北师大版九年级上册数学导学案

最新北师大版九年级上册数学导学案

目录

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

第2课时菱形的判定

1.2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

第2课时矩形的判定

1.3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

第2课时正方形的判定

第二章一元二次方程

2.1认识一元二次方程

第1课时一元二次方程

第2课时一元二次方程的解及其估算

2.2用配方法求解一元二次方程

第1课时用配方法求解简单的一元二次方程

2.3用公式法求解一元二次方程

第1课时用公式法求解一元二次方程

第2课时利用一元二次方程解决面积问题

2.4用因式分解法求解一元二次方程

2.5一元二次方程的根与系数的关系

2.6应用一元二次方程

第四章图形的相似4.1成比例线段

第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质

4.2平行线分线段成比例4.3相似多边形

4.4探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角

形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3

课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割

4.5相似三角形判定定理的证明4.6利用相似三角形测

高4.7相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对

应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8

图形的位似

第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与

视图

5.1投影

第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与

正投影5.2视图

第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程第1课

时位似多边形及其性质第1课时几何问题及数字问题

与一元二次方程第1课时简单图形的三视图第2课时

营销问题及平均变化率问题与一元二次方程第2课时

复杂图形的三视图第三章概率的进一步认识

3.1用树状图或表格求概率

第1课时用树状图或表格求概率

第2课时概率与游戏的综合运用

第六章反比例函数

6.1反比例函数

6.2反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图

象

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3.2用频率估计概率

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

学习目标：

①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已

学过的知识总结菱形的特征。教学重点：菱形的概念和菱形的

性质，菱形的面积公式的推导。

教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。

【预习案】

学习过程：

活动一：

自学课本例题以上的内容，完成下列问题：

1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？

菱形

平行四边形

的四边形叫做菱形，生活中的

有。

菱形【探究案】

2.按探究步骤剪下一个四边形。

①所得四边形为什么一定是菱形？

②菱形为什么是轴对称图形？

有对称轴。

图中相等的线段有：

图中相等的角有：

③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质

吗？自己完成证明。

性质：

证明：

活动二：对比菱形与平行四边形的对角线

菱形的对角线：

平行四边的对角线：

活动三：菱形性质的应用

1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周

长和面积。

【训练案】

2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm,NABC=60。

沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD,

求两条小路的长和花坛的面积。

课效检测：

一、填空

(1)菱形的两条对角线长分别是12cm,16cm,它的周

长等于，面积等于。

(2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：2,

菱形的四个内角是。

(3)已知：菱形的周长是20cm,两个相邻的角的度数比

为1：2,则较短的对角线长是。

(4)已知：菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,

则它的面积是。

二、解答题

已知：如图，在菱形ABCD中，周长为8cm,

NBAD=120对角线AC,BD交于点O,求

这个菱形的对角线长和面积。

A

OD

第2课时菱形的判定

学习目标：

1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；

2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.

重点：掌握并会应用菱形的判定方法.

难点：菱形判定方法的应用.

B

C

【预习案】

课前预习

你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？

边

角

对角线

对称性:

【探究案】

1.木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知

道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD

中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.

证明：

B

DA

我发现，的四边形是菱形。

2.如下图，在DABCD中，若ACLBD,则DABCD是什么图形?

证明：

我发现，的平行四边形四边形是菱形.

菱形的判定方法：

1、的四边形是菱形

符号语言

2、的平行四边形是菱形

符号语言

课堂活动

活动1预习反馈

活动2例习题分析

例DABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AB=5

AO=4,OB=3.求证：DABCD是菱形。

A

C

BoD

A

B

平行练习

C

oDl、一个平行四边形的一条边长是15,两条对角线的长

分别是12和

9

,这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积。

归纳：S

菱形

2、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合

的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？

【训练案】

课后巩固

1、如图，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于点C,BD

平分NABC,且交AE于点D,连接CD,

求证：四边形ABCD是菱形。

A

D

0

BCF

E

2、如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在AB,AD

上，且BM=DN,MG〃AD,NF〃AB,点F,G

分别在BC,CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形

AMEN,EFCG都是菱形。

B

F

C

E

G

A

MN

D

1.2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

学习目标：

1.能运用综合法证明矩形性质定理。

2.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思

想方法。

【预习案】

回顾旧知：

1.你了解哪些特殊的平行四边形？

2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？

3.能用一张图来表示它们之间的关系吗？

自学提示：

（一）自主学习：

①平行四边形活动框架在变化过程中，哪些量发生了变化?

