第七章正则方程课件

§9.1正则方程本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一种形式的动力学方程,即正则方程。---------这种方法称为哈密顿方法（或称哈密顿表述）.------------这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组.第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日方程来研究力学系统的运动.§9.1正则方程本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一1一.勒让德变换

在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换,叫勒襄特变换.设函数,令:一.勒让德变换在方程中,把一组独立自变2------------这是新变量与新函数应满足的方程。以上所述把称为勒让德变换,这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中，从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。二.正则方程------------这是新变量与新函数应满足的方程。以上3第七章正则方程课件4对于哈密顿量：——-哈密顿正则方程,它是一阶微分方程,且形式对称.由于相互独立的,所以对于哈密顿量：——-哈密顿正则方程,它是一阶微分方程,且形式5说明如果L不显含时间,H也不显含时间.思考:正则方程是否适用任何系统?正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系.结合初始条件,得到描述力学系统运动状态的运动方程:说明如果L不显含时间,H也不显含时间.思考:正则方程是否适6[例]

一质量为m的自由质点,受力为位矢,k为大于零的常数.运用正则方程,写出在直角坐标系中质点的运动微分方程。解:取x，y，z为广义坐标。动能为[例]一质量为m的自由质点,受力7代入哈密顿函数的定义式中,得代入哈密顿函数的定义式中,得8将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:得到质点的运动微分方程将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:得到质点的运动微分9应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度,选择适当的广义坐标.2)写出系统相对惯性系的动能和势能,得到并求出广义动量,由此反解出3)通过,并利用得到4)将H代入正则方程中,得出系统的运动方程.应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:检验系统是否是完整的10哈密顿动力学与拉格朗日动力学比较：在拉格朗日动力学中,从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程.而在哈密顿动力学中,必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数,才可写出动力学方程即哈密顿正则方程,所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。哈密顿动力学的优点：1）是便于量子化.如在量子力学中，哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规律；2）在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义速度并不对等,只能对广义坐标进行变换,而广义速度也随之而变.哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换,这个在正则变换时可知其优点.哈密顿动力学与拉格朗日动力学比较：在拉格朗日动力学中11三.哈密顿函数的意义哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它物理学领域，如量子力学中，热力学等。四.正则变量、相空间、正则方程的意义2s个广义坐标和广义动量，统称为正则变量。三.哈密顿函数的意义哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着12由2s个组成的2s维空间称为相空间。相空间中的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在相空间中,利用正则方程可对力学系统进行定性的几何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时.正则方程的意义:它结构简单对称,为后续的力学发展(如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论)奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。由2s个组成的2s维空间称为相空间。相空13五.广义能量积分和广义动量积分1.广义能量积分将正则方程代入上式得:五.广义能量积分和广义动量积分1.广义能量积分将正则方程142.广义动量积分2.广义动量积分15例:试由哈密顿原理导出正则方程.解:由哈密顿原理,得因为H是p,q,t的函数,并且t=0,所以又例:试由哈密顿原理导出正则方程.解