复变函数-经典授课课件

引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。引言在十六世纪中叶，G.Cardano1复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法一对有序实数（）构成一个复数，记为.自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为Z的共轭复数。复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程2与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，1.代数形式:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数32)向量表示----复数z的辐角(argument)

记作Argz=q.任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足-p<q0

p的q0称为Argz的主值,记作q0=argz.则Argz=q0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)0xyxyqz=x+iy|z|=r----复数z的模2)向量表示----复数z的辐角(argument)记作4当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.52.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcosq,y=rsinq,可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=62)显然,r=|z|=1,又因此练习：写出的辐角和它的指数形式。解：2)显然,r=|z|=1,又因此练习：写出7§1.2复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算§1.2复数的运算设z1+z2=z2+z1;z1z28加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:,,,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.加减法与平行四边形乘、除法的几何意义:,,,定理1两个复数9等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.

几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.01等式Arg(z1z2)=Argz1+Ar10例2：设求：解：若取则若取则例2：设求：解：若取则若取则11;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.;按照乘积的定义,当z10时,有定理2两个复数的商的122.乘方与开方运算1）乘方DeMoivre公式：2.乘方与开方运算1）乘方DeMoivre公式：132）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为

于是推得2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为于是推得14从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例2求[解]因为所以从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为15即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy即四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶16§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.

[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形很多17由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知线段的中点为例4求下列方程所表示的曲线:由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z18解：设z=x+iy

,方程变为-iOxy几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。解：设z=x+iy,方程变为-iOxy19Oxy-22iy=-x设z=x+iy

,那末可得所求曲线的方程为y=-3.Oyxy=-3Oxy-22iy=-x设z=x+iy,那末可20§1.4复数域的几何模型---复球面0N§1.4复数域的几何模型---复球面0N21x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.

这样的球面称作复球面.x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x222扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点

∞.约定:

扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进23§1.4区域1.区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的集合,其中实数M>0,称为无穷远点的邻域.

即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作M<|z|<.0M|z|>M§1.4区域1.区域的概念平面上以z0为中心,24设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D

的一条折线连接起来.设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如25区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作

D.

如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为无界的.2.单连通域与多连通域

平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

则此曲线可用一个方程

z=z(t) (a

t

b)

来代表.这就是平面曲线的复数表示式.区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记26设C:z=z(t)(a

t

b)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a<t1<b,a

t2

b的t1与t2,当t1

t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线27任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分28定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲29§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.其实质上确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函数w=z2

对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面30在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念

函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称31设函数w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2设函数w=z=x–iy;u=x,v=-y32设函数w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1设函数w=z2=(x+iy)2=x2-y2+33如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.举例：曲线在映射下的像

例题1

如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(34例题2例题3例题4

例题2例题3例题435§1.6复变函数的极限和连续性1.函数的极限

定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d

),使得当0<|z-z0|<d时有|f(z)-A|<e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当z

z0时,f(z)A.§1.6复变函数的极限和连续性1.函数的极限

定义设函36

37

不存在的证明方法若则不存在且,不存在的证明方法若则不存在且,38

试证明在时无极限。设则从而设