哪些量没有变化？从中得到哪些

结论？你能试着说明结论是否成立？

②矩形的一条对角线把矩形分成两个什么三角形？矩形的

两条对角线把矩形分成四个什么样的三角形？

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做

矩形。由此可见，矩形是特殊的，它具有平行四边形

的所有性质。

2.结合上面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具

有的特殊性质？

3.证明：矩形的四个角都是直角

已知：如图，

求证：___________________

证明：

D

证明：矩形对角线相等

A已知：如图，

求证：

证明：

BCBC【探究案】

合作探究：

问题一:如图，矩形ABCD,对角线相交于0,观察对角

线所分成的三角形，你有什么发现？

A

O

BC

D

问题二将目光锁定在RtAABC中，你能发现它有什么特

殊的性质吗？

证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”

已知:AB

求证：

证明：

DC

问题三上面结论的逆命题是：。是否正确？请给予证明。

【训练案】

巩固练习

1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质:

四个角，对角线。

2.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,若

A0B100,则OABo3、已知矩形的长为20,宽为12,

顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的面积是.

4,如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,

已知NAOD=120。，AB=2.5cm,求矩形对角线的长。

六、反思领悟

这节课我们学到了：

我的疑问是：

第2课时矩形的判定

学习目标：

1.会证明矩形的判定定理。

2.能运用矩形的判定定理进行计算与证明。

3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与

证明。

【预习案】

学习准备：

1.矩形是轴对称图形，它有条对称轴.

2.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,若对

角线AC=10cm,♦边BC=・8cm,•则△ABO的周长为

3.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边

形是矩形呢？

请同学们说出最基本的方法：（用定义）

【训练案】

巩固练习

1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质:

四个角，对角线。

2.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,若，贝L

3、已知矩形的长为20,宽为12,顺次连结矩形四边中点所形

成的四边形的面积是.

4,如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,

已知NAOD=120。，AB=2.5cm,求矩形对角线的长。

六、反思领悟

这节课我们学到了：

我的疑问是：

第2课时矩形的判定

学习目标：

1.会证明矩形的判定定理。

2.能运用矩形的判定定理进行计算与证明。

3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明。

【预习案】

学习准备：

1.矩形是轴对称图形，它有条对称轴.

2.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,若对

角线AC=10cm,♦边BC=・8cm,•则△ABO的周长为

3.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是

矩形呢？

请同学们说出最基本的方法：(用定义)

【探究案】

1.知识点一：探究“对角线相等的平行四边形是矩形。”

如图在DABCD中，对角线AC、BD相交于0,如果

AC=BD

求证：DABCD是矩形。

证明：DABCD是平行四边形

，AB=CD,AB〃CD()

.*.ZABC+ZDCB=180

在^ABC^ADCB中

/.△ABC^ADCB()

.\ZABC=ZDCB

NABC二

••.□ABCD是矩形()

2.知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。”

已知：在四边形ABCD中NA=NB=NC=90°

求证：四边形ABCD矩形

证明：•.•NA+NB+NC+ND二度

而NA=NB=NC=90度

ND=

•••——_—_

，四边形ABCD是平行四边形()

，四边形ABCD矩形()

【训练案】

1.如图，DABCD中，AB=6,BC=8,AC=10,

求证:DABCD是矩形。

2.如上图已知：nABCD的AC、BD对角线相交于0,

△A0B是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边形的面积。

能力提升：

△ABC中，点0是AC边上一动点，过0点作直线

MN//BC,设MN交NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角

平分线于点F,

(1)试说明EO=OF的理由。

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说

明你的结论。

1.3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

学习目标：

1.理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；

2.能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明.

【预习案】

自主学习：

1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线互相垂直平分C.对角线相等

D.每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩

形不一定具有的性质是（）

A.四个角相等B,四条边相等C.对角线互相平分D.对角

线相等

3、已知一个正方形的边长为2cm,则对角线长为

4、已知一正方形的对角线长为2cm,则它的边长为

5、若正方形的一条对角线长为4cm,则正方形的周长

为,面积为;对角线

的交点到边的距离为O

【探究案】

探究点1:矩形和正方形的关系

做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方

形.

