组合变形及连接部分的计算-材料力学

第八章

组合变形及

连接部分的计算◆

概述◆

两相互垂直平面内的弯曲◆

拉伸（压缩）与弯曲◆

弯曲与扭转◆

连接件的实用计算法◆

铆钉连接的计算◆

榫齿连接§8-1

概述组合变形实际工程中，杆件在外力的作用下所发生的变形常常包括两种或两种以上的基本变形，当这几种基本变形所对应的应力或变形属于同一数量级时，不能忽略其中任何一种基本变形。这类杆件的变形

——组合变形是材料力学的重点内容之一。学习的关键：注意分析问题的方法，掌握分析问题的思路。F偏心压缩FM压-

弯组合变形牛腿FM拉-

扭组合变形螺旋桨F拉-

弯组合变形支臂FxFy传动轴弯-

扭组合变形在小变形、线弹性的条件下：可用叠加原理求解组合变形问题。①对荷载进行分解或简化，使得杆件在每一组荷载作用下只产生一种基本变形；②计算每一组荷载单独作用下的应力和变形；③由叠加原理求出杆件在组合变形下的应力和变形。小变形计算按杆件原始形状和尺寸连接件工程中的杆件或构件由几部分连接而成铆钉在连接部位，起连接作用的部件销钉螺栓榫杆件安全：①杆件整体安全；②联接件本身安全。焊接键

连接件横截面或被连接杆件在连接处的应力分布很复杂，工程中大多采用“实用计算方法”：①对连接件的受力和应力分布进行简化，计算名义应力；②对同类连接件进行破坏实验，并采用同样的计算方法，由破坏荷载确定材料的极限应力。而且很大程度上还受到加工工艺的影响，要精确分析应力比较困难，也不实用。§8-2

两相互垂直平面内的弯曲梁具有一个纵向对称面外力作用在纵向对称面内梁变形后的轴线也位于外力所在的平面（即纵向对称面）内对称弯曲CzyF平面弯曲梁具有两个纵向对称面双向弯曲斜弯曲F1F2两个横向外力同时作用在两个纵向对称面内梁在这两个纵向对称面内分别发生对称弯曲斜弯曲是两个正交的平面弯曲的组合研究矩形截面悬臂梁的应力、变形及强度计算OxyzlFjFyFz一、正应力计算F＝

Fy

＋

FzFy＝F

cosjFz＝F

sinjOxyzlFjFyFzFy

引起的：xA(x,y,z)任意截面上的任一点的应力：正应力s

＝－Mz

yIz弯矩Mz

＝

Fy

(

l－x

)＝

M

cosj＝－M

cosjIzy弯矩仅为大小不考虑正负号要考虑正负号Fz

引起的：OxyzlFjFyFzxA(x,y,z)弯矩My

＝

Fz

(

l－x

)＝

M

sinj正应力s

＝MyzIy＝M

sinjIyzF引起的：OxyzlFjFyFzxA(x,y,z)正应力s

＝s

＋s

sinjIyz

)＝M

(

－cosjIzy

＋t

=？t

存在，但实体截面梁不考虑。二、中性轴的位置、最大正应力横截面上正应力是平面分布的sinjIyz

)s

＝

M

(

－cosjIzy

＋设

(

y0

,

z0

)

是中性轴上任一点的坐标s

＝

0sinjIyz0

)

＝

0(

－cosjIzy0

＋中性轴方程中性轴是一条过横截面形心的直线yzsinjIyz0

)

＝

0(

－cosjIzy0

＋设中性轴与

z

轴成

a

角tana

＝y0z0＝IyIztanj力F的作用线ja中性轴Iy

≠Iz

a

≠j中性轴不垂直力F斜弯曲Iy

＝Iz

a

＝j中性轴垂直力F对称弯曲中性轴和外力作用线在相邻的象限内Iy＝Iz

的梁，只要横向力过截面形心，梁只产生对称弯曲。中性轴将横截面分成二个区：拉应力区和压应力区中性轴sinjIyzmax

)stmax

＝

M

(cosjIzymax

＋Wy＝Wz＋MzMyscmax

＝－

(WyWz＋MzMy)横截面有凸角：

最大应力发生在角点上，根据变形确定产生最大应力的点。yz中性轴yz中性轴横截面无凸角：可用图解法确定产生最大应力的点。D1D2危险截面：固定端中性轴xyzlFj危险点：e点和

