【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 两个三角形相似的判定方法(解析版)

两个三角形相似的判定方法考点一两角对应相等两个三角形相似考点二两边成比例且夹角相等两个三角形相似考点三三边对应成比例两个三角形相似考点四补充条件使两个三角形相似考点一两角对应相等两个三角形相似1．（2022·全国·九年级专题练习）如图已知∠EAC＝∠DAB∠D＝∠B求证：△ABC∽△ADE．【答案】见解析【分析】由∠EAC＝∠DAB可推出∠BAC=∠DAE再由∠B=∠D即可证明△ABC∽△ADE．【详解】解：∵∠EAC＝∠DAB∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC即∠BAC=∠DAE又∵∠B=∠D∴△ABC∽△ADE．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图在△ABC中AD＝DB∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．【答案】见解析【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE进而利用相似三角形的判定方法得出答案．【详解】证明：∵AD＝DB∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE又∵∠1＝∠2∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等且其夹角相等则两个三角形相似；③三组对应边的比相等则两个三角形相似掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图在正方形ABCD中P是BC上的点Q是CD上的点且AQ⊥PQ△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．【答案】相似见解析【分析】在所要求证的两个三角形中已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°若证明两三角形相似再得出∠DAQ＝∠PQC即可．【详解】解：相似证明如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠D＝∠C＝90°∴∠DAQ+∠AQD＝90°∵AQ⊥PQ∴∠AQP＝90°∴∠AQD+∠PQC＝90°∴∠DAQ＝∠PQC∴△ADQ∽△QCP．【点睛】本题主要考查了正方形的性质相似三角形的判定垂直的定义解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．4．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图在中D为延长线上一点过点D作交延长线于点E．求证：．【答案】见解析【分析】根据两直线平行内错角相等相似三角形的判定：两组对应角分别相等的两个三角形相似；即可证明；【详解】证明∵∴又∵∴∵∴．【点睛】本题考查了平行线的性质相似三角形的判定；掌握相似三角形的判定方法是解题关键．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图平行四边形ABCD中点E是BC上一线连接AE连接DEF为线段DE上一点且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；【答案】见解析【分析】根据平行四边形的性质可得∠C+∠B=180°∠ADF=∠DEC由∠AFD+∠AFE=180°∠AFE=∠B可得∠AFD=∠C进而可证△ADF∽△DEC．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CDAD//BC∴∠C+∠B=180°∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C在△ADF与△DEC中∵∠AFD=∠C∠ADF=∠DEC∴△ADF∽△DEC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质及平行四边形的性质.解题的关键是根据平行四边形的性质结合角的计算找出∠ADF=∠DEC∠AFD=∠C．6．（2022·陕西咸阳·九年级期末）如图在中E为CD上一点连接AE在AE上取一点F使得．求证：．【答案】见解析【分析】根据平行四边形的性质得出再根据平行线的性质得出然后根据补角性质得出最后根据“AA”即可证明．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∴又∴又∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定平行四边形的性质、平行线的性质等知识判断是解题的关键．7．（2022·山东·济南世纪英华实验学校九年级阶段练习）如图在△ABC中AB=ACD为BC边上一点E为AC边上一点且∠ADE=∠B．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若AC=12BC=11CE=2求BD的长.【答案】(1)见解析(2)3或8【分析】（1）由AB=AC可证得△ABD∽△DCE；（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例求得△ABC的边长．（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠ADC=∠B+∠BAD

∠ADC=∠ADE+∠CDE∵∠ADE=∠B∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△CDE（2）∵AB=ACAC=12∴AB=12由（1）知△ABD∽△CDE∴=即=∴BD=3或8【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质解题的关键是根据两角相等两三角形相似的判定定理证明即可．8．（2022·安徽·固镇县汉兴学校九年级期中）如图将矩形纸片沿着过点D的直线折叠使点A落在边上落点为F折痕交边于点E(1)求证：；(2)若求的长；【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据矩形的性质可得从而得到再由根据折叠的性质可得从而得到即可求证；（2）根据折叠的性质可得再由勾股定理可得即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形∴∴根据折叠的性质得：∴∴∴；（2）解：根据折叠的性质得：∵∴∵四边形是矩形∴∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定矩形的性质勾股定理折叠的性质熟练掌握相似三角形的判定矩形的性质勾股定理是解题的关键．9．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图梯形中AD//BC是对角线上一点(1)求证：(2)求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先由得到然后由得证；（2）先由得到再由得到从而得到再利用相似三角形的性质可得答案．（1）解：∵∴又∵∴．（2）∵梯形中∴