问题1:什么样的四边形是正方形？

探究点2：正方形的性质

问题2：正方形有什么性质？

由正方形的定义得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形,

又是有一个角是直角的菱形.

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

正方形性质定理1：正方形的四个角都是，四条边都。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且。例1.

求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角

三角形.

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD

相交于点0（如图）.

求证：△ABO、△BCO、△CDO.△DAO是

全等的等腰直角三角形.

例2.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点,

点F是CB的延长线上一点，且DE=BF.

求证：（1）EA=AF；（2）EA±AF.

【训练案】

1.⑴正方形的四条边,四个角,两条对角

线.

⑵正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的

⑶正方形的边长为6,则面积为

⑷正方形的对角线长为6,则面积为

2.如右图，E为正方形ABCD边AB上的一点，已知

EC=30,EB=10,

则正方形ABCD的面积为,对角线为

3.如右图，E为正方形ABCD内一点，且aEBC是等边

三角形,

求NEAD与NECD的度数.

第2课时正方形的判定

学习目标：

1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、

菱形、正方形的判定条件进行有关

的论证和计算。

2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综

合推理能力，主动探究的学习习

惯，逐步掌握说理的基本方法。

3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩

证看问题的观点。

学习重点：掌握正方形的判定条件。

学习难点：合理恰当地利用正方形的判定定理解决问题。

【预习案】

预习检测

1、下列说法中错误的是（）

A、对角线相等的菱形是正方形B、有一组邻边相等的

矩形是正方形

C、四条边都相等的四边形是正方法D、有一个角为直

角的菱形是正方形

2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互

相平分。具备条件—可得平行四边

形；具备条件可得矩形；具备条件可得是

菱形；具备条件可得正方形。（填序号）

3.我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思

考一下，它们之间有怎样的包含关系？请画出来。

【探究案】

探究点1：用菱形证明正方形.

1.已知四边形ABCD是菱形，当满足条件时，

它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.

证明:

探究点2：用矩形证明正方形.

2.已知四边形ABCD是矩形，当满足条件时，

它成为正方形（填上你认为正确的一个条件即可）.

证明：

探究点3：用平行四边形证明正方形

3.在RtAABC中，NACB=90。，CD平分ZACB,

DEIBC,DF±AC,垂足分别是E,Fo

求证：（1）四边形CFDE是平行四边形。

（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。

（3）四边形CFDE是正方形。

【训练案】

1.如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD±,

且NEAF=45。，试说明EF=BE+DF。

2.画一个正方形，使它的对角线长为30,并说明画法的依

据。

3.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，

使NEAF=45°,AGLEF于G.求证：AG=AB。

达标测试答案

1.解：将△ADF旋转到△ABC,则△ADFZ^ABG

，AF=AG,NADF=NBAG,DF=BG

ZEAF=45。且四边形是正方形，

.*.ZADF+ZBAE=45°

ZGAB+NBAE=45°

即NGAE=45°

.•.△AEF^AAEG(SAS)

，EF=EG=EB+BG=EB+DF

2.画法：1、画线段=30cm,取AC的中点O。

2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取

0B=0D=15cm。

3、连结AB、BC、CD、DA.

则四边形ABCD就是所要画的正方形.

证明：VAO=CO,BO=DO

四边形ABCD是平行四边形。

又「AC=BD,，平行四边形ABCD是矩形：ACJ_BD

・•・平行四边形ABCD是菱形。

.二四边形ABCD是正方形

补标练习答案：解析：欲证AG=AB,就图形直观来看，

应证RQABE与RQAGE全等，但条件不够.

NEAF=45。怎么用呢？显然Nl+N2=45。，若把它们拼在

一起，问题就解决了.

证明：把△AFD绕A点旋转90。至△AHB.

VZEAFM50,.•.Nl+N2=45°.

VZ2=Z3,••.Nl+N3=45°.

又由旋转所得AH=AF,AE=AE.

