也是fx的一个零点，则f综上所述，实数a的取值范围是0,2∪【点睛】本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．18、（1）（2）.【解析】

（1）由题意可得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）设，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得、的横坐标与纵坐标的和与积，再由是与无关的定值求得，进一步得到该定值．【详解】（1）由题设得：|，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，，，，椭圆方程为；（2）设，，，直线，由，得，由韦达定理得，，，，，的值与无关，，解得．此时．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．19、（1）详见解析；（2）.【解析】

(1)本题首先可以取的中点并连接，然后利用平面侧面得到平面，再根据三棱柱是直三棱柱得到，最后根据线面垂直的相关性质得到侧面，即可得出结果；(2)首先可以构造出空间直角坐标系，然后求出平面与平面的法向量，即可得出结果．【详解】(1)如图，取的中点，连接.因为，所以.由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以，因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，，又，从而侧面，又侧面，故；(2)由(1)知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面的一个法向量，由，，得，令，得，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，解得，即．又设平面的一个法向量为，同理可得.设锐二面角的大小为，则，由，得，所以锐二面角的大小为．【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线线垂直的证明以及二面角的求法，线线垂直可以通过线面垂直证明，而二面角则可以通过构造空间直角坐标系并借助法向量来求解，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题．20、（Ⅰ）（Ⅱ）当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅲ）当时，在区间上的最小值为，当，在区间上的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数几何意义求切线斜率：当时，，故曲线在处切线的斜率为（Ⅱ）因为，所以按分类讨论：当时，，递减区间为；当时，在区间上，，在区间上，，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，当，即时，在区间上的最小值为，；当，即时，在区间上的最小值为，试题解析：解：（Ⅰ）当时，，2分故曲线在处切线的斜率为3分（Ⅱ）。4分①当时，由于，故。所以，的单调递减区间为。5分②当时，由，得。在区间上，，在区间上，。所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。7分综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。8分（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，当，即时，在区间上的最小值为，。