f

点ef单轴应力状态强度条件：stmax

≤

[st

]scmax

≤

[sc

]三、强度条件四、变形计算求悬臂梁自由端截面形心的挠度xyzlFFyFzjFy

引起的：wy

＝Fy

l3EIz3Fz

引起的：wz

＝Fz

l3EIy3总挠度：设总挠度与

y

轴成

b

角tanb

＝wzwy＝IyIztanjyz力F的作用线ja中性轴wbIy

≠Iz

b

≠j总挠度方向与力F

的方向不重合斜弯曲Iy

＝Iz

b

＝j总挠度方向与力F

的方向重合，均垂直于中性轴对称弯曲tana

＝IyIztanjb

＝a总挠度方向垂直于中性轴①Iy

≠

Iz

总挠度方向与力的方向不重合中性轴不垂直于力总挠度方向垂直于中性轴②Iy

＝

Iz

总结：斜弯曲双向弯曲当两个横向外力同时作用在两个纵向对称面内时梁的挠曲线被弯成一条空间曲线总挠度方向与力的方向重合均垂直于中性轴梁的挠曲线被弯成一条平面曲线平面弯曲对称弯曲例1：简支梁由22a工字钢制成，已知

l

=1

m，F1

=

8kN

，F2

=

12kN

，工字钢的

Wy

=

40.9cm3，Wz

=

309cm3，试求梁的最大正应力。ACDB12kN8kNxyzlll12kN8kNyz内力图12最大正应力返回1ACDB12kN8kNxyzlll8Mz(kN·m)5.33My(kN·m)12kN8kNyz12危险截面：C、D危险点1（拉）2（压）返回212kN8kNyz12C

截面：Mz

=

8kN·m，My

=

2.67kN·mD

截面：Mz

=

4kN·m，My

=

5.33kN·m最大正应力例2：图示矩形截面木檩条跨长l

=3

m，受集度为q

=

800N/m

的均布荷载作用。檩条材料为杉木，[s

]=12MPa，许可挠度为[w]=

l

/200，

E

=

9GPa。试选择其截面尺寸，并作刚度校核。qABlyzbhqqP261例8-1qAByzbhqqqzqy12①计算最大应力危险截面：跨中截面危险点：1（最大拉）、2（最大压）有两个未知量qAByzbhqqqzqy12②设计截面通常矩形截面的高宽比以1.5～3.0为宜。取取

h

:

b

=

1.5qAByzbhqqqzqy12③校核刚度qy

作用下的挠度：qz

作用下的挠度：总挠度重新选截面加大截面尺寸误差§8-3

拉伸(压缩)与弯曲lOxyz横向力引起的弯曲变形是小变形轴力引起的弯矩很小，可略去不计。Fq一、横向力与轴力共同作用xOxyzlFq轴力

F

引起的：s

＝FNA横向力

q

引起的：s

＝－M

(

x

)

yIzA(x,y,z)smax

＝FNA＋MmaxWzsmin

＝FNA－MmaxWzF

、q

共同引起的：s

＝

s

＋

s

＝FNA－M

(

x

)

yIzxyzlFqA(x,y,z)危险截面固定端危险点?s

＞s

maxs

＝s

maxs

＜s

maxsmin

＝FNA－MmaxWz强度条件：st

max

≤

[st

]scmax

≤

[sc

]中性轴例1：托架受荷载

F

=

45kN作用。设AC杆为工字钢，容许应力[s

]