.•.△AEF^AAEH,

，NAEH=NAEF,

又•:NABE=NAGE,AE=AE,

AAABE^AAGE,

，AG=AB.

第二章一元二次方程

2.1认识一元二次方程

第1课时一元二次方程

学习目标：

1.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概

念给一元二次方程下定义.2.一元二次方程的一般形式及其

有关概念.

3.解决一些概念性的题目.

4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激

发学生的学习热情.

重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程

的有关概念并用这些概念解决问题.

难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，・

再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.

【预习案】

二、自学探究：

理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般

形式。

自学教材，回答：

(1)如果设未铺地毯区域的宽为xm,那么地毯中央长

方形图案的长为m,宽为为m.

根据题意，可得方程

(2)试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连

续整数，使前三个数的平方和等于

后两个数的平方和：

9

如果设五个连续整数中的第一个数为X,那么后面四个数

依次可表示为、、

V,根据题意可得方程：

(3)根据图2-2,由勾股定理可知，滑动前梯子底端距

墙m,如果设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙m,

梯子顶端距地面的垂直距离为m,根据题意，可得方程：

【探究案】

探究点1：一元二次方程的概念

1.一元二次方程的一般形式是()

(1)提问2=时方程还是一无二次方程吗？为什么?(如果

a=、b#就成了一元一次方程了)

2(2)方程中ax、bx、c各项的名称及a、b的系数名称

各是什么?

(3)强调：一元二次方程的一般形式中“=”的左边最多

三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、

而且左边通常按x的降得排列：特别注意的是“=”的右边必须

整理成.

探究点2：一元二次方程解决生活中的应用

根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次

方程的一般形式：

△4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形

的边长x;

⑵一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长

X；

⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积,

等于较长一段的长的平方，求较短一段的长X。

【训练案】

1.在下列方程中，一元二次方程有.

①3x+7=0②ax+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x-l®3x-

2

2222=0

2.方程2x=3(x-6)化为一般式后二次项系数、•一次项系

数和常数项分别是O.

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

223.px-3x+p-q=0是关于x的一元二次方程，贝！］().

A.p=lB.p>0C.p#)D.p为任意实数

4.方程3x-3=2x+l的二次项系数为,一次项系数

为,

常数项为.

5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出

其中的二次项系数、及常数项：

(1)3x2+1=6x(2)4x2+5x=81(3)x(x+5)=0

(4)(2x-2)(x-1)=0(5)x(x+5)=5x-10(6)(3x-2)(x+l)=x(2x-1)

2

第2课时一元二次方程的解及其估算

学习目标

1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个

元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.

2.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估

算意识和能力。

重点：探索一元二次方程的解或近似解；

难点：培养学生的估算意识和能力.

【预习案】

学生活动：请同学独立完成下列问题.

问题1.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的

顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米？

设梯子底端距墙为xm,那么，

根据题意，可得方程为.

整理，得.

列表：

X12345678...

问题2.一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多

2m,苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm,则长为m.

根据题意，得.

整理，得.

列表：

X123456789101

1

【探究案】

探究点1：探究一元二次方程的解.

提问：(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2

中一元二次方程的解是多少？

(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题

2呢？

(3)如果抛开实际问题，问题(1)中还有x=-6的解；

问题2中还有x=-12的解.

为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我

们称：

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6,另一个是一6,

但-6不满足题意；同理，问题2中的x-12的根也满足题

意.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际

问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.

例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,,1,2,3,4.

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式,

使等式两边相等即可.

解：将上面的这些数代入后，只有一2和-3满足方程的等

式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x4-12=0的两根.

探究点2：用“夹逼法”解生活中的一元二次方程.

例2.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长

比宽多5cm,△这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm,则宽为(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由.

(2)完成下表：

X

x2-5x-15

101121314151617...

1

(3)你知道铁片的长x是多少吗？

分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平

方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，

但是我们可以用一种新的方法夹逼'’方法求出该方程的根.

解：(1)x不可能小于5.理由：如果x<5,则宽(x-5)

<0,不合题意.

x不可能等于10.理由：如果x=10,则面积x2-5x-150=-

100,也不可能.

(2)

x

x2-5x-15

10121314151617...

11

-10-8-66-46-2

2654...

