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文档简介
山东省烟台市莱山区第一中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知集合,则集合等于(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:B2.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为的样本,其频率分布直方图如右图所示,其中支出在元的同学有39人,则的值为A.100
B.120
C.130
D.390参考答案:C3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2﹣b2=bc,sinC=2sinB,则A=()A.30° B.60° C.120° D.150°参考答案:A考点: 余弦定理的应用.专题: 综合题.分析: 先利用正弦定理,将角的关系转化为边的关系,再利用余弦定理,即可求得A.解答: 解:∵sinC=2sinB,∴c=2b,∵a2﹣b2=bc,∴cosA===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A.点评: 本题考查正弦、余弦定理的运用,解题的关键是边角互化,属于中档题.4.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是()A.x2=2y﹣1 B.x2=2y﹣ C.x2=y﹣ D.x2=2y﹣2参考答案:A【考点】抛物线的简单性质.【分析】先求焦点坐标,假设动点P的坐标,从而可得中点坐标,利用P是抛物线x2=4y上的动点,代入可求.【解答】解:抛物线y=x2的焦点为F(0,1),设P(p,q)为抛物线一点,则:p2=4q,设Q(x,y)是PF中点,则:x=,y=,即p=2x,q=2y﹣1,代入p2=4q得:(2x)2=4(2y﹣1),即为x2=2y﹣1.故选:A.5.函数的零点所在的大致区间是(
)A.(0,)
B.(,1)
C.(1,)
D.(,2)参考答案:B略6.若执行如右图所示的程序框图,那么输出的值是A.B.2C.D.参考答案:B7.如图,大正方形的面积是13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为(
)(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:A8.(6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为(A)0.2
(B)0.4(C)0.5
(D)0.6参考答案:B.9.已知集合A={x|x=a+(a2-1)i,a∈R,i是虚数单位},若AíR,则a=A.0
B.1
C.-1
D.±1参考答案:D∵AíR,∴x=a+(a2-1)i中a2-1=0,∴a=±1,故选择D.10.(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是()A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)C. D.参考答案:C【考点】函数恒成立问题.【分析】先根据题中条件:“(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切实数x恒成立”,结合二次函数的性质,得到解答.【解答】解:不等式(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切x∈R恒成立,即(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0对一切x∈R恒成立若m+1=0,显然不成立若m+1≠0,则解得a.故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=,无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)总是不单调.则a的取值范围是___________
参考答案:略12.阅读下列材料,回答后面问题:在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中,主持人说:“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话,2014年航空事故死亡人数将达到1320人.尽管如此,航空安全专家还是提醒:飞机仍是相对安全的交通工具.①世界卫生组织去年公布的数据显示,每年大约有124万人死于车祸,而即使在航空事故死亡人数最多的一年,也就是1972年,其死亡数字也仅为3346人;②截至2014年9月,每百万架次中有2.1次(指飞机失事),乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右.”对上述航空专家给出的①、②两段表述(划线部分),你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为,你的理由是
;
.参考答案:①
数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关;但是可以做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为x,这样每百万人乘机死亡人数2.1人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数【考点】收集数据的方法.【分析】根据题意,利用数据的收集,分类,归纳,分析可得结论【解答】解:选①,理由为:数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系;数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关;但是可以做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为x,这样每百万人乘机死亡人数2.1人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数.故答案为:①;数据①虽是同类数据,但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系;数据②两个数据不是同一类数据,这与每架次飞机的乘机人数有关;但是可以做如下大致估算,考虑平均每架次飞机的乘机人数为x,这样每百万人乘机死亡人数2.1人,要远远少于乘车每百万人中死亡人数13.若不同两点、的坐标分别为,,则线段的垂直平分线的斜率为__________,圆关于直线对称的圆的方程为__________.参考答案:;,故直线的斜率为,由点斜式可是的方程为,圆心关于直线的对称点为,故所求圆的方程为.14.