第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)课件

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.2.3

隐函数及其微分法

6.2多元函数微分法

第6章多元函数微分学中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.2.36.2.3隐函数及其微分法隐函数及其微分法内容小结思考题一个方程所确定的隐函数及其导数方程组所确定的隐函数组及其导数方程确定的隐函数及求导习例2-5方程组确定的隐函数及求导习例6-116.2多元函数微分法

6.2.3隐函数及隐函数及其微分法内容小结思考题一个方程所一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数在点的某一邻域内满足则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个②③满足条件导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数在点的某一两边对x求导在的某邻域内则两边对x求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在单值可且并求例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)ppt课件两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此定理2.

注意:(1)证明从略,求导公式推导如下:定理2.注意:(1)证明从略,求导公式推导如下:(3)也可求二阶偏导.(3)也可求二阶偏导.方程确定的隐函数及求导习例方程确定的隐函数及求导习例例2.设解法1

利用隐函数求导再对x求导例2.设解法1利用隐函数求导再对x求导解法2

利用公式设则两边对x求偏导解法2利用公式设则两边对x求偏导例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1

利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏对方程两边求微分:解法2

微分法.对方程两边求微分:解法2微分法.解法1解法1代入所证等式的左边即可得结论.代入所证等式的左边即可得结论.解法2等式两边对x求偏导得：代入所证等式左边即可得结论成立.解法2等式两边对x求偏导得：代入所证等式左边即可得结论成立.解法1解法1解法2解法2解法3利用两边全微分也可得到所求.解法3利用两边全微分也可得到所求.二、方程组所确定的隐函数组及其导数在此举例说明求偏导的方法,方程组确定的隐函数一般有以下几种情形:确定了两个一元函数.确定了两个二元函数.确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.二、方程组所确定的隐函数组及其导数在此举例说明求偏导的方法,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数定理证明略.仅推导偏导数公式如下：定理证明略.仅推导偏导数公式如下：有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内故得系数行列式有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P的某邻域内故得同样可得同样可得方程组确定的隐函数及求导习例方程组确定的隐函数及求导习例第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)ppt课件解1方程组两边对x求导，并移项得练习:求答案:由题设故有解1方程组两边对x求导，并移项得练习:求答案:由题设故解2方程组两边对x求导得解2方程组两边对x求导得解(1)令解(1)令①式两边对x求导,得则有由定理3可知结论1)成立.2)求反函数的偏导数.①②①式两边对x求导,得则有由定理3可知结论1)成从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得解确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.方程组两边对y求偏导得解确定了一个以u,v为中间变量方程组两边对y求偏导得同样地:同样地:解解解解解方程组两边对x求偏导得解方程组两边对x求偏导得内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)思考题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.

设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此思考题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.2.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(99考研)2.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方解法2

微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