(3)铁片长x=15cm

44

【训练案】

一、选择题

1.方程x(x-1)=2的两根为().

A.x

1

=0,x

2

=1B.x

1

=0,x

2

=-1C.x

1

=1,x

2

=2D.x

1

=-1,x

2

2.已知x=-l是方程ax2+bx+c=0的根(bg),则=().

A.IB.-IC.D.2

二、填空题

1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x

1

=,x

2

*"*■

2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为

3.方程(x+1)2+x(x+1)=0,那么方程的根x

1

=;x

2

~~■

三、综合提高题

1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求(a-b)

2+4ab的值.

2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#：)中的二

次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方

程的一个根.

3.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个

有趣的变形，即在()2-2x+l=0,令=丫,则有y2-2y+l=0,根

据上述变形数学思想(换元法)，解决小明给出的问题：在

(x2-l)2+(x2-l)=0中，求出(x2-l)2+(x2-l)=0的

根.4.一块矩形铁片，面积为lm2,长比宽多3m,求铁片

的长，小明在做这道题时，△是这样做的：

设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理得：

x2-3x-l=0.小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，

下面是他的探索过程：

第一步:

X

x2-3x-

1

所以，一<x<

第二步:

x

x2-3x-

-0.9

6

3.2

-0.3

6

3.

3

3.

4

1234

]

33

所以，<x<

(1)请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为

,十分位为.答案：

一、1.D2.A

二、1.9,-92.-133.-1,1-

三、1.由已知，得a+b=-3,原式二(a+b)2=(-3)2=9.

2.a+c=b,a-b+c=O,把x—1代入得

ax2+bx+c=ax(-1)2+bx(-1)+c=a-b+c=O,

••・-l必是该方程的一根.

3.设y=x2-l,则y2+y=0,y

1

=o,v

2

=-1,

即当x2-l=0,x

1

=1,X

2

=-1；

当y

2

=-1时,x2-l=-l,x2=0,

△x

3

=x

4

=o,

.'.X

1

=1,X

2

=-1,x

3

=x

4

二是原方程的根.

4.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3.4(2)3,3

2.2用配方法求解一元二次方程

第1课时用配方法求解简单的一元二次方程

学习目标：

1.会用开平方法解形如(x十m)=n(n0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法——配方法.

重点：利用配方法解一元二次方程

难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)=n(nO)的

形式.

【预习案】

1用直接开平方法解方程

222x-8=0(x+6)-9=0

2完全平方公式是什么？

3填上适当的数，使下列等式成立：

22(1)x+12x+=(x+6)

22(2)X—12x+=(x—)

22(3)x+8x+=(x+)

(4)x+

2

2x+=(x+)

2

2

(5)x+px+=(x+)

观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？

【探究案】

探究点1:用配方法一元二次方程来解一元二次方程.

问题：下列方程能否用直接开平方法解？

x+8x—9=0x—10x十25=7；

是否先把它变成(x+m)=n(n>)的形式再用直接开平方法

求解？

在这里，解一元二次方程的基本思路是将方程转化成的形

式，它的一边是另一边是，当时两边便可以求出它的根。这种

通过配成进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为

16m2,场地的长和宽应各是多少？解：设场地宽为x米，则

长为(x+6)米，根据题意得：()整理得()

2

2

怎样解方程x+6x—16=0自学P36页

例1:用配方法解下列方程

2x-8x+l=0

探究2：用配方法解一元二次方程步骤

总结用配方法解方程的一般步骤.

(1)化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数.

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.

(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方.(注：一

次项系数是带符号的)

2(4)方程变形为(x+m)=n的形式.

(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元

二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解.

2

【训练案】

1配方：填上适当的数，使下列等式成立：

22(1)x+12x+=(x+6)

22(2)x—12x+=(x—)

22(3)x+8x+=(x+)

22.将二次三项式x-4x+l配方后得().

2222A.(x-2)+3B.(x-2)-3C.(x+2)+3

D.(x+2)-3

23.已知x-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式，

其中正确的是().

