江苏省南京市2023届高三二模数学试题含答案

南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.162.已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A. B. C. D.3.在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（）A. B. C. D.4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为（）A丙参加了铅球 B.乙参加了铅球C.丙参加了标枪 D.甲参加了标枪5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极，表示阳仪、表示阴仪）．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即为天一对应的经历过的两仪数量总和0，为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则为（）A.84 B.98 C.112 D.1286.直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（）A. B.1 C. D.7.已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（）A B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9.在的展开式中（）A.常数顼为160 B.含项的系数为60C.第4项的二项式系数为15 D.所有项的系数和为110.若实数，满足，则（）A. B. C. D.11.已知函数，．下列说法正确为（）A.若，则函数与的图象有两个公共点B.若函数与的图象有两个公共点，则C.若，则函数有且仅有两个零点D.若在和处的切线相互垂直，则12.已知四棱柱的底面为正方形，，，则（）A.点在平面内的射影在上B平面C.与平面的交点是的重心D.二面角的大小为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为___________．14.幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．15.一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为___________．16.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，．（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．18.已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．19.在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．（1）求证：；（2）若点到直线的距离为，求的值．20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为．（1）若，求；（2）若，，．①求；②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．21已知函数，．（1）若，求证：；（2）若关于的不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围．22.已知拋物线和圆．（1）若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；（2）已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．南京市2023届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】，故子集个数为，故选：B2.已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则，故选：C3.在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的大小为（）A B. C. D.【答案】B【解析】，即，即，，则，，则，故，，故，，故选：B4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球．下列说法正确的为（）A.丙参加了铅球 B.乙参加了铅球C.丙参加了标枪 D.甲参加了标枪【答案】A【解析】由①乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球，故选：A5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极，表示阳仪、表示阴仪）．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即为天一对应的经历过的两仪数量总和0，为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则为（）A.84 B.98 C.112 D.128【答案】C【解析】表示衍生到天十五时经历过的两仪数量总和，则.故选：C6.直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】设，因为，所以，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为，所以，解得，设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得.故选：D7.已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，设，，则，，，，中，，整理得到，即，故，故选：A8.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.，则，即，故.，即，即，故，解得.故选：D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9.在的展开式中（）A.常数顼为160 B.含项的系数为60C.第4项的二项式系数为15 D.所有项的系数和为1【答案】BD【解析】展开式的通项为.对选项A：取得到常数项为，错误；对选项B：取得到含项的系数为，正确；对选项C：取得到第4项的二项式系数为，错误；对选项D：取得到所有项的系数和为，正确.故选：BD10.若实数，满足，则（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】对选项A：，故，正确；对选项B：，正确；对选项C：取，满足，此时不成立，错误；对选项D：取，满足，此时，错误.故选：AB11.已知函数，．下列说法正确的为（）A.若，则函数与的图象有两个公共点B.若函数与的图象有两个公共点，则C.若，则函数有且仅有两个零点D.若在和处的切线相互垂直，则【答案】BCD【解析】对选项A：，故（无解）或，，错误；对选项B：，故或，故，且，解得，正确；对选项C：取，则，，，则，设，在上恒成立，则在上单调递增，则，故，，则，或，正确；对选项D：当和同时为正或者同时为负时不成立，不妨设，，，，则，故，正确.故选：BCD12.已知四棱柱的底面为正方形，，，则（）A.点在平面内的射影在上B.平面C.与平面的交点是的重心D.二面角的大小为【答案】ACD【解析】设，，，正方形的边长为1，则，，，对选项A：，，根据对称性知，点在平面内的射影在的角平分线上，即在上，正确；对选项B：，，，错误；对选项C：设，相交于，与交于点，即为与平面的交点，则，为中边上的中线，故为的重心，正确；对选项D：连接与相交于，连接，根据对称性知，又，平面，平面，故为二面角的平面角，，故，故，，，故，正确故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了空间几何投影，垂直关系，二面角，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，把空间关系的证明转化为空间向量的运算，可以简化过程，是解题的关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为___________．【答案】1【解析】，则，圆心为，半径，弦长为2，则直线过圆心，即，解得.14.幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．【答案】（答案不唯一）【解析】取，则定义域为R，且，，，满足.15.一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为___________．【答案】【解析】，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，故当或时，有最小值为，故.16.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________．【答案】①.②.【解析】如图：连接，由题意知，且分别为的中点，，所以，,得.，，化简得，所以四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知，．（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值；（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．【解析】（1）因为，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，所以，所以.（2）由，函数的图象关于对称，所以，，所以，，由，，则，又函数在上单调，所以，解得，所以当时.18.已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【解析】（1），则，整理得到，故，故是常数列，故，即，当时，，验证时满足，故（2），故.19.在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．（1）求证：；（2）若点到直线的距离为，求的值．【解析】（1），，，故，则，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，则，又，，平面，所以平面，又平面，则.（2）设中点为，中点为，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：有，设，则，设，则，则，，，点到直线的距离为，则，即，即，解得，所以.20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为．（1）若，求；（2）若，，．①求；②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．【解析】（1）因为，所以.（2）①因为，，，所以，，所以；②由①可知，所以，令，则，所以单调递减，又，，所以当时，则的最小值为.21.已知函数，．（1）若，求证：；（2）若关于不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围．【解析】（1）若，则，，所以，又与在上单调递增，所以