辽宁省抚顺市普通高中2023届高三下学期模拟数学试卷（含答案）

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，集合，则集合()

A.B.C.D.

2、已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部是()

A.2B.-2C.D.

3、甲、乙两名同学分别从“武术”、“排球”、“游泳”、“体操”四个社团中随机选择一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是()

A.B.C.D.

4、已知AB是圆的直径，点P是圆的圆心，则的最小值为()

A.-2B.-1C.1D.0

5、坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值.如图所示，已知斜面ABCD的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向DE与直线AD的最大夹角的度数为()

A.B.C.D.

6、已知，若，则的值是()

A.B.C.D.

7、已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是()

A.的最大值为4B.的最大值为2

C.的最小值为-4D.的是小值为-2

8、定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是()

A.函数为奇函数B.关于直线对称

C.D.函数的最小正周期

二、多项选择题

9、某学校为了解学生的课业情况，现随机抽取该校若干名学生完成课后作业所用的时间数据，绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()

A.频率分布直方图中的a的值为0.010

B.估计该校学生完成课后作业所用的平均时间为100分钟

C.估计该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多

D.估计该校约85%的学生完成课后作业所用的时间不超过2小时

10、已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是()

A.其外接球的表面积为

B.其内切球的半径为

C.侧面与底面所成角的余弦值为

D.不相邻的两个侧面所成角的余弦值为

11、设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是()

A.B.C.2D.

12、已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，过点A、B分别作抛物线的切线，记两条切线的交点为P，则下列说法正确的是()

A.F点坐标为

B.若，则线段AB中点到x轴距离的最小值为3

C.若，则直线AB过焦点F

D.若直线AB斜率为1，则的最小值为2

三、填空题

13、在的展开式中，含项的系数为__________.

14、设等差数列的前n项和为，若，，则的值是__________.

15、已知函数，且对任意实数x都有，则的值为__________.

16、已知，，，则在，，，，，这6个数中，值最小的是__________.

四、解答题

17、已知中，点D在边AB上，满足，且，的面积与面积的比为.

（1）求的值；

（2）若，求边AB上的高CE的值.

18、已知是等差数列的前n项和，是等比数列的前n项和，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

19、学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女姓组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段，第二段，第三段，第四段，第五段.将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：

（1）求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；

（2）填写下列列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？

体育迷非体育迷合计

男

女

合计

附：

0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

（3）若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）

20、如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱SD上，E是侧棱SC的中点.

（1）若，证明：平面PAC；

（2）若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小.

①平面PAC；②P为SD的中点.

21、已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线AD与BD的斜率之积为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线MO（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值.

22、已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：.

参考答案

1、答案：C

解析：，则.故选:C.

2、答案：A

解析：

3、答案：B

解析：基本事件总数，事件“两名同学加入同一个社团”包含的基本事件总数，.

故选:B.

4、答案：D

解析：是圆的圆心，

点P为直线上的任意一点，

又

当最小时，的取值最小，

的最小值是圆心到直线的距离，

即，

.

故选:D.

5、答案：B

解析：在越野车行驶方向上任取不同于D的点E，作EO垂直于过AD的水平面，垂足为O，再作于F，连接EF，OD，如图，于是，而，EO，平面EOF，则平面EOF，又平面EOF，因此，是斜面ABCD与过AD的水平面所成二面角的平面角，，即.因为越野车的最大爬坡度数是，即直线DE与过AD的水平面所成角的最大值为，所以令，在中，EO的最大值为，在中，EF的最大值为，在中，，而正弦函数在上单调递增，因此的最大值为，所以行驶方向DE与直线AD的最大夹角的度数为.故选B.

6、答案：C

解析：，

，

，

，

故选:C.

7、答案：D

解析：根据题意，，的坐标为，，设点P的坐标为，则，

故，

又，故，

又，故当时，取得最小值-2，且其没有最大值，

故的最小值为-2，无最大值.

故选:D.