2222A.x-8x+(-4)=31B.x-8x+(-4)=1

222C.x+8x+4=lD.x-4x+4=-ll

25.如果mx+2(3-2m)x+3m-2=0(m声)的左边是一个

关于x的完全平方式，则m等于().A.1B.-1

C.1或9D.-1或9

6.下列方程中，一定有实数解的是()

A.x+l=OB.(2x+l)=0C.(2x+l)+3=0

D.(

7.方程x+4x-5=0的解是.2

222x-a)=a28.代数式的值为，则x的值为.

9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若设

x+y=z,则原方程可变为，♦所以求出z的值即为x+y

的值，所以x+y的值为—

210已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x-

4x+3=0的解，求这个三角形的周长.

11.如果x-4x+y+6y+22+13=0,求(xy)的值.z

12.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市

场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；

而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要

想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定

价应为多少元？

1.已知：x+4x+y-6y+13=0,求22的值.

2.如图，在R3ACB中，NC=90。，AC=8m,CB=6m,

点P、Q同时由A,B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C

匀速移动，它们的速度都是lm/s,•几秒后4PCQ•的面积为

RtAACB面积的一半.

第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程

学习目标：

1、知识与技能：能够熟练地、灵活地应用配方法解一元

二次方程。

2、能力培养：进一步体会转化的数学思想方法来解决实

际问题。

3、情感与态度：培养观察能力，运用所学旧知识解决新

问题。

重点：掌握配方法解一元二次方程。

2难点：把一元二次方程转换为(x+m)=n(n>0)

【预习案】

熟练掌握解一元二次方程的两种方法。

1、解下列方程：

(1)(2-x)=3(2)(x-2)=64(3)2(x+1)=22

2、用配方法解方程：

222(1)x-6x-40=0(2)x-6x+7=0(3)x+4x+3=0(4)x-

8x+9=0(5)x-22x=2

【探究案】

探究点1：如何用配方法解较复杂的一元二次方程

例1.用配方法解下列方程：

(l)x(2x-5)=4x-10(2)x+5x+7=3x+l1

探究点2：用配方法解生活中一元二次方程

例2.绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面

积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那

么绿地的长应是多少米？

解:设绿地的宽是x米，则长是(x+10)米，根据题意得:

x(x+10)=900.

整理得

配方得

解得

由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是

米.

当堂训练：

2

米，于是绿地的长是解下列方程：

221、2x+5x-3=02、3x-4x-7=0

223、5x-6x+l=04、x+6x=l

【训练案】

1、(1)x-4x+=(x-)；(2)x-

2

222x+=(x-)

2

2

2、方程x-12x=9964经配方后得(x-)二

23、方程(x+m)=n的根是

224、当x=-l满足方程x-2(a+1)x-9=0时，a=

2m+15、已知：方程(m+1)x+(m-3)x-l=O,试问:

(1)m取何值时，方程是关于x的一元二次方程，求出

此时方程的解；

(2)m取何值时，方程是关于x的一元一次方程？

6、方程y2-4=2y配方，得()

A.(y+2)2=6B.(y-1)2=5

C.(y-1)2=3D.(y+1)2=-3.

7、已知m2-13m+12=0,则m的取值为()

A.1B.12

C.-1和-12D.1和12

221、关于x的一元二次方程(a+1)x+3x+a-3a-4=0的一

个根为，则a的值为()A、-1B、4C、-1或4D、

1

222、不论x、y为什么实数，代数式x+y+2x-4y+7的值()

A、总不小于2B、总不小于7C、可为任何实数D、

可能为负数

2.3用公式法求解一元二次方程

第1课时用公式法求解一元二次方程

学习目标：

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法

的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.

22.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引

入ax+bx+c=O(ar)♦的求根公式的推导公式，并应用公式法

解一元二次方程.

重点：求根公式的推导和公式法的应用.

难点：一元二次方程求根公式法的推导

【预习案】

学前准备

(学生活动)用配方法解下列方程

22(1)6x-7x+l=0(2)4x-3x=52

总结用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

【探究案】

探究点1:如何用公式法来解一元二次方程.

21如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=O(a^),

你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成

下面这个问题.

我们来讨论一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=O(a^O)

因为a，，方程两边都除以a,得

x2+x+=

移项，得x+x=—2

配方，得x+2・x・2+()=()—22

即(x+)=

22

2

Va^,.\4a>,当b—4acN时，直接开平方，得

x+=±

.*.x=-±,

即x=

2

由以上研究的结果，得到了一元二次方程2乂+6乂+©=的

求根公式：

即x二

利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c

的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.

