2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

8AUni--20--20学年第一学期工作计划98642014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A={x|x2x30}，B={x|－2≤x＜2＝，则AB=2A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）(1i)32.(1i)2=A.1iB.1iC.1iD.1ig(x)是偶函数，则下列结论正确的是B.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为f(x)时奇函数，R，且A.f(x)g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数xmy3m(m0)的一个焦点，则点F是双曲线C：2F到C的一条渐近线的距离为A.34.已知23mD.3mB.3C.5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率1A.83B.857D.8C.86.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线f(x)，表示为x的函数OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离则y=f(x)在[0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=20A.316B.57215D.8C.b18AUni--20--20学年第一学期工作计划98641sin，则cos，tan(0,)(0,)8.设，且2232B.2C.3A.D.2222xy19.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：x2y4p：(x,y)D,x2y2，1(x,y)D,x2y2,p：2(x,y)D,x2y3，P：3(x,y)D,x2y1.p：4其中真命题是A.p，p23B.p，pC.p，pD.p，p131412y8x的焦点为C：F，准线为FP4FQ，l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若10.已知抛物线2|QF|则=7A.252B.C.3D.2x＞0，则a的取值范围为ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x，且0f(x)=11.已知函数0A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42D.4C.6第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-考生根据要求作答。5分。第（24）题为选考题，二．填空题：本大题共四小题，每小题13.(xy)(xy)8的展开式中的系数为.(用数字填写答案)xy2214.甲、乙、丙三甲说：我去过的城市比丙说：我们三人去过位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.1AO(ABAC)，则AB与AC的夹角为.15.已知A，B，C是圆O上的三点，若216.已知a,b,c分别为ABC的三个A,B,C的对边，a=2，且ABCcb(2)(sinsinB)()sinC，则面积bA内角的最大值为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。常数.17.(本小题满分12分)已知数列{a}的前n项和为S，a=1，a0，aaS1，其中为nn1nnn1nb28AUni--20--20学年第一学期工作计划9864（I）证明：an2a；n（Ⅱ）是否存在，使得{a}为等差数列？并说明理由.n18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；2（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.（i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.150附：≈12.2.若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544.19.(本小题满分12分)如图三棱锥ABCABC1中，11侧面BBCC为菱形，ABBC.111（I）证明：ACAB；1（Ⅱ）若ACAB，1CBB60o，AB=Bc，1求二面角AABC的余弦值.111xy23的离心率为，F是椭圆的焦点，221(ab0)20.(本小题满分12分)已知点A（0，-2），椭圆E：ab2223直线AF的斜率为，O为坐标点原.3（I）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.bex121.(本小题满分12分)设函数f(x0aexlnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)）处的切线为ye(x1)2.x（I）求a,b；（Ⅱ）证明：f(x)1.b38AUni--20--20学年第一学期工作计划9864请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点(Ⅰ)证明：∠D=∠E；学科网（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形E，且CB=CE.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x2txy221tC：，直线l：（为参数）.49y22t已知曲线（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线求|PA|的C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲11若a0,b0，且ab.ab（I）求a3b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由.b42014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I答案213．－2014．A15．90°16．n1aaS1，aaS1，两式相减17．【解析】：(Ⅰ)由题设nn1nn1n2aaaa，由于a0，所以aa…………6分n1n2nn1n2nn（Ⅱ）由题设a=1，aaS1，可得a1，由(Ⅰ)知a11121213假设{a}为等差数列，则a,a,a成等差数列，∴aa2a，解得；4n1231324a4知证明时，{a}为等差数列：由an2nna4m321m数列奇数项构成的数列a是首项为1，公差为4的等差数列2m1n2m1,则mn1，∴a2n1(n2m1)令2na4m1数列偶数项构成的数列a是首项为3，公差为4的等差数列2m2mn2m,则mn，∴a2n1(n2m)令2n∴a2n1（nN*），aa2nn1n4，使得{a}为等差数列.因此，存在存在………12分n18．【解析】：(Ⅰ)抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200s23020.022020.091020.2200.331020.242020.083020.02150…………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～N(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知XB(100,0.6826)，所以EX1000.682668.26………12分(Ⅰ)连结BC，交BC于O，连结AO．因为侧面BBCC为菱形，所以BCBC，且O为BC111111119．【解析】：与BC的中点．又ABBC，所以BC平面ABO，故BCAO又BOCO，故1111112O到直线PQ的距离dS14k22OPQ4t4t241，S4tt7y7x2l的方程为：当且仅当t2，k时等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，022y或7x2.…………12分2abx1bex1x(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，fxaexlnxex0,()e21．【解析】xx2由题意可得f(1)2,f(1)e，故a1,b2……………6分2ef(x)1等价于xlnxxex2x1（Ⅱ）由(Ⅰ)知，f(x)exlnx，从而xe1x0,时，e1g(x)xlnx，则g(x)xlnx，所以当g(x)0，当x,设函数e1e1g(x)0，故g(x)在时，0,单调递减，在,单调递增，从而g(x)在e0,1的最小值为g1().……………8分ee2h(x)0，当x1,h(x)xex，则h(x)ex1x，所以当x0,1时，设函数e0,1单调递增，在1,单调递减，从而h(x)0，故h(x)在时，h(x)g(x)在0,1的最小值为h(1).综上：当时，x0g(x)h(x)，即f(x)1.……12分e22．【解析】.(Ⅰ)由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E,所以D=E……………5分（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC,知MN⊥BC所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=E由(Ⅰ)（1）知D=E，所以△ADE为等边三角形．