2022-2023学年云南省曲靖市麒麟区天人高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年云南省曲靖市麒麟区天人高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z=5+3A.z的虚部为4i B.z的共轭复数为1−4i

C.|2.已知不同直线l、m与不同平面α、β，且l⊂α，m⊂βA.若α/​/β，则l/​/m B.若α⊥β，则l⊥m3.已知向量AB=(−1,2)，A.5 B.42 C.6 4.在某拍卖会上成交的唐代著名风鸟花弃纹浮雕银杯如图1，银杯由杯托和盛酒容器两部分组成，盛酒容器可近似地看成由圆柱和一个半球组成，盛酒容器的主视图如图2.若AB=6，AC=3，则该容器的容积A.45π B.50π C.60π5.在△ABC中，b=8，c=3A.1963 B.196π3 C.496.如图，已知四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCDA.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC

C.7.如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于北偏西15°，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于北偏西60°方向，则A，B两亭子间的距离为(

)A.503米 B.506米 C.1008.如图，在△ABC中，AN=12AC，P是BA.14

B.1

C.12

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设向量a=(−1,1A.|a|=|b| B.(a−b)10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(

)A.圆柱的侧面积为4πR2 B.圆锥的侧面积为5πR11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1、中，M，NA.MN/​/AD1 B.PM与AA1是异面直线

12.在△ABC中，AB=3，ACA.32 B.1 C.3三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(−1,1)，b=(14.若复数z=m2+m+(m15.已知a=(4,−1)，b=(−16.如图1，在一个正方形S1S2S3S4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S1，S2，S3，S4重合于点S，且折叠后的四棱雉S−AB四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知平面向量a=(2,2)，b=(x,−1)．

(Ⅰ)若a/​/18.(本小题12.0分)

(1)球O的半径长为103，求球O的表面积；

(2)已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为3，求这个正四棱锥的体积；

(3)已知长方体的长、宽、高的比是319.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=14，b=2，sinC=2s20.(本小题12.0分)

在四棱锥中P−ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=2，PA⊥PD，E21.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=13,a=42．

(122.(本小题12.0分)

如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC−A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点.求证：

(1

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，然后逐一核对四个选项得答案．

【解答】

解：∵z=5+3i1−i=(2.【答案】C

【解析】解：对于A，因为α/​/β，l⊂α，m⊂β，所以l与m的位置关系为平行或异面，故错误；

对于B，因为α⊥β，l⊂α，m⊂β，所以l与m的位置关系为平行或异面或相交，故错误；

对于C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β，故正确；

对于D，因为α⊥β，m⊂β，只有m垂直于α与β的交线的时候，才能得出m3.【答案】A

【解析】解：向量AB=(−1,2)，BC=(x,−5)，若AB⋅BC=−7，可得4.【答案】A

【解析】解：由题知：半球的半径R=3，圆柱的高h=3，

则容器的容积V=V圆柱+V5.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．

由b，c及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，由a，sinA的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径R，即可求出此三角形外接圆的面积．

【解答】

解：∵b=8，c=3，A=60°，

∴由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccos6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了面面垂直的判定；一般地，要证面面垂直，只要证线面垂直，进一步只要证线线垂直，体现了转化的思想．

利用面面垂直的判定定理，对四个选项分别分析选择．

【解答】

解：对于A，因为已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，

所以PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故A正确；

对于B，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，

所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面7.【答案】B

【解析】解：由题意，可得∠ACD=30°，∠ADC=105°，∠BDC=45°，

∴∠DAC=45°，∠ADB=60°．

在等腰直角△BCD中，CD=100，

∴BC=100,BD=1002．

在△ACD中，由正弦定理得1008.【答案】C

【解析】解：∵，AN=12AC，所以AC=2AN，

∴AP=mAB+14AC=mAB+12AN，因为B，P，N三点共线，

∴m+12=19.【答案】CD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量平行、向量垂直、向量夹角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

分别求出两个向量的模，判断A；求出a−b判断B；求出a−b，求得(a−b【解答】解：向量a=(−1,1)，b=(0,2)，

对于A，|a|=2，|b|=2，故A错误；

对于B，a−b=(−1,−1)，与a不平行，故B

10.【答案】AB【解析】解：依题意球的表面积为4πR2，

圆柱的侧面积为2π×R×2R=4πR2，所以AC选项正确．

圆锥的侧面积为π×R×R2+11.【答案】AB【解析】解：连接AC，A1C1，BD，BC1，

对于A，∵M，N分别为CC1，BC中点，∴MN/​/BC1，

又BC1/​/AD1，∴MN/​/AD1，A正确；

对于B，∵AA1⊂平面ACC1A1，M∈平面ACC1A1，P∉平面ACC1A1，

∴直线PM与AA1为异面直线，B正确；

对于C，由A知：MN/​/AD1，

又AD1⊂平面AB1D1，MN⊄平面AB1D1，

∴MN/12.【答案】AD【解析】解：∵AB=3，AC=1，B=π6，

∴由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，

∴sinC=AB13.【答案】2【解析】解：由于a=(−1,1)，所以|a|=2，

由于b=(3,1)，所以|b|=10，

所以14.【答案】−i【解析】解：因为复数z=m2+m+(m+1)i是纯虚数，其中m是实数，

所以：m2+m=0且m+1≠0；

故m=0；

故15.【答案】−6【解析】【分析】

本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

先求出λa−b=(4λ+2,−解：∵a=(4,−1)，b=(−2,0)，

∴λa−b=(4

16.【答案】163【解析】解：在图2中，连接AC，BD交于点O，则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，

设其为x，则外接球的半径是OA=22x，

所以4π(22x)2=16π,x=22，

因此SO=OA=22x17.【答案】解：(Ⅰ)平面向量a=(2,2)，b=(x,−1)

若a/​/b，则2×(−1)−2x=0，

解得x=−1【解析】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题．

(Ⅰ)由平面向量的共线定理列方程求出x的值；

(Ⅱ)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出x，再计算a与b所成夹角的余弦值．

18.【答案】解：(1)由于球O的半径长为103，

则其表面积为S=4πR2=4π⋅(103)2=1200π；

(2)顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心，如图所示；

正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为3,PE=3，

所以正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为2，

∴该正四棱锥的高长度为：O【解析】(1)根据球的表面积公式直接求解即可；

(2)先求得正四棱锥的侧棱长以及底面边长，再求得高，最后根据棱锥的体积公式求解即可；

(3)设长、宽、高分别为3x，2x19.【答案】解：(1)因为sinC=2sinA，

所以由正弦定理可得c=2a，

又cosB=14，b=2，

所以由余弦定理可得：

b2=a2+(2a)2−【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

(1)由正弦定理化简已知等式可得c=2a，结合已知利用余弦定理即可解得a的值．

(2)由20.【答案】证明：(Ⅰ)连接AC，因为底面ABCD是正方形，F为BD的中点，

则AC∩BD=F，且F为AC的中点．

在△PAC中，E为PC的中点，

∴EF/​/PA．

又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF/​/平面PAD．

解：(Ⅱ)解法一：取AD中点O，连接OP，

∵PA=PD，∴OP⊥AD．

又侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴OP⊥平面ABCD．

∵PA=PD=2，PA⊥PD，

∴【解析】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．

(Ⅰ)连接AC，则AC∩BD=F，EF/​/PA，由此能证明EF/​/平面PAD．

(Ⅱ)法一：取AD21.【答案】解：(1)∵cosA=13，