探究点2：公式法中根与判别式之间的关系.

一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一

次项系数及常数项有关吗？有什么关系？通过解下列方程你有

什么发现？

222(1)x+x-l=O(2)x-2x+3=0(3)2x-2x+l=0

小结

2(1)当b—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

2(2)当b—4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

2(3)当b-'4acvO时，方程没有实数根.

22把b—4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=O的根的判别式

2注：(1)当b—4acN时，方程的根的情况如何叙述？

(2)上述的叙述：反过来也成立.

例1.不解方程，判别下列方程的根的情况：

222(1)2x+3x-4=0；(2)1.6y+0.9=2.4y；(3)5

(x+1)—7x=0.例2:解下列方程

(1)2x+x—6=0(2)4x+4x+10=1-8x22

【训练案】

1用适当的方法解下列方程：

2(1)4x-3x-l=x-2(2)3x(x-3)=2(x-l)(x+l)

22一元二次方程ax+bx+c=0(a#)的求根公式是

,条件是.

3当x=时，代数式x-8x+12的值是-4.

224关于x的一元二次方程(m-1)x+x+m+2m-3=0有一

根为，则m的值是.

25方程x—5x—1=0()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D。无法确定

6当a取什么值时，关于的方程

关于的方程

有两个相等的实数根？当a取什么值时，

2

有两个不相等的实数根？当a取什么值时，关于的方程

没有实数根？

第2课时利用一元二次方程解决面积问题

学习目标：

1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中

的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻

画现实世界的一个有效数学模型。

2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体

验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己的数学

应用能力。

3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑

和激发思考的习惯。

【预习案】

知识准备

解方程，并叙述解一元二次方程的解法。

【探究案】

探究点：利用一元二次方程解决面积问题

小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大

小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

2(1)如果要求长方体的底面面积为81cm,那么剪去的

小正方形边长为多少？

(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那

么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的

体积又会发生什么样的变化？

问题：1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板

中的什么量有关系？

(长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关

系)

2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存

在什么关系？

(长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减

去剪去的小正方形边长的2倍)

3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的

小正方形的边长。解：设剪去的正方形边长为

因为正方形硬纸板的边长为

,依题意得：

，，，

。，所以剪去的正方形边长为

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？

求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一

样；体积为）5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪

去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又

会发生什么样的变化？

6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体

积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折

合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点,

看看与你的感觉是否一致。

例1.如图，的边，高，长方形DEFG的一边EF落在BC

上，顶点D、

,试求这长方形的边长。G分别落在AB和AC上，如果

这长方形面积

【训练案】

1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼

成，则每个小长方形的面积为（

）

A.400cmB.500cmC.600cmD.4000cm

2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金

色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的

面积是5400cm,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程

是()

2

2222

A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-

1400=0D.x2-65x-350=03.如图，面积为30m的正方形的四个

角是面积为2m的小正方形，用计算器求得a的长为(保留3

个有效数字)()

22

A.2.70mB.2.66mC.2.65mD.2.60m

4.如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三

面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为

35m,所围的面积为150m,则此长方形鸡场的长、宽分

别为.2

5、某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,

断面面积为1.6m,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多

0.4m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

(2)如果计划每天挖土48m,需要多少天才能把这条渠

道挖完？

6、学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的

长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.

(1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的

面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给

出你认为合适的三种不同的方案.

(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，

长方形花圃的面积能否增加2平方

3

2

米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请

说明理由.

2.4用因式分解法求解一元二次方程

学习目标：

1.了解因式分解法的解题步骤；

2.能用因式分解法解一元二次方程。

重点：应用因式分解法解一元二次方程

难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟

用因式分解法使解题简便.

【预习案】

1、(1)将一个多项式(特别是二次三项式)因式分解，

有哪几种分解方法？

(2)将下列多项式因式分解

22222①3x—4x②4x—9y③x—6xy+9y

®(2x+l)+4(2x+1)+42

【探究案】

探究点1：适合用因式分解法解一元二次方程的特点

(1)上面两个方程中常数项为

(2)等式左边的各项有共同因式都可以因式分解：

象这样的方程又有一种方法解一元二次方程

探究点2：用因式分解法解一元二次方程

上面两个方程都可以写成：

(1)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因为两个因式乘积要等于，至少其中一个因式要等于，也

就是(1)x=0或2x+l=0,所以x

1

=0,x

2

(2)3x=0或x+2=0,所以x

1

=0,x

2

=-2.

