湖南省常德市安生中学2021年高二数学文联考试题含解析

湖南省常德市安生中学2021年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.观察下列算式：，，,,,,,,……用你所发现的规律可得的末位数字是()A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：D【分析】通过观察可知，末尾数字周期为4，据此确定的末位数字即可.【详解】通过观察可知，末尾数字周期为，，故的末位数字与末尾数字相同，都是8．故选D．【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

2.下列说法中正确的个数是（）（1）“m为实数”是“m为有理数”的充分不必要条件；（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；（4）“A∩B=B”是“A=?”的必要不充分条件；（5）“α=kπ+π，k∈Z”是“sin2α=”的充要条件．A．0 B．2 C．1 D．3参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用充要条件判断5个命题的真假即可．【解答】解：（1）“m为实数”是“m为有理数”的必要不充分条件；所以原判断是不正确的；（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；反例：a=0，b=﹣1，a＞b推不出a2＞b2，所以命题不正确；（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的充分不必要条件；所以原判断不正确；（4）“A∩B=B”是“A=?”的既不充分也不必要条件；所以原判断不正确；（5）“α=kπ+π，k∈Z”是“sin2α=”的充分不必要条件．所以原判断不正确；正确判断个数是0．故选：A．3.（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．360参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由于（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，故（+）10展开式的通项公式为Tr+1=?2r?，令5﹣=0，求得r=2，∴展开式中的常数项是?22=180，故选：A．4.抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y参考答案：B【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=，∴=，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．5.已知命题p：?x0∈R，x+1＞0，则￢p为（）A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0 C．?x∈R，x2+1＜0 D．?x∈R，x2+1≤0参考答案：D【考点】2J：命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：?x0∈R，x+1＞0，则￢p为：?x∈R，x2+1≤0．故选：D．6.双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程是(

)．(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B7.若直线x﹣2y=0与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B．5 C． D．25参考答案：C【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，直接用圆心到直线的距离等于半径求得答案．【解答】解：由（x﹣4）2+y2=r2（r＞0），可知圆心坐标为（1，0），半径为r，∵直线与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，由圆心到直线的距离d==，可得圆的半径为．故选：C．8.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（

）

A．45°

B．60°

C．90°

D．120°参考答案：B略9.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若是钝角三角形，则双曲线的离心率范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.当时，与的关系为(

)A.

B.

C.

D.大小关系不确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数，，若对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为．那么函数，在上的几何平均数__________．参考答案：【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数，，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为．我们易得若函数在区间上单调递增，则应该等于函数在区间上最大值与最小值的几何平均数，由，，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数在上的几何平均数为的定义，由于的导数为，在内，则在区间单调递增，则时，存在唯一的与之对应，且时，取得最小值1，时，取得最大值，故．故答案为：．12.已知函数f（x）=x2+ex，则f'（1）=．参考答案：2+e【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，结合函数的导数公式进行计算即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+ex，则f′（1）=2+e，故答案为：2+e．13.已知椭圆（）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的取值范围为

.参考答案：14.已知M={(x,y)|x2+y2=1,0<y≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b∈R}，并且M∩N≠?，那么b的取值范围是_____________.参考答案：-1<b≤略15.在同一平面直角坐标系中，由曲线y=tanx变成曲线y′=3tan2x′的伸缩变换

．参考答案：【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y′=3tan2x′化为=3tan2x′，由函数y=tanx变成函数=tan2x′，应满足，即得变换公式x′与y′的表达式．【解答】解：函数y′=3tan2x′即=tan2x′，将函数y=tanx变成函数y′=3tan2x′，即=tan2x′，故有，即伸缩变换是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象变换问题，解题时应熟知坐标变换公式，是基础题目．16.曲线y=2x3－3x2共有________个极值.参考答案：2略17.某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在120分以上有

人.参考答案：考点：正态分布的性质及运用．【易错点晴】正态分布是随机变量的概率分布中最有意义最有研究价值的概率分布之一.本题这个分布的是最优秀的分布的原因是从正态分布的图象来看服从这一分布的数据较为集中的分分布在对称轴的两边,而且整个图象关于对称.所以解答这类问题时一定要借助图象的对称性及所有概率(面积)之和为这一性质,否则解题就没了思路,这一点务必要学会并加以应用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤．(1)若cosα＝，求证：⊥；(2)若∥，求sin(2α＋)的值．参考答案：(1)法一：由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)，所以·＝(－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2＝－cosα＋cos2α＋sin2α＝－cosα＋1.因为cosα＝，所以·＝0.故⊥.法二：因为cosα＝，0≤α≤，所以sinα＝，所以点P的坐标为(，)．所以＝(，－)，＝(－，－)．·＝×(－)＋(－)2＝0，故⊥.(2)由题设，知＝(－cosα，－sinα)，＝(－cosα，－sinα)．因为∥，所以－sinα·(－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0.因为0≤α≤，所以α＝0.从而sin(2α＋)＝．19.（本小题满分10分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点的坐标为，离心率为．直线与椭圆交于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的右焦点恰好为的垂心，求直线的方程．参考答案：（Ⅰ）设椭圆的方程为，则由题意知．所以，解得．所以椭圆的方程为．

…………4分（Ⅱ）易知直线的斜率为，从而直线的斜率为．设直线的方程为，，，，由得.根据韦达定理，，.于是解之得或.当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．所以，当且仅当直线的方程为时，点是的垂心.

………10分20.已知定义在实数集上的函数，其导函数记为，且满足：

(其中为常数).

（1）试求的值；

（2）设函数的乘积为函数的极大值与极小值.参考答案：

略21.如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.参考答案：1）证明：因为平面，所以。因为为△中边上的高，所以。

因为，

所以平面。（2）连结，取中点，连结。

因为是的中点，

所以。

因为平面，所以平面。则，

。（3）证明：取中点，连结，。

因为是的中点，所以。因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。因为，

所以。因为平面，

所以。

因为，所以平面，所以平面。22.已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若的外接圆为圆N，试问：当点P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB长度的最小值．参考答案：（1）由题意知，圆M的半径，设，∵PA是圆M的一条切线，∴，∴，解得，∴或．