2022-2023学年安徽省宣城市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年安徽省宣城市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.某单位有职工500人，青年职工300人，中年职工150人，老年职工50人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样从中抽取样本，若抽出的中年职工为15人，则抽出的老年职工的人数为(

)A.5 B.15 C.30 D.502.已知，点E为平行四边形ABCD对自线BD上一点，且DEA.23AB+13AD 3.小明同学统计了他最近10次的数学考试成绩，得到的数据分别为92，85，87，91，95，90，88，83，98，96.则这组数据的60%分位数是(

)A.92 B.91.5 C.91 D.904.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2A.π6 B.π6或56π C.π3或25.盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：

343 432 314 134 234 A.220 B.15 C.146.《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.今有圆亭，上下底面圆直径分别为18寸，30寸，圆亭母线长为10寸(取π≈3)A.1368平方寸，3528立方寸 B.1638平方寸，4410立方寸

C.1638平方寸，3528立方寸 D.1368平方寸，4410立方寸7.已知△ABC是边长为a的等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE并延长到点M，使得DE=2EMA.516a2 B.−516a8.已知矩形ABCD，AB=2，AD=1，将△ABD沿BD折起到△A′BA.(32,255)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若复数z1=2+i，z2A.z1在复平面内对应的点位于第一象限，z2在复平面内对应的点位于第四象限

B.记z1的共轭复数为z−1，则z−1⋅z2=−1+8i

C.若z10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是(

)A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件

B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件

C.事件A=“两个球同色”，则P(A)=211.已知△ABC的内角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，其中a=3+1A.△ABC是钝角三角形

B.△ABC面积为3+12

C.△12.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱ADA.两条异面直线D1C和BC1所成的角为60°

B.不存在点P，使得C1G//平面BEP

C.对任意点P，平面F

三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）13.若复数l+2i是关于x的方程x2+2p14.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差s2=______．15.在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面A16.已知▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是AB的中点，P为线段DC上的动点，则AP⋅DM四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且|a+2b|=1018.(本小题12.0分)

甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场时，该队获胜，比赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立．

(1)求前2场比赛，甲至少嬴得一场的概率；

(2)当双方总比分为219.(本小题12.0分)

某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上共有100人，分成[50,60)，[60,70)，[70.80),[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)20.(本小题12.0分)

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，BD21.(本小题12.0分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m=(2c,acosB+bsinA22.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形．

(1)若AB=2

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因为单位有职工500人，青年职工300人，中年职工150人，老年职工50人，

又用分层抽样从中抽取样本，若抽出的中年职工为15人，

则抽样比为15150=110，

则抽出的老年职工的人数为50×110=5人．2.【答案】A

【解析】解：AE=AB+BE=AB+3.【答案】B

【解析】解：小明同学的10次成绩从小到大排列为：83，85，87，88，90，91，92，95，96，98，

因为60%×10=6，

则这组数据的60%分位数是91+922=91.5．4.【答案】D

【解析】解：因为a=2，b=23，A=π6，

所以由正弦定理asinA=bsinB，可得212=23sinB，

所以sinB=5.【答案】C

【解析】解：根据题意，在20组随机数中，恰好第三次结束时就停止有314、134、234、243、324，共有5组，

343

432

314

134

234

132

243

331

112

324

342

241

244

342

124

431

233

214

344

434

则恰好第三次结束时就停止的概率P=520=14．

故选：C．

6.【答案】C

【解析】解：因为圆亭的上、下底面圆直径分别为18寸，30寸，圆亭母线长为10寸(取π≈3)，

则该圆亭的高h=102−(15−9)2=8寸，

7.【答案】B

【解析】解：由题意知，DE=12AC，DM=32DE=34AC，所以AM=AD+DM=12AB+348.【答案】B

【解析】解：当A′在平面BCD上的投影O在BD上时，点A′到平面BCD的距离A′O=AB⋅ADBD=25=255，此时三棱锥A′−BCD的体积最大，

Vmax=13S△BCD⋅A′O=2515，

如图，当A′在平面BCD上的投影M在DC上时，体积最小，

则点A′到平面BCD的距离为9.【答案】BC【解析】解：z1=2+i，z2=3i−2=−2+3i，

则z1在复平面内对应的点(2,1)位于第一象限，z2在复平面内对应的点(−2,3)位于第二象限，故A错误；

z1的共轭复数为z−1=2−i，

则z1−⋅z2=(2−i)(−2+3i)=−4+3+8i=−1+8i10.【答案】AC【解析】解：对于A，两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事件，A正确；