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用

开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等

于的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次，这种

解法叫做因式分解法.

例1.解方程

22(1)4x=llx(2)(x-2)=2x-4(3)x(x-2)+x—2=0

自我测试

1.用因式分解法解下列方程.

(1)3y-6y=0(2)25y-16=0(3)x-12x-28=0

(4)x-12x+35=0(5)(2x-l)—x=0(6)x+3—x

(x+3)=02.下面一元二次方程解法中，正确的是().

A.(x-3)(x-5)=10x2,/.x-3=10,x-5=2,.*.x

1

=13,x

2

=7

222

222

B.(2-5x)+(5x-2)=0,・•・(5x-2)(5x-3)=0,Ax

1

2

2,x

2

C.(x+2)+4x=0,/.x

1

=2,x

2

=-2

2D.x=x两边同除以x,得x=l

23.如果不为零的n是关于x的方程x-mx+n=O的根，那

么m-n的值为().

A.-

2

B.-1C.D.1

4.x-5x因式分解结果为；2x(x-3)-5(x-3)因

式分解的结果是.

22.方程(2x-l)=2x-l的根是.

223.二次三项式x+20x+96分解因式的结果为

如果令x+20x+96=0,那么它的两个根是.

【训练案】

1解方程:(D3x(x—1)=2(x—1)(x+1)

(2)(3x-l)-4x=0(3)x-3x-4=0(4)x-7x+6=02222

(5)x+4x-5=0

2.已知(x+y)(x+y-1)=0,求x+y的值.

3.今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽

流感后，打算改建养鸡场，建一个

2面积为150m的长方形养鸡场.为了节约材料，鸡场的

一边靠着原有的一条墙，墙长am,另三边用竹篱围成，如果

篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少？(其中吟20m)

2

4已知9a-4b=0,求代数式22的值.

2.5一元二次方程的根与系数的关系

学习目标

1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二

次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现

关系的过程。

重点：一元二次方程根与系数的关系及简单应用

难点：探索一元二次方程根与系数的关系

【预习案】

利用一元二次方程的相关知识然后完成列任务。

1、一元二次方程

(1)当

(2)当

(3)当

根的判别式为：

时，方程有两个不相等的实数根。

时，方程有两个相等的实数根。

时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，贝I;方程有两个相等

的实数根，

贝心方程没有实数根，贝L

阅读课本49至50页例题以上内容，请你归纳出一元二次

方程根与系的关系，然后完成下列任务。

2、先判断下列方程根的情况然后解出下列有解方程的两

根，再完成：

①求出每个方程的两根和、两根积；

②求出各方程中一次项系数与二次项系数的商的相反数和

常数项与二次项系数的商。

(1)x-2x+l=0(2)x-2

2

22x-l=0(3)2x-3x+l=02

3、写出一元二次方程ax+bx+c=O(a#))的求根公式，并计

算出两根和、两积。想一想，一元二次方程根与系数有怎样的

关系？

4、通过2、3两题的结果，不解方程，利用根与系数的关

系求出下列方程的两根和、两根积。

(1)x2+3x+1=0；(2)3x2-2x-1=0；(3)

2x2+5x=0o

【探究案】

1、提问：一元二次方程根的判别式是什么？

三、自主探究合作释疑

【自主学习一】：在预习的基础上，再次阅读课本49页,

然后独立完成下列问题(6分钟)：

1、写出下列每个方程的二次项系数、一次项系数、常数

项。

(1)x-2x+l=0(2)x-222x-l=0(3)2x-3x+l=0

x-l=O(3)2x-3x+l=O的两根2

2

2、求出方程(1)x2-2x+l=0(2)x2-2

和、两根积。

3、求出每个方程一次项系数与二次项系数的商的相反数

和常数项与二次项系数的商；并比较第2小题的结果，你发现

了什么？

合作探究：P49页，小组共同证