=

160MPa，试选择工字钢型号。FAxFAyFB60kN104kN＋FN

(

kN

)104－M

(

kN·m

)45①画内力图危险截面：B

-②设计截面危险点：截面上边缘点查表选22a号工字钢FAxFAyFB60kN104kN＋FN

(

kN

)104－M

(

kN·m

)45③校核重新选相对误差④选22b号工字钢试算相对误差22b号工字钢满足工程要求二、偏心拉伸(压缩)FFMyMzMy

＝

F

·

zFMz

＝

F

·

yFF

产生轴向压缩在

xz

平面内产生对称弯曲在

xy

平面内产生对称弯曲FM纯弯曲纯弯曲FMyMzFMyMzMy

＝

F

·

zFMz

＝

F

·

yF轴力

F

引起的：s

＝－FA弯矩

Mz

引起的：s

＝－Mz

yIz弯矩

My

引起的：s

＝－My

zIyB

点总应力：s

＝s

＋s

＋s

FA＋＝－(IzF

yF

y＋IyF

zF

z)FA＋)＝－(

1

＋izyF

y2iyzF

z2横截面上正应力是平面分布的Iz

=

A·

iz2Iy

=

A·

iy2smax

＝?中性轴的位置?在中性轴上任取一点(

y0

,

z0

)中性轴方程中性轴是一条不过横截面形心的直线FA＋)s

＝－(

1

＋izyF

y2iyzF

z2s

＝

0＝

0＋izyF

y02iyzF

z021

＋中性轴方程中性轴在

y、z

轴上的截矩：＝

0＋izyF

y02iyzF

z021

＋izyF2ay

＝－iyzF2az

＝－负号说明中性轴的位置与外力作用点的位置分别在横截面形心的两侧。yzAyz①

横截面有凸角A(

yF

,zF

)中性轴(ay

,

0)(0

,

az)中性轴②

横截面无凸角D1D2(ay

,

0)(0

,

az)D2D1强度条件：stmax

≤

[st

]scmax

≤

[sc

]例2：一端固定并有切槽的杆，在自由端左上角点受与轴线平行的压力F

作用。试求最大正应力。偏心压缩yz拉压ABMz＝F

·

5

cmMy＝F

·

2.5

cm危险截面：矩形截面

(杆切槽处)三、截面核心偏心压缩问题中，中性轴在

y、z

轴上的截矩：izyF2ay

＝－iyzF2az

＝－压力作用点离截面形心越近中性轴离截面形心越远压力作用点离截面形心越远中性轴离截面形心越近当压力作用在截面形心附近的一个区域内时，可保证中性轴不穿过横截面。截面核心偏心压缩杆件横截面上不出现拉应力压力必须作用在截面核心上截面核心的边界如何确定？当压力作用在截面核心的边界上时，与此相对应的中性轴正好与横截面相切。izyF2ay

＝－iyzF2az

＝－izay2yF

＝－iyaz2zF

＝－yz1234④②③截面核心是凸区域①(ay

,

0)(0

,

az)bhABCD例3：试确定矩形截面的截面核心。yz①②③④b/61h/62b/63h/64中性轴方程＝

0＋izyF

y02iyzF

z021

＋BB直线方程例4：试确定圆形截面的截面核心。①dyzd/81aad例5：画出图示截面的截面核心的大致形状。zy12①②例6：画出图示截面的截面核心的大致形状。zy②①3③12§8-4

扭转与弯曲FMeMz

＝

F

l横向力F：对称弯曲力偶矩Me：扭转T

＝

F

a上拉下压上顶点：ts下顶点：ts上顶点下顶点二向应力状态钢制直角曲拐＝s2±s1s3√＋ts2()22s2＝

0sr

3

＝√s

2

＋4t

2≤

[s

]sr

4

＝√s

2

＋3t

2≤

[s

]＝√Mz

＋

T22Wz＝√Mz

＋0.75

T22Wz例：一钢质圆轴，直径

d

=

8

cm，其上装有直径

D=1m、重为5kN的两个皮带轮。已知A处轮上的皮带拉力为水平方向，C处轮上的皮带拉力为铅直方向，设钢的[s

]=160MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。7kN5kN1.5kN·m12kN1.5kN·m①荷载简化两个外力矩：引起扭转；y

