弹性压杆的临界荷载课件

弹性压杆的临界荷载重点：稳定方程的建立边界条件的提出等效为单个压杆

难点：稳定方程的建立边界条件的提出刚度系数的确定弹性压杆的临界荷载重点：稳定方程的建立1一、基本假设二、材料力学中的结果三、简单刚架等效为单压杆稳定的简化分析方法四、弹性压杆的稳定方程的建立，临界荷载的求法

本节内容提要一、基本假设二、材料力学中的结果三、简单刚架等效为单压杆2弹性压杆的临界荷载

一、基本假设1.理想的中心受压直杆

2.材料在弹性范围内，服从虎克定律

3.屈曲变形微小，PKMPKM无限刚性杆的受压计算PPljKM弹性杆的受压计算弹性压杆的临界荷载一、基本假设1.理想的中心受压直杆3μ为长度系数，μL为相当长度。

欧拉公式：

μ=2.0μ=1.0μ=0.7μ=0.5二、材料力学中的结果

μ为长度系数，μL为相当长度。欧拉公式：μ=2.0μ=4xyM(x)Plj推导欧拉公式已知，下端铰为什么没有水平约束力？yxPljL/2L/2δyxxyM(x)Plj推导欧拉公式已知，下端铰为什么没有水平5方程的解：A、B

为待定系数，与边界条件有关。

yxPljL/2L/2δyx代入方程，得：（n=1，2，3，...，）n=1时得：

方程的解：A、B为待定系数，与边界条件有关。yxPl6三、简单刚架等效为压杆稳定的简化分析方法

EIEIEIPP例1正对称失稳时的半结构P等效为单个压杆P三、简单刚架等效为压杆稳定的简化分析方法EIEIEIPP例7EIEIEIPP

P反对称失稳时的半结构P等效为单个压杆例2

PABABPEIEIEIPPP反对称失稳时的半结构P等效为单个压杆例28例3EI1=∞EIPPKNKNPKN或例3EI1=∞EIPPKNKNPKN或9例4PPP正对称失稳时的半结构等效压杆P

PP例4PPP正对称失稳时的半结构等效压杆PPP10例4PP反对称失稳时的半结构PPKMPKM或PP例4PP反对称失稳时的半结构PPKMPKM或PP11例5

PPKMKM反对称失稳PPPKMKM例5PPKMKM反对称失稳PPPKMKM12正对称失稳PPPKMKMPPKMKM正对称失稳PPPKMKMPPKMKM13四、弹性压杆的稳定方程，临界荷载

例题1上端无转角但可侧移，弹簧铰刚度KM

，杆的刚度为EI，杆长L，求临界荷载。

PM（x）yKMA解：①建立图示坐标系，设A端转角为θ，x处的挠度y，B端的侧移为δPKMBAyxyPδAθ②取x截面以下为研究对象，∑Mx=0，M（x）+KMθ=Py

四、弹性压杆的稳定方程，临界荷载例题1上端无转角14M（x）+KMθ=Py以代入方程中③方程通解：yxyPδAθ④边界条件：ⅰ）当x=0时，y=0，得：

ⅱ）当x=0时，，得：Bk=θⅲ）当x=L时，，得：M（x）+KMθ=Py以代入方程中③方程通解：yx15⑤求解稳定方程

边界条件中的A、B、θ有非零解，其系数行列式D=0

⑤求解稳定方程边界条件中的A、B、θ有非零解，其系数行列式16

讨论：

①当KM=∞时，原来结构的稳定问题就是：下端固定，上端可滑动

取n=1得：

此时压杆的长度系数为1

PKMBA讨论：①当KM=∞时，原来结构的稳定问题就是：下端固定，17②当KM=0时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动

取n=1得临界荷载

此时压杆的长度系数为2

②当KM=0时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动18例题2求图示结构体系的稳定方程，求出临界荷载。

HH/2PEIABC∞解：设C处的水平位移δ，A处的转角θ，画出失稳模态

θxyyδP取整体为研究对象，求得A处的水平约束力Pδ/H再取x截面以下为研究对象，如图。

xyM（x）HAP例题2求图示结构体系的稳定方程，求出临界荷载。HH19xyM（x）HAP取x截面为力矩中心边界条件：

θxyyδPxyM（x）HAP取x截面为力矩中心边界条件：θxyyδ20弹性压杆的临界荷载课件21kf(k)0.83-2.5634099610.84-2.4222202250.85-2.2436909720.86-2.0141521230.87-1.7124015020.88-1.3036762190.89-0.7267314270.90.1373320550.911.5538282610.924.2601748960.9311.357669870.9476.012762970.95-31.325414230.96-16.184870650.97-12.070931540.98-10.167493070.99-9.0790556181-8.3805150061.01-7.898587089H=5m，kH=0.895*5=4.475tankH=kH，=0.7kf(k)0.83-2.5634099610.84-2.4222例题3

EI1=∞EIHHPABC解：做出失稳模态取BC为研究对象∑MB’=0，Pδ=HCH得

yxyM（x）PδPHCδ例题3EI1=∞EIHHPABC解：做出失稳模态取BC为23yxyM（x）PδM（x）yHCP取x坐标以上为研究对象，∑Mx=0，得：

yxyM（x）PδM（x）yHCP取x坐标以上为研究对象，24方程的特解：

方程的通解：

方程的特解：方程的通解：25例题4

L/2L/2L/2LPEIAB等效单个压杆KNP刚度法求KN1KN解：1）等效压杆如图所示

KN可由刚度法求得

KN也可由柔度法求得

P=1L/2LL/2柔度法求KN例题4L/2L/2L/2LPEIAB等效单个压杆KNP刚度262）建立稳定方程yHxyPABδ设B处的侧移为δ，弹簧的约束力H=KNδ（向左），A支座的水平约束力KNδ（向右）取x截面以下为研究对象，∑Mx=0，得：