又∵∴∵∴∴∴【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质相似三角形的判定与性质、平行线的性质解题的关键是熟练应用等量代换得证．10．（2021·全国·九年级专题练习）如图在中于点．（1）求证：；（2）若点是边上一点连接交于交边于点求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由得利用同角的余角相等推出即可；（2）两次用同角的余角相等推出和即可．【详解】（1）证明：；（2）证明：．【点睛】本题考查三角形相似判定问题掌握三角形相似的判定定理灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键．11．（2022·江苏南京·九年级期末）如图⊙O是△ABC的外接圆且AB＝AC四边形ABCD是平行四边形边CD与⊙O交于点E连接AE．(1)求证△ABC∽△ADE；(2)求证：AD是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得∠B＝∠D．再根据圆内接四边形的性质可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC可得∠ACB＝∠AED．即可求证；（2）连接AO并延长交BC于点M连接OB、OC．根据AB＝ACOB＝OC可得AM垂直平分BC．从而得到∠DAO＝90°．即可求证．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D．∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形∴∠B+∠AEC＝180°．∵∠AED+∠AEC＝180°．∴∠B＝∠AED．∵AB＝AC∴AB＝∠ACB∴∠ACB＝∠AED．∴△ABC∽△ADE．（2）解：如图连接AO并延长交BC于点M连接OB、OC．∵AB＝ACOB＝OC∴AM垂直平分BC．∴∠AMC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC．∴∠DAO＝90°．∵点A在⊙O上∴AD是⊙O的切线．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质相似三角形的判定切线的判定等知识熟练掌握相关知识点是解题的关键．12．（2021·浙江省常山育才中学九年级期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'其中∠C＝∠C′＝90°∠A＝60°∠A′＝45°．（1）如图1作线段CDC′D′分别交AB于点D交A'B′于点D′使得∠BCD＝45°∠B'C′D'＝30°问△BCD与△B'C′D'△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形说明理由．（2）如图2作线段ADB'D′分别交BC于点D交A'C'于点D若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似求∠CAD∠C'B'D′的度数．【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形能否分别作一条直线对其进行分割使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以请直接画出一种分割示意图；如果不能请说明理由．【答案】（1）相似见详解；（2）∠CAD=∠C′B′D′=15°；【拓展思考】可以理由见详解.【分析】（1）由题意可知如图1中△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似理由同上；（2）由题意可知如图2中当∠CAD=∠C′B′D′=15°时△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；【拓展思考】根据题意运用材料的方法结合相似三角形的判定进行分析即可.【详解】解：（1）如图1中△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似理由如下．∵∠A=∠A′C′D′=60°∠ACD=∠A′=45°∴△ACD∽△C′A′D′∵∠B=∠B′C′D′∠BCD=∠B′∴△BCD∽△C′B′D′．（2）如图2中当∠CAD=∠C′B′D′=15°时△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．理由：∵∠C=∠C′=90°∠CAD=∠C′B′D′=15°∴△ACD∽△B′C′D′∵∠B=∠A′B′D′=30°∠DAB=∠A′=45°∴△BAD∽△B′A′D′．拓展思考:可以如下图设,作交AB于D作交A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′△BCD∽△C′B′D′．理由：∵∠A=∠A′C′D′=∠ACD=∠A′=∴△ACD∽△C′A′D′∵∴△BCD∽△C′B′D′．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质解题的关键是灵活运用相似三角形的判定方法学会取特殊角解决问题．考点二两边成比例且夹角相等两个三角形相似1．（2021·山东省济南中学九年级期中）如图是的边上的一点．求证：．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定方法两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．【详解】证明：．而．