对于B，至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，B错误；

对于C，A事件发生的结果数为3+1=4，实验的总结果数为4+3×2=10，

所以P(A)=410=25，C正确；

对于D，事件11.【答案】AB【解析】解：根据题意作图如下：

对于A，在△ABC种，根据余弦定理得到cosA=b2+c2−a22bc=2−2342<0，所以A>90°，所以A正确；

对于B，由A知cosA=2−2342=2−64，所以sinA=1−cos2A=6+24，所以S△12.【答案】AC【解析】解：对于A，由正方体的结构特征得BC1//AD1，

则两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C=60°，故A正确；

对于B，当点P与点D1重合时，由题知EG//DC，EG=DC，D1C1//DC，D1C1=DC，

∴EG//D1C1，EG=D1C1，则四边形EGC1D1是平行四边形，得C1G//D1E，

∵C1G⊄平面BEP，D1E⊂平面BEP，∴C1G//平面BEP，故B错误；

对于C，连接CF，∵CC1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴CC1⊥EB，

又AE=BF，AB=CB，13.【答案】4

【解析】解：复数l+2i是关于x的方程x2+2px+q=0(p,q∈R)的一个根，

则1−2i也是关于x的方程x14.【答案】2.9

【解析】解：不妨设这个样本容量为7的样本数据分别为x1，x2，…，x7，

因为该组数据的平均数为5，

所以x1+x2+...+x77=5，

解得x1+x2+...+x7=35，

又方差为3，

15.【答案】28π【解析】解：作出图形，如图所示：

∵△ABC是边长为3的正三角形，

∴△ABC的外接圆半径r=3，

又侧棱PA⊥平面ABC，且PA=4，

∴球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=2，

故球的半径R=r2+d2=16.【答案】[−2,【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，

所以A(0,0)，M(2,0)，D(2cos60°,2sin60°)，即D(1,3)，C(5,3)，D′(9,3)，

设P(a,3)，a∈[1,5]，则AP=(a,3)，DM=(1,−17.【答案】解：(1)由|a+2b|=10两边平方得|a|2+4|b|2+4a⋅b=10，

由|a|=2，|b|=1【解析】(1)由向量的平方即为模的平方，以及投影向量的定义；

(2)18.【答案】解：(1)根据题意，设前2场比赛，甲至少赢一场为事件A，

A−=甲没有胜一场，则P(A−)=(1−0.8)×(1−0.8)=0.04，

则P(A)=1−P(A−)=0.96，

(2)根据题意，当双方总比分为2：2时，设甲获胜为事件B，则甲获胜的比分可以是4：2或者4：【解析】(1)根据题意，设前2场比赛，甲至少赢一场为事件A，分析并求出P(A−)，进而计算可得答案；

(19.【答案】解：(1)因为10(a+0.020+0.035+0.025+a)=1，

解得a=0.01，

所以这次数学竞赛成绩的平均数x−=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.1=75.5，

易知区间[50,70)的频率为10(0.01+0.020)=0.3<0.5，

区间[50,80)的频率为10(0.01+0.020+0.035)=0.65>0.5，

所以中位数在区间[70,80)中，

则中位数为70+0.5−0.30.35×10≈75.7；

(2)因为数学成绩低于70分的学生共有100×10(0.01+0.020)=30人，

若用分层抽样的6人中[50,60【解析】(1)由题意，根据频率之和为1，列出等式求出a的值，利用平均数和中位数的求法进行求解即可；

(2)结合分层抽样法的定义得到[50,60)的有220.【答案】解：(1)证明：连接BD，交AC于N，连接MN，

因为BD1//面MAC，BD1⊂面BDD1，且面MAC∩面BDD1=MN，

所以BD1//MN，

在正四棱柱中，四边形ABCD是正方形，所以N是BD的中点，

所以M是DD1【解析】(1)根据线面平行的性质，可得BD1//MN，由N是BD的中点，可得M是D21.【答案】(1)解：∵m=(2c,acosB+bsinA)，n=(3,sinA)，且m//n，

∴2csinA=3(acosB+bsinA)，

∴由正弦定理得2sinCsinA=3(sin【解析】(1)由题意得2csinA=3(acosB+22.【答案】解：(1)分别取BC、AC的中点M、N，连接OM，ON，MN，

因为O为BD中点，

所以MO//CD，MN//AB且MO=12CD，MN=12AB，

所以异面直线AB和CD所成角(或为邻补角)，即为∠OMN，

因为AB=AD，O为BD中点，

所以