新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件

1.4空间向量的应用1.4.2

用空间向量研究距离、夹角问题第2课时夹角问题1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问课程标准学法解读1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．1．理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角．(空间想象，数学运算)2．理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角．(空间想象，数学计算)3．理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．(空间想象，数学计算)课程标准学法解读1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．1．理平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中______________的二面角称为平面α与平面β的夹角．不大于90°

知识点1两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我知识点2空间角的向量法解法|cos〈u，n〉|

知识点2空间角的向量法解法|cos〈u，n〉|题型探究题型一利用向量方法求两异面直线所成角

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．[分析]

建立空间直角坐标系，求出直线EF和BC1的方向向量的坐标，求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角．典例1题型探究题型一利用向量方法求两异面直线所成角

如图新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件[规律方法]

1．利用空间向量求两异面直线所成角的步骤．(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标．(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角．(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件C

C[解析]

如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．令AC＝BC＝C1C＝2，则A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)．令θ为AN，BM所在直线成的角，[解析]如图，分别以C1B1、C1A1、C1C为x、y、z题型二利用向量方法求直线与平面所成角

如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．典例2题型二利用向量方法求直线与平面所成角

如图所示，四[分析]

(1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB．(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值．新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件[规律方法]

若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：[规律方法]若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的【对点训练】❷如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C

与平面BB1C1C所成角的正弦值．【对点训练】❷如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝C[解析]

(1)取AB中点O，连接CO、A1B、A1O，∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，∴AB⊥A1C．新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件题型三利用向量方法求两个平面的夹角

如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．典例3题型三利用向量方法求两个平面的夹角

如图，在正方体[分析]

有两种思路，一是先根据二面角平面角及两个平面夹角的定义，在图形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出向量夹角从而得到两平面夹角的大小；另一种是直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得两平面夹角的大小．[分析]有两种思路，一是先根据二面角平面角及两个平面夹角的新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM∥PD．又∵EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EM∥平面PAD．∵EM∩BM＝M，EM，BM⊂平面BEM．∴平面BEM∥平面PAD．∵BE⊂平面BEM，∴BE∥平面PAD．新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件(2)连接AC，交BD于点O，连接PO，由对称性知，O为BD的中点，且AC⊥BD．∵平面PBD⊥平面ABCD，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，PO＝AO＝1，CO＝3．(2)连接AC，交BD于点O，连接PO，由对称性知，O为BD新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件易错警示

正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值．典例4易错警示正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的[错解]

∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD，∴取D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．[错解]∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD，新教材人教A版高中数学选择性必修第一册142-第2课时-夹角问题-教学课件[辨析]

错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负，二是计算粗心．[正解]

解法一：由已知CD⊥AD，CD⊥BD，∴∠ADB就是直二面角A－CD－B的平面角