【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明熟练其证明方法是解决本题的关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知如图△ABC中AB＝4BC＝8D为BC边上一点BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．【答案】见解析；【分析】由AB＝4BC＝8BD＝2可知再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA；【详解】证明：∵AB＝4BC＝8BD＝2∴又∵∠ABD＝∠CBA∴△ABD∽△CBA．【点睛】本题考查相似三角形的判定熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．3．（2021·湖南永州·九年级期中）如图在△ABC中点D是AB上一点且AD＝1AB＝3．求证：△ACD∽△ABC．【答案】见解析【分析】首先利用已知得出进而利用相似三角形的判定方法得出即可．【详解】证明：AD＝1AB＝3AC＝

又∽【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图是等边三角形D、E在BC所在的直线上且．求证：．【答案】见解析【分析】先由等边三角形的性质推出∠ABD=∠ECA再由得到即可推出△ABD∽△ECA．【详解】解；∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴180°-∠ABC=180°-∠ACB∴∠ABD=∠ECA又∵∴∴△ABD∽△ECA．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定等边三角形的性质熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．5．（2022·广东·深圳市福田区彩田学校九年级阶段练习）如图在△ABC中AC=BC在边AB上截取AD=AC连接CD若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点且有AD>BD．(1)求证：△ABC与△BCD相似：(2)求∠A的度数【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）根据点D恰好是线段AB的一个黄金分割点且有AD>BD可知AD：AB=BD：AD根据题目给的条件可以推出BD：BC=BC：BA结合∠B=∠B即可证明出相似．（2）根据第一问的相似得到∠BCD=∠A通过推角在中用内角和为即可得到答案．（1）证明：∵AC=BC∴∠A=∠B∵AD=AC∴AD=BC∵点D恰好是线段AB的一个黄金分割点且有AD>BD∴AD：AB=BD：AD∴BD：BC=BC：BA∵∠B=∠B∴△BDC△BCA（2）解：∵△BDC△BCA∴∠BCD=∠A∴∠BCD=∠B∵∠ADC是△BDC的外角∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B=2∠A∵AD=AC∴∠ACD=∠ADC=2∠A∵∠A+∠ADC+∠ACD=∴∠A+2∠A+2∠A=∴∠A=∴∠A的度数为【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定黄金分割点的定义．使用黄金分割点推出三角形两边成比例是解题关键．6．（2021·山东·章丘双语学校九年级阶段练习）如图已知AB∥DC点E、F在线段BD上AB＝2DCBE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8DF＝2求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）EF＝2．【分析】（1）根据AB∥DC可得∠B＝∠D再由AB＝2DCBE＝2DF可得AB：DC＝BE：DF＝2即可证得；（2）根据BE＝2DF可得即可求解．【详解】（1）证明：∵AB∥DC∴∠B＝∠D∵AB＝2DCBE＝2DF∴AB：DC＝BE：DF＝2∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DFDF＝2∴,∵BD＝8∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示△ABC中BD⊥AC于点DCE⊥AB于点EBD与CE相交于点F．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求证：DE·BF＝EF·BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由垂直的定义可得且即可证；（2）可证点点点点四点共圆可得可证可得即可得结论．【详解】证明：证明：（1）且；（2）如图连接点点点点四点共圆【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．8．（2022·全国·九年级课时练习）如图在的正方形网格中每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．(1)则_____°______；(2)判断与是否相似．若相似请说明理由．【答案】(1)(2)∽证明见解析【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．（2）结论：△ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【详解】（1）解：观察图形可知∠ABC＝90°＋45°＝135°BC．故答案为：（2）结论：△ABC∽△DFE．理由：∵AB＝2BC＝2DFEF＝2∠DFE＝90°＋45°＝135°∴∵∠ABC＝∠DFE∴△ABC∽△DFE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图在梯形中E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似请给出证明过程；若不相似请简述理由．【答案】（1）见解析；（2）相似理由见解析【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F先证明四边形ADCF是矩形得到AF=CD=1,AD=CFBF=AB-AF=1然后利用勾股定理求出即可得到再证明即可；（2）利用勾股定理求出,然后证明即可.【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°∴∠D=90°∴四边形ADCF是矩形∴AF=CD=1,AD=CF∴BF=AB-AF=1∴∵E是AD的中点∴∴∴又∵∠D=∠A=90°∴△CDE∽△EAB；（2）△CDE∽△CEB相似理由如下：∵,∴∴∴△CDE∽△CEB.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定相似三角形的判定勾股定理平行的性质解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.考点三三边对应成比例两个三角形相似1．（2021·北京昌平·九年级期中）如图在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．【答案】见解析【分析】分别求出两个三角形的三边根据三边分别成比例的三角形相似即可判定．【详解】解：∵在△ABC中AB=3BC=AC=在△DEF中DE=EF=2DF=∴∴