KNδPM（x）y2）建立稳定方程yHxyPABδ设B处的侧移为δ，弹簧的约273）方程的解

稳定方程

等效单个压杆KNP边界条件3）方程的解稳定方程等效单个压杆KNP边界条件28例题5具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。

K1K2K3PEI,LPθ1

yxθ2M1M2Hδ失稳模态解：失稳模态如图。上端水平位移δ，转角θ2

；下端转角θ1

M1=K1θ1

，M2=K2θ2

，H=K3δ

例题5具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。K1K2K29取整体为研究对象，∑MA=0

Pθ1

yxθ2M1M2Hδ失稳模态A取x截面上端为研究对象，∑Mx=0

δyHPM2M(x)X截面以上隔离体取整体为研究对象，∑MA=0Pθ1yxθ2M1M2Hδ30令边界条件：

①当x=0，

由y=0，得：

---------(1)由

，得---------(2)令边界条件：①当x=0，由y=0，得：-------31②当x=L时

由，得：----------(3)由（逆时针转角），得：--------------(4)(1),(2),(3),(4)是关于A、B、δ、θ2

的齐次方程组

稳定方程②当x=L时由，得：-------32讨论

①K2=∞，K3=0时，θ2=0，原结构问题变为

PKMBA这便是例题1

讨论①K2=∞，K3=0时，θ2=0，原结构问题变为P33②若K1=∞，K3=∞（此时δ=0），K2=0，则压杆变为：

PEI,L----(1)----(2)----(3)----(4)以δ=H/K3代入（1）、（2）式中，再联合（3）得②若K1=∞，K3=∞（此时δ=0），K2=0，则压杆变为：34关于A,B,H的齐次方程组，其系数行列式=0关于A,B,H的齐次方程组，其系数行列式=035PEI,L或，直接求临界荷载Pxy设下端的弯矩为MHM取x截面以上为研究对象MxHPPEI,L或，直接求临界荷载Pxy设下端的弯矩为MHM取36PxyHM边界条件：PxyHM边界条件：37③若K1=∞，K2=0，则压杆变为：

PEI,L③若K1=∞，K2=0，则压杆变为：PEI,L38或，直接求临界荷载PEI,LPxyPMx边界条件：或，直接求临界荷载PEI,LPxyPMx边界条件：39300300C30混凝土柱受压，L=8,10,12米PEA=∞PEI,LK3K3=118.6,60.75,35.2kN/m算例：300300C30混凝土柱受压，L=8,10,12米PEA=40P8=1559kN,=1.41P10=1002kN,=1.41P12=674kN,=1.43300*300抗压设计值1287kNC30混凝土柱，300*300，L=8,10,12米L=8mL=10mL=12m抗压标准值：1801kNP8=1559kN,=1.41P10=1002kN,41规范中轴心受压柱的正截面承载力，一般要求以8、10米长，300*300截面柱为例，假定配置4根22钢筋规范计算L0L0/bNu理论计算未考虑钢筋10米柱14.1米470.21329kN1002kN

标准值1801kN

8米柱

11.28米37.60.36564kN1559kN两端固定1033.30.36564设计值1287材料分项系数1.4826.70.50783规范中轴心受压柱的正截面承载力，一般要求以8、10米长，3042④若K1=0，K2=0，压杆变为：

K3PM(x)K3δPδxy失稳模态K3δδP取下部分为研究对象，

④若K1=0，K2=0，压杆变为：K3PM(x)K3δP43边界条件：x=0，y=0得：A=0

-------------(1)x=L，y=δ得：

---------------(2)再由整体平衡：Pδ=K3δL---------------（3）

边界条件：x=0，y=0得：A=0---------44由sinkL=0，得：

称为挠曲失稳

K3P挠曲失稳

由P-K3L=0，得：称为侧倾失稳K3P侧倾失稳由sinkL=0，得：称为挠曲失稳K3P挠曲失稳45⑤若K2=0，K3=∞（此时δ=0），压杆变为：

K1PEI,L⑤若K2=0，K3=∞（此时δ=0），压杆变为：K1PEI46K1PEI,L或，直接求临界荷载K1PxyHPPHyMxPH边界条件：K1PEI,L或，直接求临界荷载K1PxyHPPHyMx47⑥若K2=0，K3=0，压杆变为

K1PEI,L⑥若K2=0，K3=0，压杆变为K1PEI,L48或，直接求临界荷载K1PEI,LK1PyxPMx边界条件：或，直接求临界荷载K1PEI,LK1PyxPMx边界条件49⑦若K2=∞，K3=∞，压杆变为

K1PθyK1PEI,LPHM(x)yK1θ⑦若K2=∞，K3=∞，压杆变为K1PθyK1PEI,50边界条件：

K1Pθy关于A，B，，H,的齐次方程边界条件：K1Pθy关于A，B，，H,的齐次方程51⑧K3=∞，压杆变为

K1K2K3PEI,LK1K2PHP⑧K3=∞，压杆变为K1K2K3PEI,LK1K2PHP52PHyxyK1K2PPHyxyK1K2P53弹性压杆的临界荷载课件54例题5桥墩与刚性基础失稳时将绕C点转动，设地基抗转刚度KM

，试建立稳定方程。

PHaCEIKMCH