向的横向力：引起

xy

面内的平面弯曲，中性轴

z；z

向的横向力：引起

xz

面内的平面弯曲，中性轴

y；斜弯曲？平面弯曲圆截面中性轴是过形心的斜线，非

z、非

y。7kN5kN1.5kN·m12kN1.5kN·m4.5kN12.5kN2.1kN9.1kN链接1②内力图危险截面：B截面③强度校核圆轴安全链接2用内力计算sr3

，判断圆轴是否安全；用内力计算s、t

，再计算sr3

，判断圆轴是否安全；用内力计算s、t

→s1、s2、s3→sr3

，判断圆轴是否安全。危险点的判断T

(kN·m)Mz

(kN·m)1.52.25My

(kN·m)2.1返回1xyz7kN5kN1.5kN·m12kN1.5kN·m4.5kN12.5kN2.1kN9.1kN0.3

m0.5

m0.5

mABCD1.5+危险截面：B、Cyz(拉)(压)MyMz中性轴E1E2危险截面B上：(上拉下压)(前拉后压)M从

x

轴正向往负向看qq危险点E1、E2的位置返回2在力的作用下，铆钉上、下部分将沿

m－m

截面发生相对错动。mmFF剪切变形m－m

截面剪切面铆钉连接件虽尺寸较小但变形往往较复杂§8-5

连接件的实用计算法铆钉连接铆接接头连接处可能的破坏形式有三种：①铆钉沿剪切面剪断

→→剪切破坏②铆钉和板发生显著的塑性变形→→挤压破坏③板被拉断→→拉断破坏一、剪切强度计算内力：剪力

FS

=

F

剪切面面积：As假设：剪切面上的切应力

均匀分布名义切应力mmFFS剪切强度条件：剪切破坏实验→→极限荷载Fu极限应力许用应力二、挤压强度计算内力：挤压力Fbs

=

F假设：等效挤压面上的正应力均匀分布名义挤压应力挤压面

—曲面等效挤压面→→直径面面积：Abs挤压强度条件：挤压破坏实验→→极限挤压应力subs许用挤压应力当铆钉和板的材料不同时，应对许用挤压应力[sbs

]较小者进行挤压强度计算。三、拉伸强度计算内力：轴力FN

=

F假设：板薄弱截面上的拉应力均匀分布名义拉应力危险截面

—板薄弱截面受拉面面积：At拉伸强度条件：[st

]——板的许用拉应力保证铆接接头安全，必须满足：剪切强度条件；挤压强度条件；拉伸强度条件。一、简单铆钉连接1．搭接一个剪切面单剪§8-6

铆钉连接的计算铆钉连接：搭接、对接剪力：FS

=

F／2挤压力：Fbs

=

F轴力：FN=

F铆钉连接：单钉、钉群2．对接（平接）主板盖板二个剪切面假设：①二个剪切面上剪力相等；②每一个剪切面上的切应力均匀分布。双剪剪力：FS

=

F／2挤压力：Fbs

=

F轴力：FN=

F通常，d

＜

2d1

挤压强度计算考虑铆钉中段与主板孔壁间的相互挤压；

拉伸强度计算只需考虑主板。SSSS二、铆钉群各铆钉的t

相等剪切强度计算可取任一铆钉各铆钉或板孔上的sbs

相等挤压强度计算可取任一铆钉或孔壁板的st

要选危险截面计算，要综合考虑截面面积、轴力的大小。1．外力过铆钉群中心假设：外力均匀分配在每个铆钉上

例：铆接接头,已知F=130kN,b=110mm,

d

=10mm,

d

1=7mm,d=17mm,

许用应力为[t]=120MPa,[st

]=160MPa,[sbs

]=300MPa,试校核铆接接头的强度。搭接—

双剪钉群—

3个铆钉(外力过铆钉群中心)铆钉剪切强度条件满足d

＜

2d1①校核铆钉剪切强度校核主板的挤压强度主板挤压强度条件满足②校核主板挤压强度③校核主板拉伸强度1122可能的危险截面：1-1截面、2-2截面主板的荷载图？内力图？1122主板拉伸强度条件满足该铆接接头安全2．外力不过铆钉群中心外力向铆钉群中心简化OOFM过铆钉群中心的外力＋力偶等分到每个铆钉上如何分配？OMOFAFCFB假设O