∴△ABC∽△DEF．【点睛】本题考查相似三角形的判定熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．2．（2022·陕西·西工大附中分校九年级阶段练习）如图与的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断与是否相似并说明理由；(2)求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）与相似利用勾股定理计算出、、、的长利用三边对应成比例的两个三角形相似可证明结论成立；（2）连接AD求出即可得解．（1）解：（1）与相似．理由如下：∵∴∴；（2）解：连接AD如下图∵由勾股定理得∴∴∴．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用相似三角形的判定与性质利用勾股定理分别求出分别、、、的长是解题的关键．3．（2021·全国·九年级课时练习）根据下列条件判断与是否相似并说明理由：（1）∠A=40°；（2）．【答案】（1）相似因为两边成比例夹角相等；（2）相似因为三边成比例．【分析】（1）根据两组边对应成比例且夹角相等判定三角形相似的方法求解即可；（2）根据三组边对应成比例判定三角形相似的方法求解即可．【详解】解：（1）∵∴又∵∴；（2）∵∴∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：1.三组边对应成比例的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图中的两个三角形是否相似？为什么？【答案】（1）相似因为三边成比例；（2）相似因为两边成比例夹角相等．【分析】（1）先标字母再按大小顺序对应求出两边的比值根据相似三角形的判定定理进行判断即可；（2）先求两对应边的比值可得两边对应成比例夹角为对顶角根据相似三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：（1）相似理由如下：标字母如图∵∴∴∽；（2）相似理由如下：∵∴又∵∠ACB=∠ECD∴∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定熟练掌握判定定理是解题的关键．5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图每组中的两个三角形是否相似？为什么？【答案】（1）不相似理由见解析；（2）相似理由见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：（1）不相似理由如下：∵∴∴与不相似；（2）相似理由如下：∵∴∴∽．【点睛】本题考查了相似三角形的判定熟练掌握判定定理是解题的关键．6．（2022·全国·九年级专题练习）如图在和中、分别是、上一点当时求证：．【答案】见解析【分析】根据比例的性质可得即可求证．【详解】证明：∵∴∵∴∴．【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法涉及了比例的性质解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置试判断△ABC与△DEF是否相似并说明理由．【答案】△ABC△DEF理由见详解【分析】先根据勾股定理求出三角形各边长从而得到两个三角形的对应边成比例进而即可得到结论．【详解】解：△ABC△DEF理由如下：∵AB=AC=BC=5DE=1DF=EF=∴∴△ABC△DEF．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和勾股定理掌握对应边成比例的两个三角形相似是解题的关键．考点四补充条件使两个三角形相似1．（2021·云南楚雄·九年级期中）如图E、D是△ABC的边AB、AC上一点请添加一个条件__________使得△ABC与△ADE相似．【答案】∠ADE=∠B或∠AED=∠C或【分析】根据相似三角形的判定方法：两角相等或者两组对应边对应成比例夹角相等进行解题即可．【详解】解：如图∵∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或时：△ABC∽△ADE；故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．2．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在△ABC和△DEF中AB=6BC=8DE=4∠B=∠E当EF=_________时△ABC与△DEF相似.【答案】或3【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．【详解】解：由题意可得：当或时△ABC与△DEF相似∴或∴EF=或3故答案为或3．【点睛】本题考查三角形相似的应用熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图已知＝若使△ABC∽△ADE成立_____（只添一种即可）．【答案】∠DAE=∠BAC（不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．【详解】解：根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得：∠DAE=∠BAC．故答案是∠DAE=∠BAC（不唯一）．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定掌