设函数y=的图象上存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形(其中O为坐标原点),且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是.参考答案:(0,]【考点】分段函数的应用.【分析】曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在y轴两侧.设P(t,f(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),运用向量垂直的条件:数量积为0,构造函数h(x)=(x+1)lnx(x≥e),运用导数判断单调性,求得最值,即可得到a的范围.【解答】解:假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在y轴两侧.不妨设P(t,f(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,∴?=0,即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0(*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.若0<t<e,则f(t)=﹣t3+t2代入(*)式得:﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0即t4﹣t2+1=0,而此方程无解,因此t≥e,此时f(t)=alnt,代入(*)式得:﹣t2+(alnt)(t3+t2)=0,即=(t+1)lnt(**)令h(x)=(x+1)lnx(x≥e),则h′(x)=lnx+1+>0,∴h(x)在[e,+∞)上单调递增,∵t≥e∴h(t)≥h(e)=e+1,∴h(t)的取值范围是[e+1,+∞).∴对于0<a≤,方程(**)总有解,即方程(*)总有解.故答案为:(0,].15.如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图,则估计此工厂工人生产能力的平均值为参考答案:133.8【考点】频率分布直方图.【分析】由频率分布直方图求出x=0.024,由此能估计工人生产能力的平均数.【解答】解:由频率分布直方图得(0.008+0.02+0.048+x)×10=1,解得x=0.024.估计工人生产能力的平均数为:=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8.故答案为:133.8.【点评】本题考查平均数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意频率分布直方图的性质的合理运用.16..在钝角△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,b=1,c=,∠B=30°,则△ABC的面积等于___________.参考答案:略17.已知函数当t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],则实数t的取值范围是
.参考答案:【考点】函数与方程的综合运用.【专题】计算题;不等式的解法及应用.【分析】通过t的范围,求出f(t)的表达式,判断f(t)的范围,然后代入已知函数,通过函数的值域求出t的范围即可.解:因为t∈[0,1],所以f(t)=3t∈[1,3],又函数,所以f(f(t)=,因为f(f(t))∈[0,1],所以解得:,又t∈[0,1],所以实数t的取值范围.故答案为:.【点评】本题考查函数一方程的综合应用,指数与对数不等式的解法,函数的定义域与函数的值域,函数值的求法,考查计算能力.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图1所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=3,∠ABC=,CD为∠ACB的角平分线,点E在线段AC上,且CE=4.如图2所示,将△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.(1)求证:DE⊥平面BCD;(2)若EF∥平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥的体积.参考答案:解:(1)在图1中,因为AC=6,BC=3,所以,.因为CD为∠ACB的角平分线,所以,.(2分)因为CE=4,,由余弦定理可得,即,解得DE=2.则,所以,DE⊥DC.(4分)在图2中,因为平面BCD⊥平面ACD,平面BCD平面ACD=CD,DE平面ACD.且DE⊥DC,所以DE⊥平面BCD.(6分)(2)在图2中,因为EF∥平面BDG,EF平面ABC,平面ABC平面BDG=BG,所以EF//BG.因为点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,所以AE=EG=CG=2.(8分)作BH⊥CD于点H.因为平面BCD⊥平面ACD,所以BH⊥平面ACD.由已知可得.(10分),所以三棱锥的体积.(12分)略19.(2016郑州一测)已知曲线的参数方程为,曲线的极坐标方程为.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)求曲线上的动点到曲线的距离的最大值.参考答案:(1),即,可得,故的直角坐标方程为.(2)的直角坐标方程为,由(1)知曲线是以为圆心的圆,且圆心到直线的距离,
∴动点到曲线的距离的最大值为.20.关于函数,给出下列四个命题: ①,时,只有一个实数根;
②时,是奇函数;③的图象关于点,对称;④函数至多有两个零点.其中正确的命题序号为______________.参考答案:①②③略21.(本小题满分10分)在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且(I) 求的值;(II)若,求bc的最大值.参考答案:【知识点】两角和与差的三角函数;余弦定理.C5,C8【答案解析】
解析:解:(I)在中,因为,所以(II)由余弦定理知所以,当时,bc的最大值是【思路点拨】由两角和与差的展开式可求出值,再由余弦定理可求出值.22.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中,已知点A,B的坐标分别为.直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积是.记点P的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)
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