上海高中2022-2023学年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部 B．矩形及其内部 C．圆及其内部 D．椭圆及其内部2．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．3．如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%4．设x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．函数的图象在点处的切线方程为A． B． C． D．6．两个半径都是的球和球相切，且均与直二面角的两个半平面都相切，另有一个半径为的小球与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球和球都外切，则的值为（）A． B． C． D．7．已知随机变量，若，则实数的值分别为()A．4，0.6 B．12，0.4 C．8，0.3 D．24，0.28．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A． B． C． D．9．若，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C． D．10．定积分（）A．0 B． C． D．11．设随机变量ξ~B(2,p), η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=5A．1127 B．3281 C．6512．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式的第项的二项式系数为，则其展开式中的常数项为________.14．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则a的值为.15．已知抛物线：，点是它的焦点，对于过点且与抛物线有两个不同公共点，的任一直线都有，则实数的取值范围是______.16．在北纬圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地间的球面距离为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道更容易及格.（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？18．（12分）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（m为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点，直线l和曲线C相交于，两点，求.19．（12分）已知函数在处的切线的斜率为1．(1)求的值及的最大值；(2)用数学归纳法证明：20．（12分）已知．（1）求函数的单调递增区间与对称轴方程；（2）当时，求的最大值与最小值．21．（12分）已知，均为正实数，求证：.22．（10分）5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论．【详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，∴满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B．【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部．2、A【解析】

求导，并解不等式可得出函数的单调递增区间。【详解】，，令，得或，因此，函数的单调递增区间为，，故选：A。【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数单调区间有以下几种方法：（1）基本性质法；（2）图象法；（3）复合函数法；（4）导数法。同时要注意，函数同类单调区间不能合并，中间用逗号隔开。3、A【解析】

根据得到，得到答案.【详解】，故，故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.故选：.【点睛】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.4、C【解析】

由函数的解析式可得，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案．【详解】因为是函数的零点，由，所以函数的零点所在的区间为，故选C．【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、C【解析】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选C6、D【解析】

取三个球心点所在的平面，过点、分别作、，垂足分别为点，过点分别作，，分别得出、以及，然后列出有关的方程，即可求出的值．【详解】因为三个球都与直二面角的两个半平面相切，所以与、、共面，如下图所示，过点、分别作、，垂足分别为点，过点分别作，，则，，，，，，所以，，等式两边平方得，化简得，由于，解得，故选D．【点睛】本题主要考查球体的性质，以及球与平面相切的性质、二面角的性质，考查了转化思想与空间想象能力，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将空间问题转化为平面问题是解题的关键.7、B【解析】

由，可得，由此列出关于的方程组，从而得出结果。【详解】解：据题意，得,解得，故选B。【点睛】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键。8、B【解析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，..故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题.9、B【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，应选答案B。10、C【解析】

利用微积分基本定理求出即可．【详解】.选C.【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数．11、A【解析】

利用二项分布概率计算公式结合条件Pξ≥1=59计算出【详解】由于ξ~B2,p，则Pξ≥1=1-P所以，η~B4,1=1127【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。12、A【解析】

根据三视图得出几何体为一个圆柱和一个长方体组合而成，由此求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体由圆柱和长方体组合而成，故体积为，故选A.【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查圆柱、长方体体积计算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据第项的二项式系数可知，求出，进而得到展开式的通项公式；令的幂指数为零可知；代入通项公式可求得常数项.【详解】由二项式定理可知，第项的二项式系数：，解得：展开式通项公式为：令，解得：常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够明确二项式系数的定义、二项展开式的通项公式的形式.14、7【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布N（3，4）P（ξ＜2a－3）＝P（ξ＞a＋2），所以与关于对称，所以，所以，所以.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．15、【解析】

设直线的方程为,联立抛物线的方程得出韦达定理,将翻译成关于点,的关系式,再代入韦达定理求解即可.【详解】设直线的方程为,则,设,.则.则由得.代入韦达定理有恒成立.故故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,设而不求利用韦达定理翻译题目条件从而进行运算的方法等.属于中等题型.16、【解析】

设甲、乙两地分别为，地球的中心为，先求出北纬60°圈所在圆的半径，再求A、B两地在北纬60°圈上对应的圆心角，得到线段AB的长，解三角形求出的大小，利用弧长公式求这两地的球面距离.【详解】设甲、乙两地分别为，北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于（为地球半径），（是两地在北纬60圈上对应的圆心角），故.所以线段设地球的中心为，则是等边三角形，所以，故这两地的球面距离是.【点睛】本题考查球面距离及相关计算，扇形弧长和面积是常用公式，结合图形是关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，.(2)时，恰做一道及格概率最大；时，；时，恰做三道及格概率最大.【解析】分析：（1）根据题意得到，；（2）根据题意得到选择概率较大的即可，分且，且，且三种情况.详解：（1），；（2）①且，∴；②且，；③且，无解；综上，时，恰做一道及格概率最大；时，；时，恰做三道及格概率最大.点睛：这个题目考查的是概率的计算以及多项式比较大小的应用,分类讨论的思想.。18、（1），；（2）44【解析】分析：（1）首先将直线的极坐标方程展开后，利用极坐标和直角坐标的转化公式，可求得直线的直角坐标方程.利用代入消元法消去可求得曲线的普通方程.（2）利用直线参数的几何意义，借助根与系数关系，可求得的值.详解：（1）由得，即，∴的直角坐标方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），将的参数方程代入得：，即，∴，∴.点睛：本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查参数方程和普通方程互划，考查利用直线参数的几何意义解题.属于基础题.19、（1）；（2）见证明【解析】

（1）求出函数的导函数，利用即可求出的值，再利用导函数判断函数的增减性，于是求得最大值；（2）①当，不等式成立；②假设当时，不等式成立；验证时，不等式成立即可.【详解】解：（1）函数的定义域为．求导数，得．由已知，得，即，∴．此时，，当时，；当时，．∴当时，取得极大值，该极大值即为最大值，∴；（2）用数学归纳法证明：①当时，左边，右边，∴左边＞右边，不等式成立．②假设当时，不等式成立，即．那么，由（1），知（，且）．令，则，∴，∴．即当时，不等式也成立．根据①②，可知不等式对任意都成立．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的最值，数学归纳法证明不等式，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.20、（1）单调递增区间为，k∈Z．对称轴方程为，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值为2，最小值为–1．【解析】（1）因为，由，求得，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（2）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为–1，当即时，f（x）的最大值为2．21、见证明【解析】

方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加整理即可；方法二：利用作差法证明【详解】解：方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加，得，所以.方法二：.所以.【点睛】本