8、答案：C

解析：定义在R上的函数，由得:，即函数为奇函数，A正确;令，则，

因此函数，即的图象关于直线对称，B正确;

由得:，由得:，于是，即，所以函数的周期，D正确;由知，，显然由给定条件的值不确定，又，因此不确定，C错误.故选:C

9、答案：AC

解析：对于A，频率分布直方图中小长方形的面积之和为1，组距为25，

所以，解得，故A正确;

对于B，该校学生完成课后作业所用的平均时间为

故B错误;

对于C，由频率分布直方图可知该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多，故C正确;

对于D，由该校学生完成课后作业所用的时间超过2小时的频率为

，

所以该校学生完成课后作业所用的时间不超过2小时的频率为，故D错误.故选:AC.

10、答案：ACD

解析：

11、答案：BD

解析：

12、答案：ABC

解析：

13、答案：448

解析：由题意，其展开式的通项为，

令，解得，则含的系数为.

14、答案：12

解析：

15、答案：

解析：已知函数，且对任意实数x都有，

则函数的图象关于直线对称，

又函数，其中，

令，，

则函数的对称轴方程为，，

即，，

则.

16、答案：

解析：

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，所以CD为的平分线，

又的面积与面积的比为，所以，

因此由正弦定理得，且，

由得，从而且B为说角，所以.

（2）由（1）知A为锐角，且，

因此，

又，所以在中由余弦定理得，

解得，于是.

18、答案：（1）答案见解析

（2）答案见解析

解析：（1）因为，所以，

即，即，因为，解得，.

所以，.

（2）由（1）知

得，所以.

因此，所以.

19、答案：（1）

（2）答案见解析

（3）答案见解析

解析：（1）由频率折线图可得

由频率折线图可知女生共有人，其中“体育迷”有人，

故男生共有人，其中“体育迷”有人.

因此估计该校高一学生中“体育迷”所占比例约为.

（2）

体育迷非体育迷合计

男304575

女151025

合计4555100

因为，而，故没有95%的把握认为是否为“体育迷”与性别有关.

（3）由频率折线图可知男生的锻炼时间在每组的频数分别为，，，，；故这100名学生每周的锻炼时间在每组的频率分别为，，，，.

所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间为：.

因为，所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间达到了保持身体良好健康发展的水平.

20、答案：（1）证明见解析

（2）答案见解析

解析：（1）证明：连接BD，设交点为O，连接BQ，

在中，点E是SC的中点，点Q足线段SP的中点，所以.

在中，点O是线段BD的中点，点P是线段DQ的中点，所以.

又因为，BQ，平面BEEQ，OP，平面PAC，所以平面平面PAC，

又因为平面BEQ，所以平面PAC.

（2）若选①平面PAC，连接SO，因为ABCD为正方形，所以点O分别为AC与BD的中点，

由题意，，所以，同理，且，所以平面ABCD.

以O为原点，OC，OD，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

所以，，，，，.

因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为.

平面DAC的一个法向量为.

设二面角的平面角为，所以，所以.

若选②P为SD的中点，连接SO，因为ABCD为正方形，所以点O分别为AC与BD的中点，

由题意，，所以.同理，且，所以平面ABCD.

以O为原点，OC，OD，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

所以，，，，，，

则，，

设平面APC的法向量为，由，

解得平面APC的一个法向量为，平面DAC的一个法向量为，

设二面角的平而角为，所以，所以.

21、答案：（1）

（2）

解析：（1）由已知得，且，即，

因此有，得.

因此，得，，所以椭圆的标准方程为.

（2）显然直线MN经过x轴上的定点，设，，

则由椭圆的对称性得，

联立消去x得.

恒成立，所以，.

.

令，显然有，于是，

当，即时取等号.

因此的面积S的最大值为.

22、答案：（1）答案见解析

（2）证明见解析

解析：（1）由已知得函数的定义城为，

.

当时，恒有，所以在是增函数；

当时，